高考数学 数列通项公式求解方法总结

1 求数列通项公式的十种方法求数列通项公式的十种方法 一 公式法一 公式法 例例 1 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 23 2n nn aa 1 2a n a 解 两边除以 得 则 故数列 1 23 2n nn aa 1 2n 1 1 3 222 nn nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 是以为首项 以为公差的等差数列 由等差数列的通项公式 得 2 n n a 1 2 2 2 a 1 1 2 3 所以数列的通项公式为 3 1 1 22 n n a n n a 31 2 22 n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 说明数列 1 23 2n nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 是等差数列 再直接利用等差数列的通项公式求出 进而求出数列 2 n n a3 1 1 22 n n a n 的通项公式 n a 二 累加法二 累加法 例例 2 2 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 解 由得则 1 21 nn aan 1 21 nn aan 11232211 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn n nn n 所以数列的通项公式为 n a 2 n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 进而 1 21 nn aan 1 21 nn aan 求出 即得数列的通项公式 11232211 nnnn aaaaaaaaa n a 2 例例 3 3 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 313 n nn aaa n a 解 由得则 1 2 31 n nn aa 1 2 31 n nn aa 11232211 1221 1221 1 2 31 2 31 2 31 2 31 3 2 3333 1 3 3 1 3 2 1 3 1 3 331 3 31 nnnnn nn nn n n n aaaaaaaaaa n n n n 所以31 n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 2 31 n nn aa 1 2 31 n nn aa 进而求出 即得数列的 11232211 nnnnn aaaaaaaaaa n a 通项公式 例例 4 4已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 32 313 n nn aaa n a 解 两边除以 得 1 32 31 n nn aa 1 3n 1 11 21 3333 nn nnn aa 则 故 1 11 21 3333 nn nnn aa 11223211 22321 11 122 122 33333333 212121213 333333333 2 1 11111 1 333333 nnnnnnn nnnnn nn nnn nnnn aaaaaaaaaa aa n 因此 1 1 1 3 2 1 211 3 1 331 3322 3 n n n nn ann 则 211 33 322 nn n an 3 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 32 31 n nn aa 1 11 21 3333 nn nnn aa 进而求出 即得数列 11223211 1122321 333333333 nnnnnn nnnnnn aaaaaaaaa 的通项公式 最后再求数列的通项公式 3 n n a n a 三 累乘法三 累乘法 例例 5 5 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 53 n nn anaa n a 解 因为 所以 则 故 11 2 1 53 n nn anaa 0 n a 1 2 1 5n n n a n a 132 1 1221 1221 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 5 2 2 1 5 2 2 1 5 2 1 1 5 3 2 1 3 2 53 3 25 nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列的通项公式为 n a 1 1 2 3 25 n n n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系转化为 进而 1 2 1 5n nn ana 1 2 1 5n n n a n a 求出 即得数列的通项公式 132 1 1221 nn nn aaaa a aaaa n a 例例 6 6 2004 年全国 I 第 15 题 原题是填空题 已知数列满足 n a 求的通项公式 11231 123 1 2 nn aaaaanan n a 解 因为 1231 23 1 2 nn aaaanan 所以 11231 23 1 nnn aaaanana 用 式 式得 1 nnn aana 则 1 1 2 nn ana n 4 故 1 1 2 n n a nn a 所以 13 222 122 1 4 3 2 nn n nn aaan aan naa aaa 由 则 又 1231 23 1 2 nn aaaanan 212 22naaa 取得 21 aa 知 则 代入 得 1 1a 2 1a 1 3 4 5 2 n n an 所以 的通项公式为 n a 2 n n a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 1 2 nn ana n 1 1 2 n n a nn a 进而求出 从而可得当的表达式 最后再求出数列 13 2 122 nn nn aaa a aaa 2 