等差数列(教案+例题+习题)

一 等差数列一 等差数列 1 1 数列的概念 数列的概念 数列是一个定义域为正整数集 N 或它的有限子集 1 2 3 n 的特殊函数 数列的通项公式也就是相应函数的解析式 例例 1 1 根据数列前 4 项 写出它的通项公式 1 1 3 5 7 2 2 21 2 2 31 3 2 41 4 2 51 5 3 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 解析解析 1 2 2 3 n a1n n a 2 1 1 1 n n n a 1 1 n n n 点评点评 每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系 这对 考生的归纳推理能力有较高的要求 如 如 1 1 已知 则在数列的最大项为 2 156 n n anN n n a 2 2 数列的通项为 其中均为正数 则与的大小关系为 n a 1 bn an anba n a 1 n a 3 3 已知数列中 且是递增数列 求实数的取值范围 n a 2 n ann n a 2 2 等差数列的判断方法等差数列的判断方法 定义法或 1 nn aad d 为常数 11 2 nnnn aaaan 例例 2 设 Sn是数列 an 的前 n 项和 且 Sn n2 则 an 是 A 等比数列 但不是等差数列B 等差数列 但不是等比数列 C 等差数列 而且也是等比数列D 既非等比数列又非等差数列 答案 B 解法一解法一 an 2 12 1 1 2 1 1 1 nn n a nSS nS n nn an 2n 1 n N 又 an 1 an 2 为常数 常数 12 12 1 n n a a n n an 是等差数列 但不是等比数列 解法二解法二 如果一个数列的和是一个没有常数项的关于 n 的二次函数 则这个数列一定是等 差数列 点评点评 本题主要考查等差数列 等比数列的概念和基本知识 以及灵活运用递推式 an Sn Sn 1的推理能力 但不要忽略 a1 解法一紧扣定义 解法二较为灵活 练一练练一练 设是等差数列 求证 以 bn 为通项公式的数列 n a n aaa n 21 nN 为等差数列 n b 3 3 等差数列的通项等差数列的通项 或 1 1 n aand nm aanm d 4 4 等差数列的前等差数列的前和和 n 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n n Snad 例例 3 等差数列 an 的前 n 项和记为 Sn 若 a2 a4 a15的值是一个确定的常数 则数列 an 中 也为常数的项是 A S7 B S8 C S13 D S15 解析解析 设 a2 a4 a15 p 常数 3a1 18d p 解 a7 p 1 3 S13 13a7 p 13 a1 a13 2 13 3 答案 C 例例 4 等差数列 an 中 已知 a1 a2 a5 4 an 33 则 n 为 1 3 A 48 B 49 C 50 D 51 解析解析 a2 a5 2a1 5d 4 则由 a1 得 d 令 an 33 n 1 可解得 1 3 2 3 1 3 2 3 n 50 故选 C 答案 C 如如 1 1 等差数列中 则通项 n a 10 30a 20 50a n a 2 2 首项为 24 的等差数列 从第 10 项起开始为正数 则公差的取值范围是 例例 5 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 a12 8 S9 9 则 S16 解析解析 S9 9a5 9 a5 1 S16 8 a5 a12 72 答案 72 例例 6 已知数列 an 为等差数列 若0 a11 a10 的 n 的最大值为 A 11 B 19 C 20 D 21 解析解析 0 a11 0 且 a10 a110 19 a1 a19 2 S20 10 a10 a11 0 的 n 的最大值为 19 故选 B 答案 B 如 如 1 1 数列 中 前 n 项和 则 n a 1 1 2 2 nn aannN 3 2 n a 15 2 n S 1 an 2 2 已知数列 的前 n 项和 求数列的前项和 n a 2 12 n Snn n an n T 5 5 等差中项 等差中项 若成等差数列 则 A 叫做与的等差中项 且 a A bab 2 ab A 提醒提醒 1 1 等差数列的通项公式及前和公式中 涉及到 5 个元素 n 1 adn 及 其中 称作为基本元素 只要已知这 5 个元素中的任意 3 个 便可求出其 n a n S 1 ad 余 2 个 即知 3 求 2 2 2 为减少运算量 要注意设元的技巧 如奇数个数成等差 可设为 公差为 偶数个数成等差 可设为 2 2ad ad a ad ad d 公差为 2 3 3ad ad ad ad d 6 6 等差数列的性质等差数列的性质 1 当公差时 等差数列的通项公式是关于的一次0d 11 1 n aanddnad n 函数 且斜率为公差 前和是关于的二次dn 