高中物理第五章 曲线运动一、曲线运动教案新人教版必修2

第五章第五章 曲线运动一 曲线运动曲线运动一 曲线运动 学习目标 1 知识与能力 知道什么是曲线运动 知道曲线运动中速度的方向 知道曲线运动是 一种变速运动 理解物体做曲线运动的条件 并能用于分析具体问题 2 过程与方法 3 情感与价值观 学科素养学科素养 1 曲线运动中的速度方向 引入 速度是描述物体运动快慢和方向的物理量 在直线运动中 物体的速度方向沿 轨迹指向前进方向 曲线运动中 不同时刻的速度具有不同的方向 通过任一点的速度 方向都沿所在的点的切线方向 定义 质点做曲线运动时 它在某点的速度方向就是 曲线在这一点的切线方向 并且指向前进的方向 曲线运动中速度方向时刻在改变 速度是矢量 即有大小又有方向 物体做曲线运动 时 即使速度的大小没有变化 其速度矢量也在不断变化 所以 做曲线运动的物体的加 速度一定不为零 曲线运动是一种变速运动 例题 1 关于曲线运动 下列说法正确的是 A 曲线运动是一种变速运动 B 做曲线运动的物体受的加速度一定不为零 C 做曲线运动的物体所受合力一定是变化的 D 曲线运动不可能是一种匀变速运动 解析 曲线运动中速度方向时刻在改变 曲线运动是变速运动 合外力一定不为零 但大小 方向是否变化并不是曲线运动的决定因素 当做曲线运动的物体所受合力不变时 做匀变速曲线运动 当所受合力变化大小变化时 做非匀变速曲线运动 所以选项 A B 正 确 C D 错误 点评 运动物体的轨迹是直线还是曲线 取决于物体所受合力方向跟它的速度方向是 否在同一直线上 与合力大小 方向是否变化无关 而物体的加速度是否是否恒定 取决 于物体所受合力是否恒定 与运动轨迹的 曲 还是 直 无关 2 物体做曲线运动的条件 引入 做曲线运动的物体的加速度一定不为零 所以 做曲线运动的物体所受的合力 一定不为零 我们知道 当运动物体所受的合力方向跟物体的速度方向在一直线上 同向和反向 时 合力只改变速度的大小 而不改变速度的方向 物体做直线运动 要做曲线运动合外力方向跟物体的速度方向不 在同一直线上 条件 要做曲线运动 合外力方向跟物体的速 度方向不在同一直线上 如图 5 1 所示 分析铅球在不同点的速度方 向和合力 重力 方向可知 在任一时刻曲线 轨 迹总是夹在合力方向与速度方向之间 且弯向合力的一侧 即合力方向总是指向曲线的内 侧 如图 5 1 所示 斜向上推出的铅球在空中做曲线运动 它所受的重力的方向跟速度方向 不在同一直线上 大量事实表明 当物体所受的合外力的方向跟它的速度不在同一直线上 时 物体就做曲线运动 进一步分析发现 铅球经过 A B 两点时 将重力沿曲线的切线方向和法线方向进行分 解 沿切线方向的分力 F1 与速度方向在同一条直线上 只改变速度的大小 不改变速度 的方向 法线方向的分力 F2 它的作用效果是改变速度的方向 不改变速度的大小 使铅 球做曲线运动 当运动物体所受的合力方向跟它的速度方向不在同一直线上时 合力在垂直速度方向 的分力是使速度方向改变的原因 例题 2 如图 5 2 所示 物体在恒力 F 的作用下沿曲线从 A 运动到 B 这时突然使它 所受外力反向 大小不变 在这样的力作用下 关于物体以 后的运动情况 以下说法正确的是 A 物体不可能沿曲线 Ba 运动 B 物体不可能沿曲线 Bb 运动 C 物体不可能沿曲线 Bc 运动 D 物体不可能沿曲线从 B 又返回 A 解析 根据曲线运动的条件 做曲线运动的物体受到 的合外力的方向与曲线 AB 上各点的速度方向 即切线方向 都不在一条直线上 其方向应是由曲线 AB 上的各点指向曲 线弯曲的内侧 图 5 3 中的 F1是在 A 点时恒力 F 的可能方 向之一 当物体运动到 B 点时 恒力 F 突然反向后与 B 点 的速度方向不在同一条直线上 为什么 所以物体继续 做曲线运动 而不可能沿直线 Bb 运动 同时反向后的恒力 F1应指向曲线弯曲的内侧 故物体不可能沿曲线 Ba 运动 也不可能沿原曲线由 B 返回 A 只可能沿曲线 Bc 运动 因 此正确选项为 A B D 点评 本题的关键 是要在理解物体做曲线运动的速度方向的特点和物体做曲线运动 条件的基础上 了解曲线运动的轨迹与合力方向 速度方向三者之间的关系 课时评价 1 若已知物体的速度方向和它所受合力的方向 如图 1 所示 可能的运动轨迹是 2 关于曲线运动 下列说法正确的是 A 曲线运动的速度大小可能不变 B 曲线运动的速度方向可能不变 C 曲线运动的加速度一定改变 D 曲线运动的加速度可能不变 3 要使物体做曲线运动 需要对物体施加力作用 迫使它不断改变速度方向 那么 A 此力大小 方向必须改变 图 5 2 B 此力可以是大小 方向都不变的力 C 此力可以是方向不断变化的力 D 此力一定是方向不断变化的力 4 关于运动物体所受合力对物体运动速度的影响 下列说法正确的是 A 如果合力的方向与速度方向相同 则物体速度增大而方向不变 B 如果合力的方向与速度方向所成角度为锐角 则物体速度增大且方向改变 C 如果合力的方向与速度方向始终垂直 则物体速度大小不变且方向不变 D 如果合力的方向与速度方向相反 则物体速度减小 二 解答题 5 抛出的石子做曲线运动 试在下图中画出石子沿这条曲线运动时 在 A B C D 各点 的速度方向和所受力的示意图 二 运动的合成与分解 知识和能力 A 知道合运动 分运动的概念和运动的合成与分解的概念 