n na 时 的通项公式 n a 四 待定系数法四 待定系数法 例例 7 7 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 23 56 n nn aaa n a 解 设 1 1 52 5 nn nn axax 将代入 式 得 等式两边消去 1 23 5n nn aa 1 23 55225 nnn nn axax 得 两边除以 得代入 式得2 n a 1 3 5525 nnn xx 5n352 1 xxx 则 1 1 52 5 nn nn aa 由及 式得 则 则数列是以 1 1 56510a 50 n n a 1 1 5 2 5 n n n n a a 5 n n a 为首项 以 2 为公比的等比数列 则 故 1 1 51a 1 52 nn n a 1 25 nn n a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 23 5n nn aa 1 1 52 5 nn nn aa 从而可知数列是等比数列 进而求出数列的通项公式 最后再求出数列 5 n n a 5 n n a 的通项公式 n a 例例 8 8 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 35 241 n nn aaa n a 解 设 1 1 23 2 nn nn axyaxy 5 将代入 式 得 1 35 24 n nn aa 1 35 2423 2 nnn nn axyaxy 整理得 52 24323 nn xyxy 令 则 代入 式得 523 43 xx yy 5 2 x y 1 1 5 223 5 22 nn nn aa 由及 式 1 1 5 221 12130a 得 则 5 220 n n a 1 1 5 22 3 5 22 n n n n a a 故数列是以为首项 以 3 为公比的等比数列 5 22 n n a 1 1 5 221 1213a 因此 则 1 5 2213 3 nn n a 1 13 35 22 nn n a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 35 24 n nn aa 从而可知数列是等比数列 进而 1 1 5 223 5 22 nn nn aa 5 22 n n a 求出数列的通项公式 最后再求数列的通项公式 5 22 n n a n a 例例 9 9 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2 11 23451 nn aanna n a 解 设 22 1 1 1 2 nn ax ny nzaxnynz 将代入 式 得 2 1 2345 nn aann 则 222 2345 1 1 2 nn annx ny nzaxnynz 22 2 3 24 5 2222 nn ax nxynxyzaxnynz 等式两边消去 得 2 n a 22 3 24 5 222x nxynxyzxnynz 解方程组 则 代入 式 得 32 242 52 xx xyy xyzz 3 10 18 x y z 22 1 3 1 10 1 182 31018 nn annann 由及 式 得 2 1 3 110 1 181 31320a 2 310180 n ann 6 则 故数列为以 2 1 2 3 1 10 1 18 2 31018 n n ann ann 2 31018 n ann 为首项 以 2 为公比的等比数列 因此 2 1 3 110 1 181 3132a 则 21 3101832 2n n ann 42 231018 n n ann 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 2 1 2345 nn aann 从而可知数列 22 1 3 1 10 1 182 31018 nn annann 是等比数列 进而求出数列的通项公式 最后 2 31018 n ann 2 31018 n ann 再求出数列的通项公式 n a 五 对数变换法五 对数变换法 例例 1010 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 5 1 2 3n nn aa 1 7a n a 解 因为 所以 在式两边取 5 11 2 37 n nn aaa 1 00 nn aa 5 1 2 3n nn aa 常用对数得 1 lg5lglg3lg2 nn aan 设 1 lg 1 5 lg nn ax nyaxny 11 将 式代入式 得 两边消去 11 5lglg3lg2 1 5 lg nn anx nyaxny 并整理 得 则5lg n a lg3 lg255x nxyxny 故 lg35 lg25 xx xyy lg3 4 lg3lg2 164 x y 代入式 得 11 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg 1 5 lg 41644164 nn anan 12 由及式 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg1lg710 41644164 a 12 得 lg3lg3lg2 lg0 4164 n an 则 1 lg3lg3lg2 lg 1 4164 5 lg3lg3lg2 lg 4164 n n an an 7 所以数列是以为首项 以 5 为公比的等 lg3lg3lg2 lg 4164 n an lg3lg3lg2 lg7 4164 比数列 则 因此 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg lg7 5 41644164 n n an 11 1 11111 1 6164444 11111 1 16164444 11111 1 16164444 55 51 4 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg lg7 5 4164464 lg7lg3lg3lg2 5lg3lg3lg2 lg 7 332 5lg 332 lg 7 332 5lg 