高中物理 专题13 带电粒子在磁场中的运动

1 带电粒子在磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动 例 1 磁流体发电机原理图如右 等离子体高速从左向右喷射 两极板间有如图方向 的匀强磁场 该发电机哪个极板为正极 两板间最大电压为多少 解 由左手定则 正 负离子受的洛伦兹力分别向上 向下 所以上极板为正 正 负极板间会产生电场 当刚进入的正负离 子受的洛伦兹力与电场力等值反向时 达到最大电压 U Bdv 当外电路断开时 这也就是电动势 E 当外电路接通时 极板上的电荷量减小 板间场强减 小 洛伦兹力将大于电场力 进入的正负离子又将发生偏转 这时电动势仍是E Bdv 但路 端电压将小于Bdv 在定性分析时特别需要注意的是 正负离子速度方向相同时 在同一磁场中受洛伦兹力方向相反 外电路接通时 电路中有电流 洛伦兹力大于电场力 两板间电压将小于Bdv 但电 动势不变 和所有电源一样 电动势是电源本身的性质 注意在带电粒子偏转聚集在极板上以后新产生的电场的分析 在外电路断开时最终将 达到平衡态 例 2 半导体靠自由电子 带负电 和空穴 相当于带正电 导电 分为p型和n型 两种 p型中空穴为多数载流子 n型中自由电子为多数载流 子 用以下实验可以判定一块半导体材料是p型还是n型 将 材料放在匀强磁场中 通以图示方向的电流I 用电压表判定 上下两个表面的电势高低 若上极板电势高 就是p型半导体 若下极板电势高 就是n型半导体 试分析原因 解 分别判定空穴和自由电子所受的洛伦兹力的方向 由于四指指电流方向 都向右 所以洛伦兹力方向都向上 它们都将向上偏转 p型半导体中空穴多 上极板的电势高 n 型半导体中自由电子多 上极板电势低 注意 当电流方向相同时 正 负离子在同一个磁场中的所受的洛伦兹力方向相同 所 以偏转方向相同 3 洛伦兹力大小的计算 带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力而做匀速圆周运动时 洛伦兹力充当向心力 由此 可以推导出该圆周运动的半径公式和周期公式 Bq m T Bq mv r 2 I 2 例 3 如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场 正 负电子同时从同一点O以与MN成 30 角的同样速度v射入 磁场 电子质量为m 电荷为e 它们从磁场中射出时相距多远 射出的时间差是多少 解 由公式知 它们的半径和周期是相同的 只是偏转方向 相反 先确定圆心 画出半径 由对称性知 射入 射出点和圆心恰好组成正三角形 所以 两个射出点相距 2r 由图还可看出 经历时间相差 2T 3 答案为射出点相距 时间 Be mv s 2 差为 关键是找圆心 找半径和用对称 Bq m t 3 4 例 4 一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的 P a 0 点以速度v 沿与x正方向成 60 的方向射入第一象限内的匀 强磁场中 并恰好垂直于y轴射出第一象限 求匀强磁场的磁感应强度 B和射出点的坐标 解 由射入 射出点的半径可找到圆心O 并得出半径为 射出点坐标为 0 aq mv B Bq mva r 2 3 3 2 得 a3 带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点 也是高考的热点 在历年的高考试题 中几乎年年都有这方面的考题 带电粒子在磁场中的运动问题 综合性较强 解这类问题既 要用到物理中的洛仑兹力 圆周运动的知识 又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何 知识 1 1 带电粒子在半无界磁场中的运动 带电粒子在半无界磁场中的运动 例 5 一个负离子 质量为m 电量大小为q 以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存 在着匀强磁场的真空室中 如图所示 磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直 并垂直 于图 1 中纸面向里 1 求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离 2 如果离子进入磁场后经过时间 t 到达位置P 证明 直线OP 与离子入射方向之间的夹角 跟t的关系是 t m qB 2 解析 1 离子的初速度与匀强磁场的方向垂直 在洛仑兹力作用下 