B 理解运动的合成和分解遵循平行四边形定则 会运用运动的合成与分解的方法解决具体 问题 2 过程与方法 3 情感与价值观 学科素养学科素养 1 理解合运动和分运动的几个概念 引入 我们以工厂的行车提升物体为例来研究运动的合成与分解 如图 5 4 所示 当行车 停在 P 处 用钢索提升物体时 物体沿竖直方向从 A 点升到 B 点 速度为 v1位移为 s1 当行车不提升物体 而从 P 处水平横梁以速度 v2移到 Q 点时 则物体沿水平方向从 A 点 移到 D 点 速度 v2 位移为 s2 如果行车以速度 v1提 升物体 同时以速度 v2沿横梁运动 则行车到达 Q 处 时 物体沿直线 AC 移到了 C 点 定义 物体同时参与了竖直方向和水平向右的两个运 动 这两个运动称为分运动 而物体沿 AC 方向的实际 运动叫合运动 其速度为 v 位移为 s 两个分运动的 速度 v1 v2叫分速度 实际运动速度 v 叫合速度 两 个分运动的位移 s1和 s2叫分位移 实际位移 s 叫合位移 图 5 4 因为物体在完成实际运动过程中 可以 看成同时参与了两个分运动 即物体的合运动 和分运动是同时进行的 所以合运动和分运动 具有等时性 设物体由 A 到 C 运动时间为 t 则在这段运动时间内 竖直向上的分位移 s1 v1t 水平向右的分位移 s2 v2t 合位移 s vt 图 5 5 例题 1 船在静水中的航速 v1 4m s 该船横渡 400m 宽的河 河水流速 v2 2m s 求 a 要使船到达对岸时间最短 船头应指向何处 最短时间是多少 b 要使船的航程最短 船头应指向何处 最短航程是多少 思考 如果题中的河水流速为 v2 5m s 则 a b 两问的结果又如何 解析 a 船的实际运动 合运动 和它的分运动是同时完成的 把船的实际运动 沿河岸的方向以及垂直河岸的方向进行分解 不管小船怎么过 的河 它沿垂直河岸方向的位移都是 400m 因此 当小船在 垂直河岸的方向上有最大速度时 船到达对岸的时间最短 故 当船头正对河岸行驶 如图 5 6 所示 船相对静水的分运动 的位移最短 时间最短 t s1 v1 d v1 400 4s 100s b 当船的实际运动即合运动垂直河岸时 航程最短 这时合位移 s d 400m 这时船头斜向上与河岸夹角为 如图 5 7 所示 5 0 4 2 cos 2 1 v v 点评 分析运动的合成与分解问题 要特别注意合运动和分运动的 等时性 和分运 动的 独立性 的应用 合运动 分运动时间相等 往往是解题的一个隐含条件 为求船渡河最短时间 由合运动和分运动的 等时性 可以求船对静水的分运动的 最短时间 这时船沿水流方向的分运动 无论是匀速运动还是变速运动 都不干扰船 对静水的分运动 所以求解船对静水的分运动时间 可以不考虑船沿水流方向的分运 动 2 运动的合成与分解遵循平行四边形定则 引入 在运动的合成与分解中 描述物体运动的物理量 如位移 速度 加速度都是矢量 矢量的合成与分解 遵循平行四边形定则 在行车提升物体的例子中 物体由 A 点运动到 C 点 如位移为 s 速度为 v 运用平 行四边形定则 将位移 s 沿竖直方向和水平方向分解 分别得到竖直方向上的位移 s1和水 平方向上的位移 s2 同理 合速度 v 可正交分解为两个分速度 即竖直向上的 v1和水平向 右的 v2 如图 5 7 所示 1 由于物体的两个分速度恒定 则合速度也恒定 即物体的合运动也是匀速直线 运动 2 如果在行车匀速向右运动的同时 钢索匀加速提升物体 设物体水平分速度为 v2 竖直提升分运动的初速度为 v1 加速度为 a1 据平行四边形定则 将分运动的初速度 加速度分别合成 合运动初速度为 v0 加速度为 a a1 v0与 a 的方向不在同一直线上 物 体将做曲线运动 3 如果行车匀加速向右运动的同时 钢索匀加速提升物体 设物体水平分速度为 v2加速度为 a2 竖直提升分运动的初速度为 v1 加速度为 a1 据平行四边形定则 将分运动 的初速度 加速度分别合成 合运动初速度为 v 加速度为 a v 与 a 的方向不在同一直线 上 物体将做曲线运动 如果 v 与 a 的方向在同一直线上 物体将做直线运动 例题 2 如图 5 所示 湖中有一条小船 岸边的人用缆绳跨过一个定滑轮拉船靠岸 若绳子被以恒定的速度 v 拉动 绳子与水平方向成的角度是 船是否做匀加速直线运动 小船前进的瞬时速度多大 图 5 6 图 5 7 图 5 7 解析 收绳的过程中 船对地是向左水平运动的 这是船的合速度 可以将此合运动 分解为两个分运动 那么 应当分解为哪两个运动呢 让我们分析绳子在这一过程中 的变化 可以看出绳子一方面在逐渐变短 另一方面绕滑轮旋转使其与水面夹角变大 以与船头相接的绳端点为研究对象 此端点同时参与两个分运动 一是沿绳以 v0速度 运动 二是绕滑轮做圆周运动 这一分运动速度 v1与绳垂直 所以应将合运动速度 v0 分为 v 和 v1 如上图 由三角关系右知 v0 v cos 点评 解本题时常见的错误是把船速 v0误认为是 v 的分速度 由此解出 v0 vcos 的 错误结论 所以解这部分题时必须要把合速度和分速度找好并画好图 课时评价 1 对于两个分运动的合运动 下列说法正确的是 A 合运动的速度一定大于两个分运动的速度 B 合运动的速度一定大于其中一个分运动的速度 C 合运动的方向就是物体实际运动方向 D 