2 11 1 222 n n ndd Snadnan n 函数且常数项为 0 2 若公差 则为递增等差数列 若公差 则为递减等差数列 若公差0d 0d 则为常数列 0d 3 当时 则有 特别地 当时 则有mnpq qpnm aaaa 2mnp 2 mnp aaa 4 若 是等差数列 则 是非零常数 n a n b n ka nn kapb kp 也成等差数列 而成等比数列 若 p nq ap qN 232 nnnnn SSSSS n a a 是等比数列 且 则是等差数列 n a0 n a lg n a 练一练 练一练 等差数列的前 n 项和为 25 前 2n 项和为 100 则它的前 3n 和为 5 5 在等差数列中 当项数为偶数时 项数为奇数时 n a2nSSnd 偶奇 21n 这里即 SSa 奇偶中21 21 n Sna 中 a中 n a 1 奇偶 SSkk 练一练练一练 项数为奇数的等差数列中 奇数项和为 80 偶数项和为 75 求此数列的 n a 中间项与项数 6 若等差数列 的前和分别为 且 则 n a n bn n A n B n n A f n B 21 21 21 21 21 nnn nnn anaA fn bnbB 练一练 练一练 设 与 是两个等差数列 它们的前项和分别为和 若 n a n bn n S n T 那么 34 13 n n T S n n n n b a 7 7 首正 的递减等差数列中 前项和的最大值是所有非负项之和 首负 的递增等n 差数列中 前项和的最小值是所有非正项之和 法一 由不等式组n 确定出前多少项为非负 或非正 法二 因等差数列前项是关 0 0 0 0 11n n n n a a a a 或 n 于的二次函数 故可转化为求二次函数的最值 但要注意数列的特殊性 上述两n nN 种方法是运用了哪种数学思想 函数思想 由此你能求一般数列中的最大或最小项吗 练一练 练一练 等差数列中 问此数列前多少项和最大 并求此最 n a 1 25a 917 SS 大值 例例 7 1 设 an n N 是等差数列 Sn是其前 n 项的和 且 S5 S6 S6 S7 S8 则 下列结论错误的是 A d 0B a7 0 C S9 S5D S6与 S7均为 Sn的最大值 2 等差数列 an 的前 m 项和为 30 前 2m 项和为 100 则它的前 3m 项和为 A 130 B 170 C 210 D 260 解析解析 1 答案 C 由 S5 S6得 a1 a2 a3 a50 又 S6 S7 a1 a2 a6 a1 a2 a6 a7 a7 0 由 S7 S8 得 a8S5 即 a6 a7 a8 a9 02 a7 a8 0 由题设 a7 0 a8a k 1对任意大 于等于 k 的自然数都成立 若存在求出最小的 k 值 否则请说明理由 一 选择题 ABCCB DABDA 二 填空题 11 8 12 13 24 14 21 3 三 解答题 15 分析 应找到原数列的第 n 项是新数列的第几项 即找出新 旧数列的对应关系 解 设新数列为 4 1 3 2 1512511 dbbdnbbababb nn 有根据则 即 3 2 4d 1 4 d 17 2 1 44 n n bn 1 43 7 1 11 4 n n aann 又43nn ab 即原数列的第 n 项为新数列的第 4n 3 项 1 当 n 12 时 4n 3 4 12 3 45 故原数列的第 12 项为新数列的第 45 项 2 由 4n 3 29 得 n 8 故新数列的第 29 项是原数列的第 8 项 说明 一般地 在公差为 d 的等差数列每相邻两项之间插入 m 个数 构成一个新的等差数列 则新 数列的公差为原数列的第 n 项是新数列的第 n n 1 m m 1 n m 项 1 m d 16 解 1 23 1 a 0 6 a0 7 a 为整数 1 1 50 60 ad ad 6 23 5 23 d d 4d 2 23 4 2 1 23 nn nsn 1 2 nnn 2 nn25 2 2 625 4 25 2 2 n 当时最大 78 6 n n s 3 时 0 故最大值为 12 0252 2 nnsn 2 25 n n 17 分析 通过解方程组易求得首项和公差 再求 an及 Sn 解答 的关键在于判断项的变化趋势 解 设等差数列首项为 a1 公差为 d 依题意得 75156 6264 1 1 da da 解得 a1 20 d 3 2 23320 2 233 1 1 1 nnnaa Sndnaa n nn 2 343 22 nn 1 20 3 n adan 的项随着的增大而增大 1 2023 00 3230 3 1 230 7 7 33 kk aakkkkZk 设且得且即第项之前均为负数 123141278914 aaaaaaaaaa 147 2147SS 18 分析 证为等差数列 即证 d 是常数 n S 1 d SS nn 1 11 解 由已知当2n 时 1 111 11 11 2 111 2 2 2 1 2 2 11111 32 nn nnnnnnn nnnn n SS a