高中数学 含参数的不等式解法归类解析学法指导

1 含参数的不等式解法归类解析含参数的不等式解法归类解析 求解含参数的不等式集中了解不等式的基础知识 基本技能 常与分类讨论相结合 成为各类考试中的重点和难点 分类讨论的关键在于弄清为什么要分类 从什么角度进行分类 本文以这两个方面为 着眼点 谈谈分类的策略 供同学们参考 一 含参数的一元二次不等式的讨论策略一 含参数的一元二次不等式的讨论策略 例例 1 解关于 x 的不等式 Ra01x2ax 2 分析 分析 对含参数的一元二次不等式的讨论顺序一般为先讨论二次项系数 后对 进行讨论 需要的话还要对根的大小进行比较 含参数的一元二次不等式与不含参数的一 元二次不等式的解题过程实质是一样的 结合二次函数的图象 一元二次不等式分类讨论 解 解 1 当 a 0 时 原不等式的解集为 2 1 x x 2 当 a 0 时 方程 4 4a 01x2ax 2 若 0 即 0 a 1 时 方程的两个解为 01x2ax 2 a a11 x1 a a11 x2 21 xx 所以原不等式的解集为 a a11 x a a11 x x 或 若 0 即 a 1 时 原不等式的解集为 1x x 若 1 时 原不等式的解集为 R 当 a0 方程两个解为 01x2ax 2 a a11 x1 且 a a11 x2 21 xx 原不等式的解集为 a a11 x a a11 x 总结 总结 对含参数的一元二次不等式的讨论 一般可分为以下三种情形 1 当含参数 的一元二次不等式的二次项系数为常数 但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需 要对判别式 进行讨论 2 当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数 且与 之对应的一元二次方程有两解 但不知道两个解的大小 因此需要对解的大小进行比较 3 当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时 首先要对二次项系数进行讨论 其次 有时要对判别式进行讨论 有时还要对方程的解的大小进行比较 二 含参数的绝对值不等式的讨论方法二 含参数的绝对值不等式的讨论方法 例例 2 解关于 x 的不等式 a 3x2x 2 错解 错解 a3x2xa3x2xa 3x2x 222 或 当时 解得 a3x2x 2 a41xa41x 或 当时 解得 a3x2x 2 a41xa41 剖析 剖析 此解法没有对 a 作任何讨论 陷入了解不等式的思维混乱状态 解绝对值不等 式的关键是去掉绝对值符号 由于 a 的范围不确定 所以解题时需对 a 进行分类讨论 特 2 别注意解不等式时要考虑 0 a 4 和 a 4 两种情况 正确解法 正确解法 当 a 0 时 得 Rx 当时 得 或 0a a3x2x 2 a3x2x 2 由 解得 a41xa41x 或 由 得 a4 1x 2 此时分类可知 若 解得 4a0 a41xa41 若 此不等式无解 4a 综上 当 a 0 时 原不等式解集为 R 当时 原不等式解集为4a0 a41a41xa41x x 或 或 x0 时 原不等式等价于 0 1x a 1a x 由于 可解得 也可先确定两根 然后直接写出1 a 1a a 1a x1 2121 xxxx 解集 当 a0 时 解集为 a 1a 1 当 a 0 时 解集为 1 a 1a 由以上几例可以看出 求解含参数的不等式 组