高二数学专题：三角函数部分易错题选析人教实验版（B）知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学高二数学专题 三角函数部分易错题选析专题 三角函数部分易错题选析人教实验版 人教实验版 B B 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 专题 三角函数部分易错题选析 二 知识分析 易错题 1 已知 0 2 13 cossin 则 tan的值为 A 3 3 3 或B 3 3 C 3 D 2 3 答案 答案 C 解题思路 解题思路 将 2 13 cossin 两边平方得 2 3 1cossin21 即 4 3 tan1 tan cossin cossin cossin 4 3 cossin 222 解之得 3 3 tan3tan 或 由于1 2 13 cossin00 即1 4 sin 20 于是 2 2 4 sin 0 又因为 4 5 44 得 44 3 所以 4 3 2 1tan 3tan 故选 C 错因分析 错因分析 错选 A 将 2 13 cossin 两边平方扩大了角 的取值范围 因而 造成增解 忽略三角函数值中角的范围而失误 三角函数问题要适时分析角的取值范围 避免增解 易错题 2 已知 tan2 sin1 sin1 sin1 sin1 则 的取值范围是 答案 答案 或 Zk 1k2 2 k2 2 k2 解题思路 解题思路 由已知 终边不在 y 轴上 左边 tan2 cos sin2 cos sin1 cos sin1 由 cos sin2 cos sin2 应得0sin0cos 或 用心 爱心 专心 的取值范围是 或 Zk 1k2 2 k2 2 k2 错因分析 错因分析 解答过程中会忽略0sin 的情况 由于考虑欠周引起失误 易错题 3 设命题甲 0 tan 命题乙 0tantan 则甲是乙的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 答案 B 解题思路 解题思路 若0 tan 2 但 tantan 无意义 故 0 tan 0tantan 若0tantan 则 tan tan 所以 Zkk 即 k 所以0 tan 故选 B 错因分析 错因分析 误区 由 tantan1 tantan tan 若0 tan 则 tantan 0 即甲 乙 若0tantan 则0 tan 即乙 甲 故甲是乙的充要条 件 故选 C 得出错误结论的原因是忽视了两角和差的正切公式成立的条件 k Zk 2 当 2 时 tan tan 无意义 要注意挖掘公 式成立的隐含条件 易错题 4 设 2 0 且 coscoscossinsinsin 则 等于 A 3 B 6 C 33 或D 3 答案 答案 D 解题思路 解题思路 由已知 sinsinsin coscoscos 2 2得 2 1 cos 且 2 0sinsinsin sinsin 用心 爱心 专心 在 2 0 xsiny 上为增函数 2 0 3 故选 D 错因分析 错因分析 误区 可能会忽略了 及 2 0sinsinsin 对角范围的限制 造成解题失误 解三角函数问题 要注意挖掘题设中对角的范围的限制 本题借助了三角函数的单调 性 缩小了角的范围 易错题 5 已知 sincos 4 1 cossin 则 的取值范围是 答案 答案 4 3 4 3 解题思路 解题思路 解法一 sincos 4 1 sincoscossin sin sincos 4 1 sincoscossin sin 由1 sin 11 sin 1 且 得 4 5 sincos 4 3 4 3 sincos 4 5 1sincos 4 1 1 1sincos 4 1 1 4 3 sincos 4 3 当且仅当 Zk 2 k2 时 右边等号成立 当且仅当 Zk 2 k2 时 左边等号成立 解法二 cos1 sin1 sincos 2222 16 9 cos sin 16 9 cossin2 cos sin 16 17 cos sin 16 17 cos sincossin1 2 2 22 2222 用心 爱心 专心 当且仅当 cossin 时等号成立 所以 4 3 sincos 4 3 错因分析 错因分析 盲目套用正余弦函数的有界性失误 误区 1 因为 sincos 4 1 cossincossin sin 因为1 sin 1 所以1sincos 4 1 1 4 3 sincos 4 5 因此 sincos的取值范围是 4 3 4 5 误区 