高中数学《合情推理与演绎推理-剖析演绎推理证明的几种常见错误》文字素材3 新人教A版选修2-2

用心 爱心 专心1 剖析演绎推理证明的几种常见错误剖析演绎推理证明的几种常见错误 1 偷换论题 例 1 求证四边形的内角和等于 0 360 证明 设四边形ABCD是矩形 则它的四个角都是直角 有 00000 36090909090 DCBA 所以 四边形的内角和等于 0 360 剖析 上述推理过程是错误的 犯了偷换论题的错误 在证明过程中 把论题中的四 边形改为矩形 2 虚假论据 例 2 已知2和3是无理数 试证32 也是无理数 证明 依题设2和3是无理数 而无理数与无理数的和是无理数 所以32 也是无理数 剖析 上述推理过程是错误的 犯了虚假论据的错误 使用的论据是 无理数与无 理数的和是无理数 这个论据是假的 因为两个无理数的和不一定是无理数 因此 原题 的真假性仍无法断定 3 循环论证 例 3 在ABCRt 中 0 90 C求证 222 cba 证明 因为AcbAcacos sin AcAcba 222222 cossin 2222 cos sincAAc 剖析 上述推理过程是错误的 犯了循环论证的错误 本题的论证就是人们熟知的 勾股定理 上述证明中用了 1cossin 22 AA 这个公式 按照现行中学教材系统 这个公式是由勾股定理推出来的 这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据 犯了 循环论证的错误 4 不能推出 例 4 设 8 1 tan 5 1 tan 2 1 tan 2 0 且 求证 4 用心 爱心 专心2 证明 因为 tantantantantantan1 tantantantantantan tan 1 8 1 5 1 8 1 5 1 5 1 2 1 1 8 1 5 1 2 1 8 1 5 1 2 1 4 剖析 上述推理过程是错误的 犯了不能推出的错误 因为1 tan 只能推 出 4 Znn 至于关系式 4 是否唯一地成立 却无法断 定 因此 只有进一步推出 4 0 即 4 3 0 原题才能得证 演绎推理的三种类型 特殊性存在于一般性之中 这个哲学原理道出了演绎推理的实质 其实 我们学 习的演绎推理实际上就是从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 显然 只要 一般性原理正确 推理形式不出错误 那么由此产生的结论一定正确 这也正是我们证明 数学结论 建立数学体系的重要的思维过程 具体到一个数学问题 我们使用演绎推理时 常常表现为下述三种情况 这里向你介绍 也许对你深入理解演绎推理会有所帮助 1 显性三段论 在证明过程中 可以较清楚的看出 大前提 小前提 结论 结合演绎推理我 们可以知道结果是正确的 也是演绎推理最为简单的应用 例 1 当ba 为正数时 求证 ab ba 2 证明 因为一个实数的平方是非负数 而 2 22 2 ba ab ba 是一个实数的平方 所以ab ba 2 是非负数 即0 2 ab ba 所以 ab ba 2 评析 在这个问题的证明中 三段论是很显然的 大前提 一个实数的平方是非负 用心 爱心 专心3 数 小前提 ab ba 2 是一个实数的平方 结论 ab ba 2 是非负数 从 而产生最后结果 由于大前提是人所共知的真理 推理形式正确 因而 结论正确 2 隐性三段论 三段论在证明或推理过程中 不一定都是清晰的 特别是大前提 有一些是我们早已 熟悉的定理 性质 定义 对这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用 不 需要再重新指出 因此 就会出现隐性三段论 例 2 判断函数 11 11 2 2 xx xx xf的奇偶性 解 由于Rx 且 xf xf 11 11 2 2 xx xx 1 2 2 11 11 2 2 xfxf x x xx xx 故函数为奇函数 评析 在这个推理过程中 好似未用到演绎推理的三段论 其实不然 用了 只是大 前提 若函数 xf是奇函数 则 xfxf 若函数 xf是偶函数 则 xfxf 是大家熟悉的定义 在推理过程中省略了 这是演绎推理三段论的又一表现形式 3 复式三段论 一个复杂问题的证明或推理 往往不是一次三段论就可以解决的 在证或推的过程中 要多次使用三段论 从一个熟悉的大前提出发 产生一个结论 而这个结论又是下一步的 大前提 依次递推下去 最终产生结论 这就是所谓的复式三段论 可以看出我们现在遇 到的证明或推理的过程 基本上都是复式三段论 例 3 若数列 n a的前n项和为 2 1n n aan s 求证 数列 n a为等差数列 证明 由 2 1 2 1 2 11 1111 1 n n aa aaaanaan assa n nnn nnnn 因此 2 1 2 3 1 2 12 11 1 13 14 12 13 121 n n aa aa aa aa aa aa aa aaaa n n n 121121 1 aaaaaanaa nnn 故数列 n a为等差数列 评析 本题的论证共有三层 即三次使用演绎推理 请看 第一层 大前提 若 n s是数列 n a的前n项和 则 1 nnn ssa 小前提 数列 用心 爱心 专心4 n a的前n项和为 2 1n n aan s 则 2 1 2 111 nn n aanaan a 结论 2 1 11 1 n n aa aa n n 第二层 大前提 对于非零数列 n a 则有 11 2 1 n n n a a a a aa 小前提 满 足 2 1 11 1 n n aa aa n n 的数列 n a有 11 1 13 14 12 13 121 aa aa aa aa aa aa aaaa n n n 结论 1 121 aanaan 第三层 大前提 对于数列 n a 若