332 lg 733 nn n n n n n n n n n n an 1 1 151 164 54151 51 164 2 lg 732 n n nn n 则 1 1 54151 5 164 732 n n nn n a 评注 本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为 5 1 2 3n nn aa 从而可知数列 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg 1 5 lg 41644164 nn anan 是等比数列 进而求出数列的通 lg3lg3lg2 lg 4164 n an lg3lg3lg2 lg 4164 n an 项公式 最后再求出数列的通项公式 n a 六 迭代法六 迭代法 例例 1111 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 3 1 2 11 5 n n nn aaa n a 解 因为 所以 3 1 2 1 n n nn aa 121 323 1 232 12 nnn nnn nnn aaa 8 2 2 1 32 2 1 3 3 2 1 11 2 3 2 1 1 1 2 3 1 2 2 3 2 23 1 2 3 3 2 1 2 3 32 3 2 1 2 1 3 2 1 nn nnn nnn nnnn n n n nn n nnn n nnn n nnn n a a a a a 又 所以数列的通项公式为 1 5a n a 1 1 2 3 2 5 n n n n n a 评注 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式 即先将等式 两边取常用对数得 即 再 3 1 2 1 n n nn aa 1 lg3 1 2lg n nn ana 1 lg 3 1 2 lg n n n a n a 由累乘法可推知 从而 1 1 2 3 2 132 1 1221 lglglglg lglglg5 lglglglg n n n n nn n nn aaaa aa aaaa 1 1 3 2 2 5 n n n n n a 七 数学归纳法七 数学归纳法 例例 1212 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 22 8 1 8 21 23 9 nn n aaa nn n a 解 由及 得 1 22 8 1 21 23 nn n aa nn 1 8 9 a 21 22 32 22 43 22 8 1 1 88 224 2 1 1 2 1 3 99 2525 8 2 1 248 348 2 2 1 2 23 2525 4949 8 3 1 488 480 2 3 1 2 33 4949 8181 aa aa aa 由此可猜测 往下用数学归纳法证明这个结论 2 2 21 1 21 n n a n 9 1 当时 所以等式成立 1n 2 1 2 2 1 1 18 2 1 1 9 a 2 假设当时等式成立 即 则当时 nk 2 2 21 1 21 k k a k 1nk 1 22 8 1 21 23 kk k aa kk 2 222 22 22 222 22 222 22 2 2 2 21 18 1 21 21 23 21 1 23 8 1 21 23 21 23 23 8 1 21 23 21 23 21 21 23 23 1 23 2 1 1 1 2 1 1 kk kkk kkk kk kkkk kk kkk kk k k k k 2 由此可知 当时等式也成立 1nk 根据 1 2 可知 等式对任何都成立 nN 评注 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项 进而猜出数列的通 项公式 最后再用数学归纳法加以证明 八 换元法八 换元法 例例 1313 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 1 14124 1 16 nnn aaaa n a 解 令 则124 nn ba 2 1 1 24 nn ab 故 代入得 2 11 1 1 24 nn ab 1 1 14124 16 nnn aaa 10 22 1 111 1 14 1 241624 nnn bbb 即 22 1 4 3 nn bb 因为 故1240 nn ba 11 1240 nn ba 则 即 1 23 nn bb 1 13 22 nn bb 可化为 1 1 3 3 2 nn bb 所以是以为首项 以为公比的等比数 3 n b 11 31243124 132ba 2 1 列 因此 则 即 得 12 11 32 22 nn n b 2 1 3 2 n n b 2 1 124 3 2 n n a 2 111 3 423 nn n a 评注 本题解题的关键是通过将的换元为 使得所给递推关系式转化124 n a n b 形式 从而可知数列为等比数列 进而求出数列的通项公 1 13 22 nn bb 3 n b 3 n b 式 最后再求出数列的通项公式 n a 九 不动点法九 不动点法 例例 1414 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2124 4 41 n n n a aa a n a 解 令 得 则是函数 2124 41 x x x 2 420240 xx 12 23xx 的两个不动点 因为 2124 41 x f x x 11 所以数列 1 1 2124 2 24121242 41 1326213 2124 321243 41 92793 3 41 n nnnnnn n nnnnn n a aaaaaa a aaaaa a 是以为首项 以为公比的等比数列 故 2 3 n n a a 1 1 242 2 343 a a 9 13 1 213 2 39 n n n a a 则 1 1 3 13 2 1 9 n n a 评注 本题解题的关键是先求出函数的不动点 即方程的 2124 41 x f x x 2124 41 x x x 两个根 进而可推出 从而可知数列为等比 12 23xx 1 1 2213 393 