由两个分速度的大小 就可以确定合速度的大小 2 关于运动的合成与分解 下列说法正确的是 A 物体的两个分运动是直线运动 则它们的合运动一定是直线运动 B 若两分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动 则合运动可能是直线运动 C 合运动和分运动具有等时性 D 速度 加速度和位移的合成都遵循平等四边形定则 3 一只船在静水中的速度是 3m s 它要横渡一条 30m 宽河 水流速度为 4m s 下 列说正确的是 A 这只船不可能垂直于河岸到达正对岸 B 这只船对地的速度一定是 5m s C 过河的时间可能是 6s D 过河的时间可能是 12s 4 有一小船正在横渡一条宽为 30m 的河流 在正对岸下游 处有一危险水 域 假若水流速度为 为了使小船在危险水域之前到达对岸 那么 小船相对 于静水的最小速度为多少 5 枪筒与水平方向成 37 角斜向上 子弹从枪射出时的速度是 500m s 那么 a 子弹在水平方向和竖直方向的分速度各是多大 b 子弹在水平方向和竖直方向各做什么运动 6 降落伞在下落一定时间后的运动是匀速的 无风时 某跳伞员着地速度是 4m s 现在由于沿水平方向向东的风的影响 跳伞员着地速度为 5m s 那么 a 跳伞员着地速度的方向怎样 b 风速为多少 三 平抛物体的运动 1 知识和能力 A 知道平抛运动的特点 知道平抛运动是匀变速曲线运动 B 理解研究平抛运动的基本方法 会运用平抛运动规律解决 有关问题 2 过程与方法 3 情感与价值观 v 0 v y v 学科素养 1 运动的独立性原理是研究平抛运动的依据 引入 在课本 P10图 5 3 8 所示做一做中 做平抛运动的 A 球与做自由落体运动的 B 球 无论 A 球的初速度大小如何 也无论两球开始距地面高度如何 它们从同一高度同时开始 运动 总是同时落地 这说明 A 球在竖直方向的运动是自由落体运动 水平方向物体不受 外力作用 由于惯性而做匀速直线运动 平抛物体的水平方向的运动不会影响竖直方向的 运动 同样 平抛物体水平方向的速度 并不会因为竖直方向速度的增大而改变 即平抛物 体的竖直方向的运动也不影响水平方向的运动 所以 平抛物体的两个分运动是独立进 行的 彼此互不影响 其实 任何一个复杂的运动 都可以看作几个独立进行的分运动的合 成 定义 分运动是独立进行的 彼此互不影响这就叫运动的独立性 运动的独立性 是用运动的合成与分解的方法研究平抛运动的理论依据 例题 1 飞机以 150m s 的水平速度匀速飞行 某时刻让 A 球落下 相隔 1S 后又让 B 球落下 不计空气阻力 在以后的运动中 关于 A 球与 B 球在空中的相对位置关系 正确的是 A A 球在 B 球前下方 B A 球在 B 球后下方 C A 球在 B 球正下方 且二者相隔距离与 B 球下落时间成正比 D A 球在 B 球正下方 且二者相隔距离随 B 球下落时间的增加而增大 解析 A B 两球落下后都做平抛运动 它们在水平方向以相同的速度做匀速直线运 动 所以 A B 两球一定在同一竖直线上且都位于飞机正下方 在竖直方向 A B 两 球相隔 1S 先后做自由落体运动 两者间的距离 12 2 1 2 1 1 2 1 22 tggttghhh BA 其中 t 为 B 球下落时间 可见 A B 两球相隔距离 h 随时间 t 的增大而增大 所以正 确答案为 D 点评 本题首先将两个平抛物体的运动分解为同一坐标系的两个直线运动 然后分别 比较它们在这两个坐标方向上的位置关系 这种研究曲线运动的方法是非常简便而有 效的 思考 若选择 B 球为参考系 A 球做什么运动 2 平抛运动的规律 引入 平抛运物体的运动是一个曲线运动 研究它的其本方法 是将其分解为水平方向 的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动 以抛出点为坐标原点 水平初速度 v0方向为 x 轴正方向 竖直向下的方向为 y 轴的正 方向 建立如图 5 9 所示的坐标系 t 时刻 水平方向的速度 vx vo 竖直方向的速度 vy gt 合速度大小 2 2 0 22 gtvvvv yx 图 5 8 合速度方向 与水平方向夹角为 则 ox y v gt v v tan 时间 t 内 水平方向的位移 sx vxt vot 竖直方向的位移 sy 2 2 1 gt 合位移大小 s 22 22 2 1 gttvss oyx 合位移方向 与水平方向夹角为 角 则 tan 0 0 2 2 2 1 2 v g tv gt s s x y 平抛运动的轨迹曲线方程为 sy 2 2 2 o x v gs 是一个二次函数 且 v0越大 二次项系数越 小 抛物线的开口就越大 平抛运动的物体只受重力作用 加速度恒定为重力加速度 g 且重力的方向跟它速度方 向不在同一直线上 所以 平抛运动是匀变速曲线运动 由 v g t 可知 平抛物体 的速度变化量大小跟运动时间 t 成正比 方向竖直向下 从抛出点起 每隔相同的时 间的速度变化量的关系有 v1 v2 gt 例题 2 在倾角为 45 的斜面顶端 平抛一物体 1s 后它的方向与斜面平行 求 1 初速度 v0 2 物体落在斜面上时的速度 vt 解析 物体在水平方向做匀速直线运动 竖直 方向做自由落体运动 设 1s 末物体的速度为 v1 如图 5 15 所示 建立坐标系并画出运动轨 