2 因为 sincos 4 1 sincoscossin sin 因为1 sin 1 所以1sincos 4 1 1 由此得 4 5 coscos 4 3 因此 sincos的取值范围是 4 5 4 3 误区 1 2 错误的原因在于 当 4 1 sincos 时 与 存在着一种相互制约的关 系 sin 与 sin 的取值范围不应该是 1 1 即 sincos 达不到端点 函数值 4 5 4 5 和 误区 3 cos sincossin1 cos1 sin1 sincos 22222222 16 17 cos sin 16 17 22 由此得 4 17 sincos 因此 sincos的取值范围是 4 17 4 17 误区 3 的错因在于没有考虑 22 cossin 的取值能否为 0 显然 当 22 cossin 0 有时0cos0sin 且 此时不满足条件 4 1 cossin 易错题 6 用心 爱心 专心 在 ABC 中 已知 13 5 cos 5 3 Asin 则 cosC 的值为 答案 答案 65 16 解题思路 解题思路 由 2 2 13 5 Bcos 得 45 B 90 13 12 Bcos1Bsin 2 又 2 2 5 3 Asin 0 A 45 或 135 A 180 又 A B135 而 cos45 13 5 2 2 y cosx 在 0 90 上也是减函数 B 45 A B 180 这是不可能的 在 ABC 中 要充分利用三角形中内角的范围 缩小角的范围 否则会产生增根 易错题 7 函数 x3cosxcos x3sinxsin x f 的最小正周期为 答案 答案 解题思路 解题思路 因为x2tan xcosx2cos2 xcosx2sin2 x3cosxcos x3sinxsin x f 所以原函数定义域是 且Zk 2 kx 4 kx 用心 爱心 专心 若原函数的周期是 2 应有 0 f 0 2 f 而事实上 f 0 0 2 f 0 2 f 却无 意义 故 2 不是原函数的周期 原函数的周期必须是 错因分析 错因分析 忽略三角函数定义域引起失误 误区 误区 因为x2tan xcosx2cos2 xcosx2sin2 x3cosxcos x3sinxsin x f 所以 2 T 即周期为 2 上述解法似乎无懈可击 但若注意到原函数的定义域是 且且且Zk 2 kx 4 kx x 而函数x2tan x f 的定义域是 即 Zk 42 k x xZk 2 kx2 x 也可表示为 Zk 4 kx x 显然原函数的定义域与化简后函数的定义域不同 化简后的定义域被扩大了 所以解 题时要考虑原函数的定义域 要注意分析是否为等价变形 易错题 8 函数 xtan1 x2sinxcos2 y 2 A 最大值是 2 最小值是 0B 最小值是 0 但无最大值 C 最大值是 2 但无最小值D 最小值是 2 最大值是 2 答案 答案 B 解题思路 解题思路 xcos2 xsinxcos xsinx cosxcos2 xcos xsin 1 xcosxsin2xcos2 y 2 22 原式有意义 tanx 有意义且 tanx 1 x 4 kx 2 k 且 0 xcos y 无最小值 函数最大值是 2 无最小值 故选 B 错因分析 错因分析 误区 认为最小值为 0 原因是未注意函数的定义域 Zk 2 kx 扩大了 x 的范围在进行三角变形时要 时刻注意函数的定义域 在变形前后要一致 易错题 9 已知 3 1 ysinxsin 那么xcosysin 2 的最大值应为 用心 爱心 专心 答案 答案 9 4 解题思路 解题思路 由条件得 12 11 2 1 x sinxcosysin 22 因为1ysin1xsin 3 1 ysin 且 所以1xsin 3 2 所以 9 4 xcosy sin 3 2 xsin max 2 时 错因分析 错因分析 误区 xsin1 xsin 3 1 xcosysin 22 12 11 2 1 x sin 3 2 xsinxsin 2 2 所以 sinx 1 时 3 4 xcosy sin max 2 上述错误原因是盲目套用正弦的有界性 11 xsin 未注意题中隐含条件 11 ysinxsin 3 1 ysin 中 从而1xsin 3 2 准确挖掘和运用数学问题中的隐含条件是数学解题的一项重要基本功 易错题 10 已知函数 f x 2a bsinx 的最大值是 3 最小值是 1 求函数 2 bx sina4 x g 的最大 值 最小值及相应的 x 的取值 解题思路 解题思路 当 b 0 时 1ba2 3ba2 解