nn nn aa aa 2 3 n n a a 数列 再求出数列的通项公式 最后求出数列的通项公式 2 3 n n a a n a 例例 1515 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 72 2 23 n n n a aa a n a 解 令 得 则是函数的不动点 72 23 x x x 2 2420 xx 1x 31 47 x f x x 因为 所以 1 7255 11 2323 nn n nn aa a aa 1 35 2312212 22 1 155515115 n n nnnnn a a aaaaa 所以数列是以为首项 以为公差的等差数列 则 1 1 n a 1 11 1 12 1a 5 2 故 12 1 1 15 n n a 28 23 n n a n 评注 本题解题的关键是先求出函数的不动点 即方程的根 31 47 x f x x 72 23 x x x 12 进而可推出 从而可知数列为等差数列 再求出数1x 1 112 115 nn aa 1 1 n a 列的通项公式 最后求出数列的通项公式 1 1 n a n a 十 特征根法十 特征根法 例例 1616 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1112 3 2 1 nnn aaanaa n a 解 的相应特征方程为 解之求特征根是 11 3 2 nnn aaan 2 310 所以 12 3535 22 12 3535 22 n acc 由初始值 得方程组 12 1aa 11 12 22 12 3535 1 22 3535 1 22 cc cc 求得 1 2 52 5 5 52 5 5 c c 从而 52 5 3552 5 35 5252 nn n a 评注 本题解题的关键是先求出特征方程的根 再由初始值确定出 从而可得数列 21 cc 的通项公式 n a 求数列通项公式的十种方法求数列通项公式的十种方法 一 公式法一 公式法 例例 1 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 23 2n nn aa 1 2a n a 13 解 两边除以 得 则 故数列 1 23 2n nn aa 1 2n 1 1 3 222 nn nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 是以为首项 以为公差的等差数列 由等差数列的通项公式 得 2 n n a 1 2 2 2 a 1 1 2 3 所以数列的通项公式为 3 1 1 22 n n a n n a 31 2 22 n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 说明数列 1 23 2n nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 是等差数列 再直接利用等差数列的通项公式求出 进而求出数列 2 n n a3 1 1 22 n n a n 的通项公式 n a 二 累加法二 累加法 例例 2 2 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 解 由得则 1 21 nn aan 1 21 nn aan 11232211 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn n nn n 所以数列的通项公式为 n a 2 n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 进而 1 21 nn aan 1 21 nn aan 求出 即得数列的通项公式 11232211 nnnn aaaaaaaaa n a 例例 3 3 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 313 n nn aaa n a 解 由得则 1 2 31 n nn aa 1 2 31 n nn aa 14 11232211 1221 1221 1 2 31 2 31 2 31 2 31 3 2 3333 1 3 3 1 3 2 1 3 1 3 331 3 31 nnnnn nn nn n n n aaaaaaaaaa n n n n 所以31 n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 2 31 n nn aa 1 2 31 n nn aa 进而求出 即得数列的 11232211 nnnnn aaaaaaaaaa n a 通项公式 例例 5 5已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 32 313 n nn aaa n a 解 两边除以 得 1 32 31 n nn aa 1 3n 1 11 21 3333 nn nnn aa 则 故 1 11 21 3333 nn nnn aa 11223211 22321 11 122 122 33333333 212121213 333333333 2 1 11111 1 333333 nnnnnnn nnnnn nn nnn nnnn aaaaaaaaaa aa n 因此 1 1 1 3 2 1 211 3 1 331 3322 3 n n n nn ann 则 211 33 322 nn n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 32 31 n nn aa 1 11 21 3333 nn nnn aa 15 进而求出 即得数列 11223211 1122321 333333333 nnnnnn nnnnnn aaaaaaaaa 的通项公式 最后再求数列的通项公式 3 n n a n a 三 累乘法三 累乘法 例例 5 5 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 53 n nn anaa n a 解 因为 所以 则 故 11 2 1 53 n nn anaa 0 n a 1 2 1 5n n n