迹和有关矢量图 1 1s 末 竖直方向速度 v1y gt 1 10m s 由平行四边形定则和直角三角形知识 v0 45tan 1y v 10m s 2 经过时间 t 物体落在斜面上 此时 物体 在水平方向上的位移 x v0t 在竖直方向上的位移 2 2 1 gty 由斜面倾角为 45 可得 x y 根据以上方程解得 t 2s 此时物体 5 15 在水平方向上的速度为 v2x 10m s 在竖直方向上的速度 v2y gt 20m s 其合速度 smvvvyx t 5102 2 2 2 点评 根据运动的独立性原理 平抛运动及其分运动同时进行 同时结束 即合运动 和分运动具有等时性 所以运动时间 t 是联系平抛运动和其分运动之间的 纽带 而 平行四边形定则作出的速度矢量合成图和位移矢量合成图 则是沟通平抛运动及其分 运动物理量之间关系的 桥梁 课时评价 1 课本 P10图 5 3 8 所示的实验中 可以验证以下结论 A 无论 A 球速度多大 A B 两球总是同时落地 B 打击金属片的力越大 A 球的飞行的时间越长 C 做平抛运动的 A 球 在竖直方向上做自由落体运动 D 做平抛运动的 A 球 在水平方向上做匀速直线运动 2 做平抛运动的物体 A 每秒内速率的增加量相等 B 每秒内速度的改变量相同 C 水平飞行的距离只与初速度大小有关 D 在空中运动的时间与初速度无关 3 物体从某一高度处以初速度为 v0水平抛出 落地时的速度为 vt 不计空气阻力 则物体在空中飞行的时间为 A g vv t 0 B g vvt 0 C g vv t 22 0 D g vvt 2 0 2 4 在一次 飞车过黄河 的表演中 汽车在空中飞经最高点后在对岸着陆 已知汽 车从最高点至着地点经历时间 0 8s 两点间的水平距离为 30m 忽略空气阻力 则最 高点与着地点的高度差为 m 汽车在最高点时速度为 m s g 取 10m s2 5 如图 5 16 所示 A B 是两块竖直放着的薄纸扯 子弹 m 以水平初速度穿过 A 后再穿过 B 在两块纸片上穿的两个孔高度差为 h A B 间的距离为 L 则子弹射向 A 纸的速度是 6 跳台滑雪是勇敢者的运动 它是利用山势和特别的跳台进行的 运动员穿着专用 滑雪板 在助滑路上取得高速后起跳 在空中飞行一段时间后着地 设一位运动员由 a 点沿水平方向跃出 到 b 点着地 如图 5 17 所示 测得 ab 间的距离 L 40m 山坡 倾角 30 试计算运动员从 a 点跃出的速度和他在空中飞行的时间 不计空气阻 力 g 取 10m s2 四 抛体运动的规律 学习目标学习目标 1 知识与能力 理解平抛运动是匀变速运动 其加速度为 g 掌握抛体运动的位置与速度的关系 2 过程与方法 1 通过对平抛物体运动过程中的受力 得出平抛物体运动的规律 2 掌握平抛运动的特点 能够运用平抛规律解决有关问题 3 情感与价值观 1 关注生活中平抛运动的实例 会用平抛运动规律解答有关问题 2 通过体会问题 获得知识 提高知识 及巩固自己所学知识 学科素养学科素养 1 受力特点及抛体位置 根据运动的独立性原理 可知 受力情况初速度运动情况抛体位置总结 水平方向不受力vx v0匀速直线运动x vx t v0 t 竖直方向只受重力vy 0自由落体运动y 2 1 gt2 y 2 2 0 2 x v g 平抛物体运动规律总结 1 t 时刻的速度 vx v0 vy gt v 22 0 gtv 2 轨迹方程 x v0 t y 2 1 gt2 S 222 0 2 1 gttv 3 飞行时间 t g y2 只决定与下落的高度 例例 1 1 平抛运动的物体 A 做匀变速曲线运动 每秒内速度变化的大小相等 B 做匀变速曲线运动 每秒内速度变化的相等 C 水平飞行的距离只与初速度大小有关 D 飞行时间只与下落的高度有关 解析 解析 平抛运动的物体在运动过程中只受重力作用 既mgF 合 加速度ga 为定值 所以物体的运动是匀变速运动 且单位时间内速度的改变量相等 故 B 选项正确 水平飞行距 离 g y vtvx 2 00 则 C 错误 根据公式 t g y2 可知 D 选项正确 点评 点评 本题主要考察对平抛物体运动的受力分析和规律掌握及理解 2 平抛运动中的三角形问题 1 速度三角形 如右图可得出 00 tan v gt v vy 且 0 2 0 2 1 tan xx gt xx y 将两式联立 解得 2 0 x xx 即速度反向延长线交 x 轴于其水平位移的中点 例例 2 2 如图所示 以 9 8m s 的初速度水平抛出的物体 飞行一段时间后 垂直地 撞在倾角为 300的斜面上 则物体飞行的时间是多少 解析 由于物体是垂直地撞在斜面上 那么物体在撞击斜面瞬间的速度方向和斜面垂直 如图所示 gt v v v y x00 30tan 解得 o g v t 30tan 0 点评 本题侧重对速度三角形的理解和应用 速度三角形 法是平抛物体运动中处理问题的主要方法之一 2 位移三角形 如右图可看出 00 2 2 2 1 tan v gt tv gt x y 可见 tan 2 1 tan 例例 3 3 如图所示 斜面倾角为 从此斜面上的 A 点以速度 v0将一小球水平抛出 它 落在斜面的 B 点处 则小球从 A 点到 B 点的运动时间为 解 如图所示 可得 00 2 2 2 1 tan v gt tv gt x y 既得 g v t