做匀速圆周运 动 设圆半径为 r 则据牛顿第二定律可得 MN B O v y x o v v a O O B S v P 3 解得 r v mBqv 2 Bq mv r 如图所示 离了回到屏 S 上的位置 A 与 O 点的距离为 AO 2r 所以 Bq mv AO 2 2 当离子到位置 P 时 圆心角 t m Bq r vt 因为 所以 2 t m qB 2 2 2 穿过圆形磁场区 穿过圆形磁场区 画好辅助线 半径 速度 轨迹圆的圆心 连心线 偏角可由求出 经历时间由得出 R r 2 tan Bq m t 注意 由对称性 射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心 例 6 如图所示 一个质量为m 电量为q的正离子 从 A 点正对着圆心O以速度v 射入半径为R的绝缘圆筒中 圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场 磁感应强度的大小为 B 要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从 A 点射出 求正离子在 磁场中运动的时间t 设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失 不计粒子的重力 解析 由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电量损失 每次 碰撞后离子的速度方向都沿半径方向指向圆心 并且离子运动的轨迹 是对称的 如图所示 设粒子与圆筒内壁碰撞n次 则每相邻两次碰撞点之间圆弧2 n 所对的圆心角为 2 n 1 由几何知识可知 离子运动的半径为 1 tan n Rr 离子运动的周期为 又 qB m T 2 r v mBqv 2 所以离子在磁场中运动的时间为 1 tan 2 nv R t r v v O O Av0 B 4 例 7 圆心为O 半径为 r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 方向为垂直于纸面向里 的匀强磁场 与区域边缘的最短距离为L的O 处有一竖直放置的荧屏MN 今有一质量为m 的电子以速率v从左侧沿OO 方向垂直射入磁场 越出磁场后打在荧光屏上之P点 如图所 示 求O P的长度和电子通过磁场所用的时间 解析 电子所受重力不计 它在磁场中做匀速圆周运动 圆心为O 半径为R 圆弧 段轨迹AB所对的圆心角为 电子越出磁场后做速率仍为 v 的匀速直线运动 如图 4 所示 连结OB OAO OBO 又OA O A 故OB O B 由于原有BP O B 可见 O B P在同一直线上 且 O OP AO B 在直角三角形 P中 O P L r tan 而 所以求得R后就可以求出 2 tan1 2 tan 2 tan 2 R r 2 tan O P了 电子经过磁场的时间可用t 来求得 V R V AB 由得 R R v mBev 2 tan rLOP eB mv mV eBr R r 2 tan 22222 2 2 2 tan1 2 tan 2 tan rBevm eBrmv 22222 2 tan rBevm eBrmvrL rLPO 2 arctan 22222 rBevm eBrmv 2 arctan 22222 rBevm eBrmv eB m v R t 3 3 穿过矩形磁场区 穿过矩形磁场区 一定要先画好辅助线 半径 速度及延长线 偏转角由 sin L R求出 侧移由R2 L2 R y 2解出 经历时间由得出 Bq m t P M N O L A O R 2 2 B P O O M N L A 5 注意 这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段的中点 这点 与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同 例 8 如图所示 一束电子 电量为e 以速度v垂直射入磁感强度为B 宽度为d的 匀强磁场中 穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是 30 则电子的质量是 穿透磁场的时间是 解析 电子在磁场中运动 只受洛仑兹力作用 故其轨迹是圆弧的一部分 又因为 f v 故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上 如图中的O点 由几何知 识知 AB间圆心角 30 OB为半径 r