a n a 132 1 1221 1221 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 5 2 2 1 5 2 2 1 5 2 1 1 5 3 2 1 3 2 53 3 25 nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列的通项公式为 n a 1 1 2 3 25 n n n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系转化为 进而 1 2 1 5n nn ana 1 2 1 5n n n a n a 求出 即得数列的通项公式 132 1 1221 nn nn aaaa a aaaa n a 例例 6 6 2004 年全国 I 第 15 题 原题是填空题 已知数列满足 n a 求的通项公式 11231 123 1 2 nn aaaaanan n a 解 因为 1231 23 1 2 nn aaaanan 所以 11231 23 1 nnn aaaanana 用 式 式得 1 nnn aana 则 1 1 2 nn ana n 故 1 1 2 n n a nn a 16 所以 13 222 122 1 4 3 2 nn n nn aaan aan naa aaa 由 则 又 1231 23 1 2 nn aaaanan 212 22naaa 取得 21 aa 知 则 代入 得 1 1a 2 1a 1 3 4 5 2 n n an 所以 的通项公式为 n a 2 n n a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 1 2 nn ana n 1 1 2 n n a nn a 进而求出 从而可得当的表达式 最后再求出数列 13 2 122 nn nn aaa a aaa 2 n na 时 的通项公式 n a 四 待定系数法四 待定系数法 例例 7 7 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 23 56 n nn aaa n a 解 设 1 1 52 5 nn nn axax 将代入 式 得 等式两边消去 1 23 5n nn aa 1 23 55225 nnn nn axax 得 两边除以 得代入 式得2 n a 1 3 5525 nnn xx 5n352 1 xxx 则 1 1 52 5 nn nn aa 由及 式得 则 则数列是以 1 1 56510a 50 n n a 1 1 5 2 5 n n n n a a 5 n n a 为首项 以 2 为公比的等比数列 则 故 1 1 51a 1 52 nn n a 1 25 nn n a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 23 5n nn aa 1 1 52 5 nn nn aa 从而可知数列是等比数列 进而求出数列的通项公式 最后再求出数列 5 n n a 5 n n a 的通项公式 n a 例例 8 8 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 35 241 n nn aaa n a 解 设 1 1 23 2 nn nn axyaxy 将代入 式 得 1 35 24 n nn aa 17 1 35 2423 2 nnn nn axyaxy 整理得 52 24323 nn xyxy 令 则 代入 式得 523 43 xx yy 5 2 x y 1 1 5 223 5 22 nn nn aa 由及 式 1 1 5 221 12130a 得 则 5 220 n n a 1 1 5 22 3 5 22 n n n n a a 故数列是以为首项 以 3 为公比的等比数列 5 22 n n a 1 1 5 221 1213a 因此 则 1 5 2213 3 nn n a 1 13 35 22 nn n a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 35 24 n nn aa 从而可知数列是等比数列 进而 1 1 5 223 5 22 nn nn aa 5 22 n n a 求出数列的通项公式 最后再求数列的通项公式 5 22 n n a n a 例例 9 9 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2 11 23451 nn aanna n a 解 设 22 1 1 1 2 nn ax ny nzaxnynz 将代入 式 得 2 1 2345 nn aann 则 222 2345 1 1 2 nn annx ny nzaxnynz 22 2 3 24 5 2222 nn ax nxynxyzaxnynz 等式两边消去 得 2 n a 22 3 24 5 222x nxynxyzxnynz 解方程组 则 代入 式 得 32 242 52 xx xyy xyzz 3 10 18 x y z 22 1 3 1 10 1 182 31018 nn annann 由及 式 得 2 1 3 110 1 181 31320a 2 310180 n ann 则 故数列为以 2 1 2 3 1 10 1 18 2 31018 n n ann ann 2 31018 n ann 18 为首项 以 2 为公比的等比数列 因此 2 1 3 110 1 181 3132a 则 21 3101832 2n n ann 42 231018 n n ann 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 2 1 2345 nn aann 从而可知数列 22 1 3 1 10 1 182 31018 nn annann 是等比数列 进而求出数列的通项公式 最后 2 31018 n ann 2 31018 n ann 再求出数列的通项公式 n a 五 对数变换法五 对数变换法 例例 1010 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 5 1 2 3n nn aa 1 7a n