tan2 0 点评 本题侧重对位移三角形的理解和应用 主要利用水平位移 竖直位移 合位移 三者间的三角函数关系求导其他物理量 位移三角形法是平抛物体运动中处理问题的主要 方法之一 3 斜抛运动的认识 当物体以一初速度做斜抛运动 我们可以将其运动分解 为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的初速度不为零匀变 速直线运动 可得出斜抛规律 t 时刻的速度 vx Vcos Vy Vsin at t 时刻的位移 Sx vx t Sy Vyt 2 2 1 at 物体从水平面射出再落回到水平面过程中 也可看成是一个斜抛过程 其飞行时间为 g v g v t y sin2 2 0 飞行的最大距离 射程 gvtvt cossin2cos vS 2 xx 课时评价课时评价 1 关于平抛运动的性质 以下说法中正确的是 BC A 变加速曲线运动 B 匀变速曲线运动 C t 内速度的改变量为 g t D 不可能是两个直线运动的合运动 甲 乙两人从距地面 h 高处抛出两个小球 甲球的落地点距抛出点的水平距离是乙的 2 倍 不计空气阻力 为了使乙球的落地点与甲球相同 则乙抛出点的高度可能为 C A 2h B 2h C 4h D 3h 如图所示 在斜面上 O 点先后以 0和 2 0的速度水平抛出 A B 两小球 则从抛 出至第一次着地 两小球的水平位移大小之比可能为 ABC v0A B 图 3 x y v vx Vy G O A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 从距离地面 0 8 m 的高度水平抛出两个物体 它们的速度分别为 1 m s 和 2 m s 则 它们落地时的速度大小之比是多少 g 取 10 m s2 答案 52 17 质量为10 0 mkg 的小钢球以10 0 vm s 的水 平速度抛出 下落0 5 hm 时撞击一钢板 撞后速度恰 好反向 则钢板与水平面的夹角 取 2 10smg 答案 45 6 高尔夫球是一项体育运动 假定挥杆能给球一个大小恒定的速度 在一个无风的天气 中且空气阻力可忽略的情况下 此速度应与地面成多大的角度 高尔夫球能飞的最远 五 圆周运动 学习目标学习目标 1 知识与能力 认识匀速圆周运动 理解线速度是物体做圆周运动的瞬时速度 理解角速度和周期 的关系 会用它们的公式进计算 理解线速度 角速度 周期之间的关系 v r 2 r T 理解匀速圆周运动是变速运动 2 过程与方法 运用极限法理解线速度的瞬时性 掌握运用圆周运动的特点如何去分析有关问题 体会有了线速度后为什么还要引入角速度 运用数学知识推导角速度的单位 3 情感与价值观 通过极限思想和数学知识的应用 体会学科知识间的关系 建立普遍联系的观点 体会应用知识的乐趣 激发学习的兴趣 学科素养学科素养 1 描述圆周运动的物理量 1 线速度 v 单位时间内通过的弧长 单位 m s 质点在 t 时间内由 A 运动至 B 弧长为l t l v 当 t 0 时 既瞬时速度 匀速圆周运动 物体沿圆周运动 且线速度的大小处处相等 2 角速度 单位时间内和圆心连线划过的圆心角 单位 rad s 质点在 t 时间内由 A 运动至 B 圆心角为 t r l 所以 r v 3 周期 T 物体沿圆周运动一周所需的时间 单位 s 4 频率 f 周期的倒数叫频率 单位 Hz 5 转速 n 每秒转过的圈数 单位 r s 或 r min 6 线速度 角速度 周期 频率及转速的大小关系为 RnRf T R v 22 2 nf T 22 2 rv T f 1 例例 1 做匀速圆周运动的物体 10s 内沿半径为 20m 的圆周了运动了 100m 则其线速 度为 角速度为 周期为 解析 解析 略 答案 10m s 5rad s 12 56s 点评 点评 本题考察的是对描述圆周运动的物理量的掌握和理解 2 传送带问题 在分析传动装置的各物理量之间的关系时 先要明确什么量是相等的 什么量是不等 的 在通常情况下 同轴的各点角速度 转速 n 和周期 T 相等 而线速度rv 与半径成 正比 在认为皮带不打滑的情况下 传动皮带和与皮带连接的轮子的边缘的各点线速度的 大小相等 而角速度 r v 与半径 r 成反比 例例 2 2 如图所示的传动装置中 B C 两轮固定在一起 绕同一轴转动 A B 两轮用皮 带传动 三轮半径关系是 rA rC 2rB 若皮带不打滑 求三轮边缘 a b c 三点的角速度 之比和线速度之比 解析 解析 由题意可知 CA vv 和 CB BBB rv rC 2rB CB vv 2 1 即 a b c 三点的线速度之比为 1 1 2 r v rA 2rB BA 2 1 即 a b c 三点的角速度之比为 1 2 2 点评 点评 本题关键是找出相等的物理量和不相等的物理量 同时熟练地应用线速度 角 速度及半径间的关系式 课时评价课时评价 1 关于物体做匀速圆周运动的正确说法是 D A 线速度大小和方向都不变 B 线速度的大小改变 方向不变 C 相对圆心的位移不变 D 周期不变 2 关于做匀速圆周运动的物体的角速度 线速度 周期的关系 下列说法正 确的是 D A 线速度大的角速度一定大 B 线速度大的周期一定小 C 角速度大的半径一定小 D 角速度大的周期一定小 3 A B 两质点分别做匀速圆周运动 若在相同时间内 它们通过的弧长之 