d sin30 2d 又由r mv Be得m 2dBe v 又 AB圆心角是 30 穿透时间t T 12 故t d 3v 带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分析 如已知带电粒子 的质量m和电量e 若要带电粒子能从磁场的右边界射出 粒子的速度v必须满足什么条件 这时必须满足r mv Be d 即v Bed m 例 9 长为L的水平极板间 有垂直纸面向内的匀强磁场 如图所示 磁感强度为 B 板间距离也为L 板不带电 现有质量为m 电量为q的带正电粒子 不计重力 从左 边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场 欲使粒子不打在极板上 可采用的办法 是 A 使粒子的速度v5BqL 4m C 使粒子的速度v BqL m 6 D 使粒子速度BqL 4m v5BqL 4m时粒子能从右边穿出 粒子擦着上板从左边穿出时 圆心在O 点 有r2 L 4 又由r2 mv2 Bq L 4 得 v2 BqL 4m v2 BqL 4m时粒子能从左边穿出 综上可得正确答案是 A B 针对训练针对训练 1 如图所示 竖直向下的匀强磁场穿过光滑的绝缘水平面 平面上一个钉子O固定一 根细线 细线的另一端系一带电小球 小球在光滑水平面内绕O做匀速圆周运动 在某时刻 细线断开 小球仍然在匀强磁场中做匀速圆周运动 下列说法一定错误的是 A 速率变小 半径变小 周期不变 B 速率不变 半径不变 周期不变 C 速率不变 半径变大 周期变大 D 速率不变 半径变小 周期变小 2 如图所示 x轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场 有两个质量相同 电荷量也相同的 带正 负电的离子 不计重力 以相同速度从O点射入磁场中 射入方向与x轴均夹 角 则 正 负离子在磁场中 A 运动时间相同 B 运动轨道半径相同 7 C 重新回到x轴时速度大小和方向均相同 D 重新回到x轴时距O点的距离相同 3 电子自静止开始经M N板间 两板间的电压为u 的电场加速后从A点垂直于磁场 边界射入宽度为d的匀强磁场中 电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L 如图 所示 求匀强磁场的磁感应强度 已知电子的质量为m 电量为e 4 已经知道 反粒子与正粒子有相同的质量 却带有等量的异号电荷 物理学家推测 既然有反粒子存在 就可能有由反粒子组成的反物质存在 1998 年 6 月 我国科学家研制的 阿尔法磁谱仪由 发现号 航天飞机搭载升空 寻找宇宙中反物质存在的证据 磁谱仪的核 心部分如图所示 PQ MN是两个平行板 它们之间存在匀强磁场区 磁场方向与两板平行 宇宙射线中的各种粒子从板PQ中央的小孔O垂直PQ进入匀强磁场区 在磁场中发生偏转 并打在附有感光底片的板MN上 留下痕迹 假设宇宙射线中存在氢核 反氢核 氦核 反氦 核四种粒子 它们以相同速度v从小孔O垂直PQ板进入磁谱仪的磁场区 并打在感光底片 上的a b c d四点 已知氢核质量为m 电荷量为e PQ与MN间的距离为L 磁场的磁 感应强度为B 1 指出a b c d 四点分别是由哪种粒子留下的痕迹 不要求写出判断过程 2 求出氢核在磁场中运动的轨道半径 3 反氢核在MN上留下的痕迹与氢核在MN上留下的痕迹之间的距离是多少 5 如图所示 在y 0 的区域内存在匀强磁场 磁场方向垂直于xy平面并指向纸里 磁感应强度为B 一带负电的粒子 质量为m 电荷量为q 以速度v0从O点射入磁场 入射 方向在xy平面内 与x轴正向的夹角为 求 8 1 该粒子射出磁场的位置 2 该粒子在磁场中运动的时间 粒子所受重力不计 参考答案参考答案 1 A 2 BCD 3 解析 电子在M N间加速后获得的速度为v 由动能定理得 mv2 0 eu 2 1 电子进入磁场后做匀速圆周运动 设其半径为r 则 evB m r v2 电子在磁场中的轨迹如图 由几何得 2 22 dL L r dL 22 由以上三式得 B e mu dL L22 22 4 解 1 a b c d四点分别是反氢核 反氦核 氦核和氢核留下的痕迹 9 2 对氢核 在磁场中做匀速圆周运动 由牛顿第二定律得 R v mevB 2 eB mv R 3 由图中几何关系知 2 22 22 22 L Be vm eB mv LRRs do 所以反氢核与氢核留下的痕迹之间的距离 2 22 22 2 2 2L Be vm eB mv ss doad 5 解 1 带负电粒子射入