a 解 因为 所以 在式两边取 5 11 2 37 n nn aaa 1 00 nn aa 5 1 2 3n nn aa 常用对数得 1 lg5lglg3lg2 nn aan 设 1 lg 1 5 lg nn ax nyaxny 11 将 式代入式 得 两边消去 11 5lglg3lg2 1 5 lg nn anx nyaxny 并整理 得 则5lg n a lg3 lg255x nxyxny 故 lg35 lg25 xx xyy lg3 4 lg3lg2 164 x y 代入式 得 11 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg 1 5 lg 41644164 nn anan 12 由及式 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg1lg710 41644164 a 12 得 lg3lg3lg2 lg0 4164 n an 则 1 lg3lg3lg2 lg 1 4164 5 lg3lg3lg2 lg 4164 n n an an 所以数列是以为首项 以 5 为公比的等 lg3lg3lg2 lg 4164 n an lg3lg3lg2 lg7 4164 19 比数列 则 因此 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg lg7 5 41644164 n n an 11 1 11111 1 6164444 11111 1 16164444 11111 1 16164444 55 51 4 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg lg7 5 4164464 lg7lg3lg3lg2 5lg3lg3lg2 lg 7 332 5lg 332 lg 7 332 5lg 332 lg 733 nn n n n n n n n n n n an 1 1 151 164 54151 51 164 2 lg 732 n n nn n 则 1 1 54151 5 164 732 n n nn n a 评注 本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为 5 1 2 3n nn aa 从而可知数列 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg 1 5 lg 41644164 nn anan 是等比数列 进而求出数列的通 lg3lg3lg2 lg 4164 n an lg3lg3lg2 lg 4164 n an 项公式 最后再求出数列的通项公式 n a 六 迭代法六 迭代法 例例 1111 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 3 1 2 11 5 n n nn aaa n a 解 因为 所以 3 1 2 1 n n nn aa 121 323 1 232 12 nnn nnn nnn aaa 2 2 1 32 2 1 3 3 2 1 11 2 3 2 1 1 1 2 3 1 2 2 3 2 23 1 2 3 3 2 1 2 3 32 3 2 1 2 1 3 2 1 nn nnn nnn nnnn n n n nn n nnn n nnn n nnn n a a a a a 20 又 所以数列的通项公式为 1 5a n a 1 1 2 3 2 5 n n n n n a 评注 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式 即先将等式 两边取常用对数得 即 再 3 1 2 1 n n nn aa 1 lg3 1 2lg n nn ana 1 lg 3 1 2 lg n n n a n a 由累乘法可推知 从而 1 1 2 3 2 132 1 1221 lglglglg lglglg5 lglglglg n n n n nn n nn aaaa aa aaaa 1 1 3 2 2 5 n n n n n a 七 数学归纳法七 数学归纳法 例例 1212 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 22 8 1 8 21 23 9 nn n aaa nn n a 解 由及 得 1 22 8 1 21 23 nn n aa nn 1 8 9 a 21 22 32 22 43 22 8 1 1 88 224 2 1 1 2 1 3 99 2525 8 2 1 248 348 2 2 1 2 23 2525 4949 8 3 1 488 480 2 3 1 2 33 4949 8181 aa aa aa 由此可猜测 往下用数学归纳法证明这个结论 2 2 21 1 21 n n a n 1 当时 所以等式成立 1n 2 1 2 2 1 1 18 2 1 1 9 a 2 假设当时等式成立 即 则当时 nk 2 2 21 1 21 k k a k 1nk 1 22 8 1 21 23 kk k aa kk 21 2 222 22 22 222 22 222 22 2 2 2 21 18 1 21 21 23 21 1 23 8 1 21 23 21 23 23 8 1 21 23 21 23 21 21 23 23 1 23 2 1 1 1 2 1 1 kk kkk kkk kk kkkk kk kkk kk k k k k 2 由此可知 当时等式也成立 1nk 根据 1 2 可知 等式对任何都成立 nN 评注 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项 进而猜出数列的通 项公式 最后再用数学归纳法加以证明 八 换元法八 换元法 例例 1313 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 1 14124 1 16 nnn aaaa n a 解 令 则124 nn ba 2 1 1 24 nn ab 故 代入得 2 11 1 1 24 nn ab 1 1 14124 16 nnn aaa 22 1 111 1 1