比 SA SB 2 3 而转过的角度之比 A B 3 2 则它们的周期之比 TA TB 线速度之比 VA VB 答案 2 3 2 3 4 如图所示 半径为 R 的水平圆板绕竖直轴做匀速圆周运动 当半径 OB 转 到某一方向时 在圆板中心正上方 h 处以平行于 OB 方向水平抛出一小球 试 求 若要求小球与圆板只碰一次 且落地点为 B 则小球抛出的的速度及圆板 转动的角速度各为多少 答案 h g Rv 2 h g n 2 2 n 1 2 3 5 如图所示 一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径 R0 1 0cm 的摩擦小轮 小轮与自行车车轮的边缘接触 当车轮转动时 因摩擦而带动小轮转动 从而为发电机提 供动力 自行车车轮的半径 R1 35cm 小齿轮的半径 R2 4 0cm 大齿轮的半径 R3 10 0cm 求大齿轮的转速 n1和摩擦小轮的转速 n2之比 假定摩擦小轮与自行车轮之间 无相对滑动 解 设摩擦小轮转动的角速度为 0 自行车车轮转动的角速度为 1 由于自行车车 轮与摩擦小轮之间无相对滑动 有 R1 1 R0 0 小齿轮转动的角速度与自行车轮转动的角速度相同 也为 1 设大齿轮转动的角速度为 有 R3 R2 1 又 0 2 2 n 1 2 n 由以上各式得 31 20 2 1 RR RR n n 代入数据得 175 2 2 1 n n 大齿轮 小齿轮 车轮 小发电机 摩擦小轮 链条 六 向心加速度 学习目标学习目标 1 知识与能力 理解速度变化量和向心加速度的概念 知道向心加速度和线速度 角速度的关系 能够运用向心加速度公式求解有关问题 2 过程与方法 体会速度变化量的处理特点 体验向心加速度的导出过程 领会推导过程中用到 的数学方法 教师启发 引导 学生自主阅读 思考 讨论 交流学习成果 3 情感与价值观 培养学生思维能力和分析问题的能力 培养学生探究问题的热情 乐于学习的品 质 学科素养学科素养 1 向心加速度方向 1 速度的变化量 v 理解 初速度 1 v 末速度 2 v 其速度的变化量为v 为从初速度 1 v的末端指向末速度 2 v的末端的一个矢量 其矢量表达式为 2 v 1 v v 也可以写成 2 v 1 v v 所以可用平行四边形 定则来理解速度的变化量v 的表示 2 向心加速度方向 理解 a 物体在做匀速圆周运动的过程中 向心加速度的大小是不变的 但方向始终指向圆 心而时刻发生变化 故匀速圆周运动是变速曲线运动 b 由于方向时刻发生改变 所以向心加速度是匀速圆周运动的瞬时加速度而不是平均 加速度 c 向心加速度始终指向圆心 与线速度方向始终垂直 所以向心加速度只能描述线速 度的方向改变快慢 例 1 关于向心加速度 下列说法正确的是 A 做匀速圆周运动的物体 其向心加速度是不变的 B 它描述了线速度大小变化的快慢 C 它描述了线速度方向变化的快慢 D 它描述了角速度变化的快慢 解析 解析 根据向心加速度方向的特点 可知向心加速度是时刻变化的 则 A B 错误 由 于向心加速度方向与线速度方向始终垂直 故 C 正确 点评 点评 本题主要考察对向心加速度的基本认识 对其物理意义上的理解 2 向心加速度大小 物体做匀速圆周运动 从 A 点运动至 B 点 时间为 t 由图可知在此过程中速度的 变化量为v 则向心加速度大小可表示为 t v a 因为 vvv BA 所以 当 很小很小时 vv 又因为 t 所以 tvvv 则 r r v v t v a 2 2 可知 当v不变时 r a 1 当 不变时 ra 例例 2 如图所示在皮带传动中 两轮半径不等 下列说法正确的是 A 两轮角速度相等 B 两轮边缘线速度的大小相等 C 大轮边缘一点的向心加速度大于小轮边缘一点的向心加速 度 D 同一轮上各点的向心加速度跟该点与中心的距离成正比 解析 解析 要求对皮带传送中相等物理量和不等物理量的掌握 可以得出 B 选项正确 根 据向心加速度公式r r v va 2 2 很容易看出 C 选项错误而 D 选项正确 点评 点评 对皮带传送的掌握和对向心加速度的公式理解 课时评价课时评价 1 关于质点做匀速圆周运动的下列说法中 正确的是 D A 由 a v2 r 可知 a 与 r 成反比 B 由 a 2r 可知 a 与 r 成正比 C 由 v r 可知 与 r 成反比 D 有 2n 可知 与 n 成反比 2 如图所示的两轮以皮带传动 没有打滑 A B C 三点的位置关系如图 若 r1 r2 O1C r2 则三点的向心加速度的关系为 C A aA aB aCB aC aA aB C aC aAaA 3 小球做匀速圆周运动 半径为 R 向心加速率为 a 则 BD A 小球受到的合力是一个恒力B 小球运动的角速度为 R a C 小球在时间 t 内通过的位移为raR D 小球的运动周期为 2 a R 4 关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小 下列说法正确的是 AD A 在赤道上向心加速度最大 B 在两极向心加速度最大 C 在地球上各处 向心加速度一样大 D 随着纬度的升高 向心加速度的值逐渐减小 5 如图所示为质点 P Q 做匀速圆周运动的向心加速度随半径 变化的图线 表示质点 P 的图线是双曲线 表示质点 Q 的图线 是过原点的一条直线 由图线可知 A A 质点 