高三数学 联赛讲稿：集合教案 新人教A版

用心 爱心 专心1 第一讲 第一讲 集集 合合 集合的划分反映了集合与子集之间的关系 这既是一类数学问题 也是数学中的解题策略 分类思 想的基础 在近几年来的数学竞赛中经常出现 日益受到重视 本讲主要介绍有关的概念 结论以及处理 集合 子集与划分问题的方法 1 集合的概念 集合是一个不定义的概念 集合中的元素有三个特征 1 确定性 设是一个给定的集合 是某一具体对象 则或者是的元素 或者不是的元素 AaaAA 两者必居其一 即 与仅有一种情况成立 aAa A 2 互异性 一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象 即同一个集合中不应出现同一个元素 3 无序性 2 集合的表示方法 主要有列举法 描述法 区间法 语言叙述法 常用数集如 应熟RQZN 记 3 实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换 有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换 对于 方程 不等式的解集 要注意它们的几何意义 4 子集 真子集及相等集 1 或 A BA BAB 2 且 A B A BAB 3 且 AB A BA B 5 一个阶集合 即由个元素组成的集合 有个不同的子集 其中有 1 个非空子集 也有 1n n 2 n 2 n 2 个真子集 6 集合的交 并 补运算 且 A BAxx Bx 或 A BAxx Bx 且 IxxA Ax 要掌握有关集合的几个运算律 1 交换律 A BB AA BB A 2 结合律 A B CA B C A B CA B C 3 分配律 A B CA B A C A B CA B A C 4 0 1 律 A AA IA A IIA 用心 爱心 专心2 5 等幂律 A AAA AA 6 吸收律 A A BAA A BA 7 求补律 A AIA A 8 反演律 BABABABA 7 有限集合所含元素个数的几个简单性质 设表示集合所含元素的个数 XnX 1 BAnBnAnBAn 当时 BAn BnAnBAn 2 CnBnAnCBAn CBAnCBnCAnBAn 8 映射 一一映射 逆映射 1 映射 设 是两个集合 如果按照某种对应法则 对于集合中的ABfA 任何一个元素 在集合中都有唯一的元素和它对应 这样的对应叫做从集合到集合的映射 记作BAB 上述映射定义中的 可以是点集 数集 也可以是其他集合 fABAB 和中元素对应的中的元素叫做 在下 的象 叫做的原象 中的任何一个元素AaBbafabA 都有象 并且象是唯一的 2 一一映射 设 是两个集合 是从集合到集合的映ABfABAB 射 如果在这个映射的作用下 对于集合中的不同元素 在集合中有不同的象 且中的每一个元ABB 素都有原象 那么这个映射叫做到上的一一映射 AB 3 逆映射 设 是集合到集合上的一一映射 如果对于中的fABABB 每一个元素 使在中的原象和它对应 这样所得映射叫做映射bbAa 的逆映射 记作 fAB 1 fBA 注意 只有一一映射 才有逆映射 要能够根据这三个概念的定义 准确地判断一个给定的对应是不是映射 是不是一一映射 并能 求出一一映射的逆映射 解题指导解题指导 元素与集合的关系元素与集合的关系 1 设 求证 1 Aa a 22 yx Zyx 12 kAZk 2 24ZkAk 用心 爱心 专心3 分析 如果集合 具有性质 那么判断对象是否是集合的元素的基本方法就是检验是Aa apaAa 否具有性质 p 解 1 且 故 k1 kZ12 k 22 1 kk12 kA 2 假设 则存在 使 24ZkAk Zyx 24 k 22 yx 即 12 2 kyxyx 由于与具有相同的奇偶性 所以 式左边有且仅有两种可能 奇数或 4 的倍数 另一yx yx 方面 式右边只能被 4 除余 2 的数 故 式不能成立 由此 24ZkAk 2 设集合 3 2 已知 判断ANyx xyxyyx1919 33 与集合的关系 a log 2 1 yx A 分析 解决本题的关键在于由已知条件确定的取值范围 从而利用对数函数的单调性确定 yx a 的范围 log 2 1 yx 解 因为且 所以 19 33 yxyx Nyx xy xx 2222 319xyxyx 由此及得 3 从而 2 Nx