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文档简介

给定一复数z x iy 在坐标平面XOY上存在惟一的点P x y 与z x iy对应 反之 对XOY平面上的点P x y 存在惟一的复数z x iy与它对应 根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射 因此可以用XOY平面上的点表示复数z 这时把XOY平面称为复平面 有时简称为z平面 复平面与复数的表示法 显然 实数与x轴上的点一一对应 而x轴以外的点都对应一个虚数 纯虚数与y轴上的点 除原点 对应 因此 称x轴为实轴 y轴为虚轴 今后把复平面上的点和复数z不加区别 即 点z 和 复数z 是同一个意思 有时用C表示全体复数或复平面 复数z也可以用以原点为起点而以点P为终点的向量表示 如图 这时复数加 减法满足向量加 减法中的平行四边形法则 用表示复数z时 这个向量在x轴和y轴上的投影分别为x和y 把向量的长度r称为复数z的或称为z的绝对值 并记做 z 显然 如果点P不是原点 即 那么把x轴正向与向量的夹角q称为复数z的辐角 记做Argz 对每个 都有无穷多个辐角 因为用q0表示复数z的一个辐角时 就是z的辐角的一般表达式 满足的复数z的称为主辐角 或称辐角的主值 记做argz 则 有时 在进行说明后 把主辐角定义为满足 的方向角 但当z 0时 z 0 的辐角 这时上式仍然成立 当z 0时 Argz没有意义 即零向量没有确定 利用直角坐标与极坐标之间的关系 数z的三角表示式 再利用Euler公式 复数z x iy可表示为称为复 复数z x iy又可表示为称为复数的 指数表示式 其中r z q Argz 共轭复数的几何性质 一对共轭复数z和在复平面的位置是关于实轴对称的 复数和与差的模的性质 从几何上看 复数z2 z1所表示的向量 与以z1为起点 z2为终点的向量相等 方向相同 模相等 复数的加 减运算对应于复平面上相应向量的加 减运算 复数可以用平面上的点表示 这是复数的几何表示法的一种 另外还可以用球面上的点表示复数 设S是与复平面C切于原点O的球面 过原点O做垂直于平面C的直线 与S的另一交点为N 原点O称为S的南极 S极 点N称为S的北极 如图 复球面与无穷远点 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们用球面上的点来表示复数 球面上的北极N不能对应复平面上的定点 当球面上的点离北极N越近 它所表示的复数的模越大 规定 复数中有一个唯一的 无穷大 与复平面上的无穷远点相对应 记作 球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面 或简称复平面 包括无穷远点的复平面称为扩充复平面 球面上的点与扩充复平面的点构成了一一对应 这样的球面称为复球面 对
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