P 的线速度大小不变 B 质点 P 的角速度大小不变 C 质点 Q 的角速度随半径变化 D 质点 Q 的线速度大小不变 6 如图所示 A B 两轮同绕轴 O 转动 A 和 C 两轮用皮带传动 A B C 三轮的半 径之比为 2 3 3 a b c 为三轮边缘上的点 求 三点的线速度之比 三点转动的周期之比 三点的向心加速度之比 第七节向心力第七节向心力 学习目标学习目标 1 知识与能力 知识与能力 1 理解向心力的概念及其表达式的确切含义及其特点 2 知道向心力大小与哪些因素有关 并能用来进行计算 3 知道向心力不是物体受到的一种力 它是以力的效果命名的 由其他性质的力来提供 是物体受到的合外力 4 了解圆锥摆的圆周运动情况 在凹面上的圆周运动的情况 2 过程与方法 过程与方法 1 通过用圆锥摆粗略验证向心力的表达式的实验来了解向心力 的大小与哪些因素有关 并具体 做一做 来理解公式的含 义 2 进一步体会力是产生加速度的原因 并通过牛顿第二定律来理 解匀速圆周运动 变速圆周运动及一般曲线运动的各自特点 3 情感 价值观情感 价值观 1 在实验中 培养学生动手的习惯并提高分析问题 解决问题 的能力 2 感受成功的快乐 体会实验的意义 激发学习物理的兴趣 学科素养学科素养 一一 理解向心力的公式和意义理解向心力的公式和意义 引入 由牛顿第二定律和课本圆锥摆粗略验证向心力的表达式实验可知 向心力大小 r v mFn 2 或 2 mrFn 向心力方向 总是指向圆心 所以是变力 与速度方向垂直 向心力效果 只改变速度的方向 不改变速度的大小 向心力指向圆心 而物体的运动 方向沿圆周上该处的切线方向 两者相互垂直 物体在运动方向上所受的合 外力为零 在这个方向上无加速度 速度大小不会改变 所以向心力只改变 速度的方向 向心力来源 向心力是做圆周运动的物体受到的沿着半径指向圆心的力 它可以由某一个 力单独承担 也可以是几个力的合力 还可以是物体受到的合外力在沿半径指 向圆心方向上的分量 所以向心力是效果力 例如随盘一起转动的物体受到的 向心力就是物体受到的盘给予的静摩擦 力 卫星绕地心做匀速圆周运动的向心 力 就是地球对卫星的万有引力 暂且理 解为物体受到的重力 小球在细线的约 束下 在竖直面内做圆周运动 某时刻 小球受到的向心力等于线的拉力与重力在半径方向的分量的合力 即 F向 图 1 F mgcos 如图 1 a b c 所示 例例 1 如图所示 一圆盘可绕通过圆盘中心 O 且垂直于盘面的竖直轴转动 在圆盘上 放置一小木块 A 它随圆盘一起做匀速圆周运动 则关于木块 A 的受力 下列说法正 确的是 A 木块 A 受重力 支持力和向心力 B 木块 A 受重力 支持力和静摩擦力 静摩擦力的方向指向圆心 C 木块 A 受重力 支持力和静摩擦力 静摩擦力的方向与木块运动方向相反 D 木块 A 受重力 支持力和静摩擦力 静摩擦力的方向与木块运动方向相同 解析解析 木块受到重力 支持力和静摩擦力作用 重力与支持力抵消 合外力就由摩擦力提供 而匀速圆周运动合外力就应是指向圆心的向心力所以答案选 B 点评点评 向心力是效果力 是几个力的合力或某个力的分力 分析受力时只会指受到的重力 支持力和静摩擦力等性质力 不会说受到了效果力 向心力指向圆心 改变速度的方向 二二 曲线运动中力与速度的关系曲线运动中力与速度的关系 引入 曲线运动中力与速度的关系怎样 1 匀速圆周运动中 合外力指向圆心提供向心力 合外力的方向垂直速度方向 2 变速圆周运动的物体 根据它所受合力 F 产生的效果 可以把 F 分解为两个相互垂直 的分力 跟速度方向平行的分力 Ft和指向圆心的分力 Fn Ft产生切向的加速度 切向加速 度改变改变速度的大小 Fn产生向心加速度改变速度的方向 所以它的和外力与速度成一 个角度 当角度大于 90 度时 做减速圆周运动 当角度小于 90 度时 做加速圆周运动 3 一般曲线运动 尽管各地的弯曲程度不一 但我们可以将它看作成无数段半径不同的 小段圆周运动组成 所以它的合外力应指向凹内侧 同样合外力与速度成一个角度 当角 度大于 90 度时 做减速曲线运动 当角度小于 90 度时 做加速曲线运动 三三 解决匀速圆周运动有关的问题的方法和步骤解决匀速圆周运动有关的问题的方法和步骤 引入 怎样用向心力来解决圆周运动的问题了 解决匀速圆周运动的方法 就是解决动力学问题的一般方法 其解决问题的步骤也是 解决动力学问题的步骤 但要注意灵活运用匀速圆周运动的一些运动学规律 同时在解题 的过程中要弄清匀速圆周运动问题的轨道平面 圆心和半径等 1 明确研究对象并对其受力分析 2 明确圆周运动的轨迹 半径及圆心位置 进一步求出物体所受的合力或向心力 3 由牛顿第二定律和圆周运动的运动学公式列方程 4 求解或分析讨论 例例 2 长为 L 的细线 拴一质量为 m 的小球 一端固定于 O 点 让其在水平面内做匀 速圆周运动 这种运动通常称为圆锥摆运动 如图所示 当摆线 L 与竖直方向的夹角 是 时 求 1 线的拉力 F 2 小球运动的线速度的大小 例 1 图 例 2 3 小球运动的角速度及周期 解析解析 做匀速圆周运动的小球受力如图所示 小球受重力 mg 和绳子的拉力 F 因为小球在水平面内做匀速圆周运动 所以小球受到的合力指向圆心 O 且是水平 方向 由平行四边形法则得小球受到的合力大小为 mgtan 线对小球的拉力大小为 F mg cos 