东方大题点睛班讲义.pptx

基础回顾 齐次线性方程组Ax 0的解有非零解的充要条件 秩 A n A为mxn的矩阵 利用相关性来解释此充要条件 矩阵的n个列向量是线性相关的若A为n阶方阵 则此充要条件可改写为 A 0 方程组的解 齐次线性方程组解的结构 若r A n 则齐次线性方程组Ax 0存在基础解系 其基础解系中含n r个解向量 关于AB 0A B分别为mxn和nxs的矩阵 且AB 0 则r A r B n关于AB 0 还要记住一点 那就是B的每一列都是A的解向量 非齐次线性方程组Ax b的解有解的充要条件 r A b r A 利用相关性解释该充要条件 向量b可由A的列向量组线性表出 因此将b加入到A的列向量组中并不改变其秩有唯一解的条件 r A b r A A的列数有无数解的条件 r A b r A A的列数 非齐次线性方程组解的结构 若Ax b有解 则其一般解为 其中为原方程组的一个特解 而为Ax 0的一般解 齐次方程组Ax 0与非齐次Ax b解的关系区别 齐次方程组不同解的线性组合仍为其解非齐次不同解的线性组合一般不为其解联系 若为AX b的解 那么为Ax 0的解 题型分类考研真题中方程组的题目 求解是其根本 利用方程组有解的条件求未知数的题目标志词 此类题目一般是给出系数中含有未知字母的齐次或非齐次方程组 然后根据是否有解以及解的个数求解字母解题步骤 1 列出方程组的增广矩阵2 对增广矩阵进行初等变换方法 从第2行开始依次向下变换 首先将第2至n行通过加减第1行的倍数 使得每一行的首个元素变为0 然后将第3至n行通过加减第2行的倍数 使得每一行的第二个元素变为0 依此类推如果被加减的那一行首元素为元素 则将其与首元素为数字的行交换 当然是往下换 目标 将增广矩阵化为阶梯型矩阵 进行初等变换之后 我们得到这样的方程组 我们取为自由变量 分别取下列的n r值 1 0 0 0 1 0 0 0 1 则可以得到齐次线性方程组的基础解系 那么齐次线性方程组的解为 对于非齐次线性方程组 我们还要求其特解 方法 令均取0 我们即可得到一个特解3 根据系数矩阵与增广矩阵的秩来对含有未知数的代数式进行讨论 例题 2010 数一 设矩阵A b 已知线性方程组Ax b存在两个不同的解 1 求 a 2 求方程组的通解 解 因为方程组不仅仅有一个解 所以r A b r A 2的列数首先写出增广矩阵 对增广矩阵进行初等变换 因为第一行首元素为字母 所以换至第三行得 接着进行如下的初等变换 3 1 3 2 含有未知数的代数式包括 所以我们对 是否为1 1与a 1进行讨论 2 刚刚求得 1 a 2 所以增广矩阵变为 求齐次方程组的基础解系 取为自由向量 令其为1 得到基础解系 取其为0 则可以得到一个非齐次方程组的特解 关于向量组之间相互表出的问题前面说到了 Ax b 实际就是列向量b可由A的列向量组线性表出 那么若向量组可由向量组线性表出 实际就是n个非齐次线性方程组同时有解的问题解题步骤 1 写出增广矩阵 这里的增广矩阵式扩展的增广矩阵 需要把n个 向量并排写出 2 初等变换的方法与求解方程组的方法相同 3 在进行讨论的时候需要同时讨论所有的含有未知数的代数式 例题 2005 数二 设有向量组 1 向量组 2 问 当a取何值是两个向量组等价 解 等价实际就是说两个向量组之间可以相互表出首先列出扩展后的增广矩阵 3 2 1 3 2 由此 我们可以看出只有当a 1时 正向方程组才有解 那么检验此时逆向方程组是否有解我们发现当a 1时 1 2 2 6 所以此时逆向方程组也有解 两个方程组的公共解解题步骤 1 将两个方程组合并成一个方程组 2 求新产生的方程组的解 方法与前同例题 2007 数一 设线性方程组与方程有公共解 求a的值 解 合并两个方程组得到 写出增广矩阵 进行初等变换 下面我们就a的值结合方程组有不同解的条件进行讨论 若a 1 r A b r A 2方程组有解若a 2 r A b r A 3方程组有解 基础回顾 定义 如果对m个向量 有m个不全为0的数 