xy 所以 3 即 a25log 23 log 2 1 2 1 aA 3 以某些整数为元素的集合具有下列性质 中的元素有正数 有负数 PP 中的元素有奇数 有偶数 1 若 则 试判断实数 0 和 2 与集合P PxyPxyP 的关系 P 解 由 若 则 可知 若 则xyPxyPxP NkPkx 1 由 可设 且 0 0 则 xyPxyyxyxyN 故 由 0 xyyxPyxxyP 2 2 若 2 则中的负数全为偶数 不然的话 当 时 PPP12 kPNk 1 与 矛盾 于是 由 知中必有正奇数 设12 kk2PP 我们取适当正整数 使 12 2NnmPnm q 则负奇数 前后矛盾 12 2 nmqPnqm 12 2 4 设为满足下列条件的有理数的集合 若 则 SaSbSabS 对任一个有理数 三个关系 0 有且仅有一个成立 证明 是由全Sab rrSrSrS 体正有理数组成的集合 证明 设任意的 0 由 知 或 之一成立 再由 若 则 rQrrSrSrSSr 2 用心 爱心 专心4 若 则 总之 rSSrrr 2 Sr 2 取 1 则 1 再由 2 1 1 3 1 2 可知全体正整数都属于 rSSSS 设 由 又由前证知 所以 因此 含有全体正有Sqp Spq S q 2 1 2 1 q pq q p SS 理数 再由 知 0 及全体负有理数不属于 即是由全体正有理数组成的集合 SS 两个集合之间的关系两个集合之间的关系 在两个集合之间的关系中 我们感兴趣的是 子集 真子集 相等 这三种特殊关系 这些关系 是通过元素与集合的关系来揭示的 因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系 入手 5 设函数 集合 2 Rbabaxxxf RxxfxxA RxxffxxB 1 证明 BA 2 当时 求 3 1 AB 3 当只有一个元素时 求证 ABA 解 1 设任意 则 而 0 xA 0 x 0 xf 000 xxfxff 故 所以 0 xBBA 2 因 所以 3 1 A 解得 333 1 1 1 2 2 ba ba 3 1 ba 故 由得3 2 xxxf xffx 03 3 3 222 xxxxx 解得 3 3 1 x B 3 3 3 1 6 为非空集合 对于 1 2 3 的任意一个排列 若 则 321 SSSkji ji SySx k Syx 1 证明 三个集合中至少有两个相等 2 三个集合中是否可能有两个集无公共元素 证明 1 若 则 ji SySx ik SxyxySxy 用心 爱心 专心5 所以每个集合中均有非负元素 当三个集合中的元素都为零时 命题显然成立 否则 设中的最小正元素为 不妨设 设为中最小的非负元素 不妨设 321 SSSa 1 Sa b 32 S S 则 2 Sb ba 3 S 若 0 则 0 与的取法矛盾 所以 0 bbabbb 任取因 0 故 0 所以 同理 1 Sx 2 Sxx 3 S 1 S 3 S 3 S 1 S 所以 1 S 3 S 3 可能 例如 奇数 偶数 显然满足条件 和与都无公共元素 1 S 2 S 3 S 1 S 2 S 3 S 7 已知集合 问 1 1 1 22 yxyxCayxyxByaxyxA 1 当取何值时 为含有两个元素的集合 aCBA 2 当取何值时 为含有三个元素的集合 aCBA 解 与分别为方程组CBA CBCA CA CB 1 1 22 yx yax 1 1 22 yx ayx 的解集 由 解得 0 1 由 解得yx 2 1 2 a a 2 2 1 1 a a 1 0 yx 2 2 1 1 a a 2 1 2 a a 1 使恰有两个元素的情况只有两种可能 CBA 1 1 1 0 1 2 2 2 2 a a a a 0 1 1 1 1 2 2 2 2 a a a a 由 解得 0 由 解得 1 aa 故 0 或 1 时 恰有两个元素 aCBA 2 使恰有三个元素的情况是 CBA 2 1 2 a a 2 2 1 1 a a 解得 故当时 恰有三个元素 21 a21 aCBA 用心 爱心 专心6 8 设且 15 都是 1 2 3 真子集 且Nn nBA n BA 1 2 3 证明 或者中必有两个不同数的和为完全平方数 BA nAB 证明 由题设 1 2 3 的任何元素必属于且只属于它的真子集之一 nBA 假设结论不真 则存在如题设的 1 2 3 的真子集 使得无