由牛顿第二定律得 mgtan r mv2 由几何关系得 r Lsin 所以 小球做匀速圆周运动线速度的大小为 v sintangL 小球运动的角速度 r v sin sintan L gL cosL g 小球运动的周期 T 2 2 g L cos 点评点评 1 在解决匀速圆周运动问题的过程中 弄清物体圆形轨道所在的平面 明确圆心 和半径是一个关键环节 同时不可忽视对解题结果进行动态分析 明确各变量之间的制约 关系 变化趋势以及结果涉及物理量的决定因素 2 由解题过程可见 圆周运动问题属于一般的动力学问题 无非是由物体的受力 情况确定物体的运动情况 或者由物体的运动情况求解物体的受力情况 解题的思路就是 以加速度为纽带 运用牛顿第二定律和运动学公式列方程 求解并讨论 学习者应该把已 经掌握的解决动力学问题的方法迁移到解决圆周运动的问题中 课时评价课时评价 1 下面情况下物体做曲线运动时轨迹与所受的合外力 F 的情况如图 我们将力 F 分解得与 V 共线的力 F1 与 V 垂直的力 F2 讨论其中 F1 F2的作用 1 与速度同向的力 F1只改变速度的 2 与速度垂直的力 F2只改变速度的 填大小或方向 2 下列关于向心力的说法中正确的是 A 物体由于做圆周运动而产生了向心力 B 向心力是指向圆心方向的合力 是根据力的作用效果来命名的 但受力分析时应 该画出 C 向心力可以是重力 弹力 摩擦力等各种力的合力 也可以是其中某一种力或某 几种力的合力 D 向心力只改变物体运动的方向 不改变物体运动的快慢 例 5 答图 第 1 题 3 甲 乙两个物体都做匀速圆周运动 其质量之比为 1 2 转动半径之比为 1 2 在相同时间里甲转过 60 角 乙转过 45 角 则它们的向心力之比为 A 1 4 B 2 3 C 4 9 D 9 16 4 汽车起重机用 5 米长的钢绳吊着 1 吨的重物以 2 米 秒的速度水平匀速行驶 如果汽车 突然停车 则在一瞬间钢绳受的拉力比匀速行驶时增加了多少 5 如图所示 一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面 圆锥筒固定不动 有两个质 量相同的小球 A 和 B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动 则下列说法 正确的是 A 球 A 的线速度必定大于球 B 的线速度 B 球 A 的角速度必定小于球 B 的角速度 C 球 A 的运动周期必定小于球 B 的运动周期 D 球 A 对筒壁的压力必定大于球 B 对筒壁的压力 6 如图所示 小球沿光滑的水平面冲上一光滑的半圆形轨道 轨 道半径为 R 小球在轨道的最高点对轨道压力等于小球的重力 问 1 小球离开轨道落到距地面高为 R 2 处时 小球的水平位移是 多少 2 小球落地时速度为多大 答案 1 大小 方向 2 CD 3 C 4 800N 5 AB 6 6R gR6 第 5 题 第 16 题 八八 生活中的圆周运动生活中的圆周运动 学习目标学习目标 1 知识与能力 1 知道生活中常见圆周运动 会分析常见圆周运动向心力来源 2 知道离心运动及其产生的原因 知道离心现象的一些应用和可能带来 的危害 3 进一步理解向心力的概念 明确匀速圆周运动的产生条件 掌握向心 力公式的应用 2 过程与方法 培养学生观察 分析 解决问题的程序和方法 培养学生比较分析 总 结归纳的能力 3 情感价值观 激发学生学习兴趣 培养学生关心周围事物习惯培养学生用理论解释实 际 学科素养学科素养 1 火车转弯火车转弯 引入 火车是靠什么力提供向心力来拐弯 1 原来在转弯处使外轨略高于内轨 火车转弯时铁轨对火车的支持力 FN的方向不 再是竖直的 而是斜向弯道的内侧 它与重力 G 的合力指向圆心 为火车转弯提供了一部 分向心力 这就减轻了轮缘与外轨的挤压 在修筑铁路时 要根据弯道的半径和规定的行 驶速度 适当选择内外轨的高度差 使转弯时所需的向心力几乎完全由重力 G 和支持力 FN的合力来提供 如图 1 设内外轨间的距离为 L 内外轨的高度差为 h 火车转弯的半径为 R 火车转弯的规定 速度为 v0 由图 3 所示力的合成得向心力为 F合 mgtan mgsin mg L h 由牛顿第二定律得 F合 m R v 2 0 所以 mg L h m R v 2 0 即火车转弯的规定速度 v0 L Rgh 2 对火车转弯时速度与向心力的讨论 a 当火车以规定速度 v0转弯时 合力 F 等于向心力 这时轮缘与内外轨均无侧压力 b 当火车转弯速度 v v0时 该合力 F 小于向心力 外轨向内挤压轮缘 提供侧压力 图 1 与 F 共同充当向心力 c 当火车转弯速度 vv0 水不会流出 设桶底对水的压力为 FN 则由牛顿第二定律有 mg FN m L v2 由式 解得 FN m L v2 mg 0 5 6 0 32 9 8 N 2 6N 根据牛顿第三定律 FN FN 所以水对桶底的压力 FN 2 6N 方向竖直向上 如图所示为在轻杆约束下竖直平面内做圆周运动的小球过最高点的情况 当 v 0 时 杆对球的支持力 FN mg 此为过最高点临界条件 当gRv 时 mg R v m 2 FN 0 当gRv 0时 N 为支持力 v 增大 则 FN减小 当gRv 时 N 为指向圆心的拉力 v 增大 则 FN增大 例例 3 如图所示 杆长为 L 球的质量为 m 杆