使成立 则称此m个向量线性先关 否则称它们线性无关通俗来讲 对于此m个向量 若任何一个均不能由其它的向量线性表出 则线性无关 若至少有一个可由其它的线性表出 则线性相关 线性相关性 定理 若向量组线性无关 而线性相关 则 可由线性表出 且表示法唯一联系方程组的解 非齐次线性方程组有唯一解的条件 r A b r A A的列数 考研真题中最常考的是线性无关 那么看一下已知的两组一定线性无关的向量组 1 齐次线性方程组的基础解系中的n r个向量一定线性无关 有时候通过两个不同的非齐次方程组解相减得到齐次方程组的解 2 对应于不同特征值的特征向量一定线性无关 题型分类 证明具体已知的向量组的线性无关性标志词 给出n个已知的向量 当然可能含有未知字母 证明他们线性相关或者线性无关解题核心思想 证明由此n个列向量组成的矩阵A的秩比n小 即r A n解题步骤 1 将此n个向量作为列向量组成矩阵A 写出矩阵A 2 初等变换 方法步骤与解方程组中的初等变换相同 尽量将矩阵变为阶梯型矩阵 3 计算或者讨论a 若为方阵 则最常用的方法是计算其行列式值为0则线性相关 不为0则线性无关b 若为一般矩阵 则绝大多数情形是没有全零行 当然不能有两行成比例本质 将它们写成矩阵的形式实际上是一个非线性方程组的增广矩阵 或者说是一个齐次线性方程组 如果秩为n的话自然无非零解 那么就是线性无关 例题 2009 数一 设A 1 求满足与的所有的 2 证明 1 中的任意线性无关 解 1 求解方程组首先列出增广矩阵 对其进行初等变换 2 1 3 x 1 4 3 2 取为自由向量 令其为1 则得到齐次方程组的基础解系为 令其为0 则得到一个特解为 所以 同样的方法我们可以得到 2 按照证明的步骤来 首先写成矩阵形式得到 我们继续对其进行初等变换可以得到 1 2 3 2 2 1 3 1 2 证明未知 非具体的 常用 等符号表示 向量的线性相关性标志词 常用 等符号表示 并无具体的维数以及坐标解题核心思想 利用定义即解题步骤 1 首先将题目要求证明的线性无关的向量代入上式 即假设存在对于题目求证的向量使得上式成立 2 通过题目给出的线性关系式 或者我们构造出线性无关的向量 来证明均为0 基础回顾 定义 设A为复数域C上的n阶矩阵 如果存在数 C和非零的n维向量x 使得Ax x则 为矩阵A的特征值 x是A的属于特征值 的特征向量由此可知 满足方程 此方程称作A的特征方程 而称作A的特征方程 特征值 特征向量与相似 特征值与特征向量的特点 设n阶矩阵的n个特征值为则 i ii 同一个特征值与不同特征值所对应特征向量的关系 1 对应于不同特征值的特征向量是线性无关的 2 若 均是A的对应于特征值 的特征向量 则它们的线性组合同样是对应于 的特征向量 关于相似矩阵定义 对于矩阵A和B 若存在可逆矩阵P 使得 就称A相似于B性质 相似矩阵的特征值相同 矩阵可对角化的条件 矩阵可对角化的充分必要条件是n阶矩阵有n个线性无关的特征向量 或矩阵的每个特征值的重数等于对应特征子空间的维数简单地来说 矩阵A具有n个不同的特征值 或者当某个或者某几个特征值为m重根时 它们的基础解系必须含有m个解 题型分类 基础题 给出含有参变量的矩阵 求其特征值与特征向量并且判断矩阵是否能相似对角化解题核心思想 按照下面所介绍的步骤按部就班进行解题步骤 一 求解矩阵的特征值特征向量 1 写出所给矩阵A的特征矩阵 E A 2 令 E A 0 求解未知参变量a 首先进行初等变换b 可能会需要讨论 根据题目要求 3 解出 即为矩阵的特征值 4 将求解出的 一次代入方程 E A x 0 5 上面方程组的解即为对应的特征向量二 根据特征值极其对应的特征向量判断矩阵是否能对角化 1 若求出n个不同的特征值 则矩阵一定可以相似对角化 2 若求出一个或者多个多重根 则看它们对应方程组的基础解系中的解的个数是否等于重数 是则可以 否则不可以相似对角化 例题 2004 数一 设矩阵 已知其特征方程有一个二重根 求a的值并且讨论A是否可以相似对角化 解 首先写出其特征方程 得到 求解行列式也需要进行初等变换122 1 1 3 1 2 3 3 所以 原题实际是在说方程存在一个二重根下面分情况讨论 若 2为二重根 则有一个根为2 所以代入原式可求得a 2 另一个根为 6至于原矩阵是否可相似对角化 我们只需看特征值2所对应的特征向量是否有两个即可特征矩阵变为 其秩为1 所以的基础解系有两个解 所以矩阵可以相似对角化 若 2不是双重根 则说明有双重根 则18 3a 16 此时a 2 3 4下面只需看 4时 矩阵的特征方程的基础解系有几个解即可特征矩阵 1 3 3 其秩为2 所以基础解系中只有一个解 因此此时矩阵不可以相似对角化 灵活性题目标志词 此类题目在题型改革后备受青睐 并不是简单地给出矩阵让大家求其特征值特征向量 而是给出矩阵A与向量 之间的线性关系 从这些关系中找出其特征值特征向量解题核心思想 1 利用题目给出的特征值以及A与 的线性关系 列出等式A 然后努力构造出下面的矩阵方程 2 检验矩阵 是否可逆 若其可逆 则我们就得到了与A相似的矩阵B 即为 通过求解的特征值 我们即可得到A的特征值 3 因为当A与B相似时 根据 我们可以得到 所以我们可以通过相似对角化矩阵B来相似对角化A 因为若存在可逆矩阵C使得成立 则代入上式可以得到 这样我们就将A相似对角化了 例题 2005 数四 设A为三阶矩阵 是线性无关的三维列向量 且满足 1 求矩阵B 使得 2 求矩阵A的特征值 3 求可逆矩阵P 使得为对角矩阵 解 首先根据A与 的线性关系我们可以写出第一问的答案 2 检验矩阵的可逆性 因为题目说为线性无关的向量 所以矩阵可逆 那么我们可以说A与B相似 通过求B的特征值即可得到A的特征值 矩阵B的特征矩阵为 所以B的特征值为 对应于特征值1 解特征方程即可得其特征向量系数矩阵 13 2 1秩为1 所以其基础解系含有两个解 同理 我们接触特征值4 对应的特征向量为 由此我们可以求得 即 存在矩阵 使得因为 令 所以 因此我们取所以 例题 2008 数三 A为3阶矩阵 为A的分别属于特征值 1 1的特征向量 向量满足 1 证明 线性无关 2 令 求 分析 这是一道综合线性相关性与特征值 相似的题目 看似跨度比较大 实际联系很深 因为我们在中希望是线性无关的 1 证明 看到符号表示的向量组 我们做出假设即存在 使得 第二步就是想办法构造我们已知的线性无关的向量 因为是对应于不同特征值的特征向量 所以二者一定线性无关令上式左右同乘矩阵A 得到 由题意知 所以原式变为 将上式减去 1 式得 因为线性无关 所以均为0 代回 1 式 得到 0 2 因为是分别对应于特征值 1与1的特征向量所以加上题目的条件我们可以得到所以我们得到 基础回顾 二次型的标准型与二次型的规范型二次型的标准型将二次型相似为对角矩阵 那么其对角线上的元素是为原矩阵的特征值而二次型的规范型是将二次型的标准型进一步转化 将其对角线上的元素化为1 1与0所以根据二次型的标准型我们可以得到原矩阵的特征值 而根据二次型的规范型我们只能得到原矩阵特征值的符号情况 二次型 如何将二次型化为标准型方法 正交变换法 1 求出二次型矩阵的特征值与特征向量 2 将二次型的特征向量按照施密特正交化法进行正交化 然后再单位化 3 取正交单位化过的单位向量作为列向量 即可得到我们所需要的变换矩阵Q 再次强调 对于其中的均为A的特征值 而Q中的每一列都分别是对应于 的特征向量 而且Q为正交矩阵 两年新题化二次型为标准型实际就是实对称矩阵的相似对角化 需要牢记以上两页讲义的内容例题 2009 数一 设二次型 1 求二次型的矩阵的所有的特征值 2 若二次型的规范型为 求a的值 解 首先写出二次型的矩阵 得到 列出其特征矩阵 1 3 3 a 1 2 因为二次型的规范型告诉我们的是特征值的符号情况 从题目中可以看出来 矩阵的特征值有两个正的一个0 没有负的那么 a 2 a a 1 所以a 2 0 a 2 2010同样考了一道二次型与特征值特征向量结合的综合题 看似繁琐 其实还是很基