（三管齐下）贵州省2014届高三数学 复习试题 72 数系的扩充与复数的引入 理（含解析）新人教A版

1 7272 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 导学目标 1 理解复数的基本概念 2 理解复数相等的充要条件 3 了解复数的代数表 示法及其几何意义 4 会进行复数代数形式的四则运算 5 了解复数代数形式的加 减运算的 几何意义 自主梳理 1 数系的扩充 数系扩充的脉络是 用集合符号表示为 实际上前者是后者的真子集 2 复数的有关概念 1 复数的概念 形如a bi a b R 的数叫复数 其中a b分别是它的 和 若 则a bi 为实数 若 则a bi 为虚数 若 则 a bi 为纯虚数 2 复数相等 a bi c di a b c d R 3 共轭复数 a bi 与c di 共轭 a b c d R 4 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面 叫做复平面 叫做实轴 叫做虚 轴 实轴上的点表示 除原点外 虚轴上的点都表示 各象限内的点都表 示 复数集 C 和复平面内 组成的集合是一一对应的 复数集 C 与复平面内所有以 为起点的向量组成的集合也是一一对应的 5 复数的模 向量的模r叫做复数z a bi 的模 记作 或 即 OZ z a bi 3 复数的运算 1 复数的加 减 乘 除运算法则 设z1 a bi z2 c di a b c d R 则 加法 z1 z2 a bi c di 减法 z1 z2 a bi c di 乘法 z1 z2 a bi c di 除法 z1 z2 a bi c di a bi c di c di c di c di 0 2 复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律 结合律 即对任何z1 z2 z3 C 有 z1 z2 z1 z2 z3 自我检测 1 2011 山东 复数z i 为虚数单位 在复平面内对应的点所在象限为 2 i 2 i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 2011 广东 设复数z满足 1 i z 2 其中 i 为虚数单位 则z等于 A 1 i B 1 i C 2 2i D 2 2i 3 2011 大纲全国 复数z 1 i 为z的共轭复数 则z z 1 等于 zz 2 A 2i B i C i D 2i 4 2011 重庆 复数等于 i2 i3 i4 1 i A i B i 1 2 1 2 1 2 1 2 C i D i 1 2 1 2 1 2 1 2 5 2011 江苏 设复数z满足 i z 1 3 2i i 为虚数单位 则z的实部是 探究点一 复数的基本概念 例 1 设m R 复数z 2 i m2 3 1 i m 2 1 i 1 若z为实数 则m 2 若z为纯虚数 则m 变式迁移 1 已知复数z a2 5a 6 i a R 试求实数a分别取什么 a2 7a 6 a2 1 值时 z分别为 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 探究点二 复数的四则运算 例 2 2010 全国 复数 2等于 3 i 1 i A 3 4i B 3 4i C 3 4i D 3 4i 变式迁移 2 计算 1 1 i 2 i i3 2 1 2i 2 3 1 i 2 i 3 1 3i 3 i 2 3 例 3 2011 唐山模拟 计算 2 012 2 3 i 1 2 3i 2 1 i 4 8i 2 4 8i 2 11 7i 变式迁移 3 1 2010 四川 i 是虚数单位 计算 i i2 i3等于 A 1 B 1 C i D i 2 2010 福建 i 是虚数单位 4等于 1 i 1 i A i B i C 1 D 1 3 i 是虚数单位 等于 1 i 1 i 2 1 i 1 i 2 A i B i C 1 D 1 探究点三 复数的点坐标表示 例 4 如图所示 平行四边形OABC 顶点O A C分别表示 0 3 2i 2 4i 试求 1 所表示的复数 所表示的复数 AO BC 2 对角线所表示的复数 CA 3 求B点对应的复数 4 变式迁移 4 2011 江苏苏北四市期末 复数z1 3 4i z2 0 z3 c 2c 6 i 在 复平面内对应的点分别为A B C 若 BAC是钝角 则实数c的取值范围为 Error 1 复数 a bi 2 乘法法则 a bi c di ac bd ad bc i 除法法则 a bi c di i c di 0 特别地 a bi a bi c di c2 d2 ac bd c2 d2 bc ad c2 d2 2 a2 2abi b2 a2 b2 2abi a bi a bi a2 b2 3 进行复数运算时 熟记以下结果有助于简化运算过程 1 i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i in in 1 in 2 in 3 0 n N 2 1 i 2 2i 1 i 2 2i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2011 江西 若z 则复数 等于 1 2i iz A 2 i B 2 i C 2 i D 2 i 2 2010 北京 在复平面内 复数 6 5i 2 3i 对应的点分别为A B 若C为线段 AB的中点 则点C对应的复数是 A 4 8i B 8 2i C 2 4i D 4 i 3 2011 平顶山调研 若 则复数 cos sin sin cos 3 4 5 4 i 在复平面内所对应的点在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 4 2011 课标全国 复数的共轭复数是 2 i 1 2i A i B i 3 5 3 5 C i D i 5 下面四个命题 0 比 i 大 两个复数互为共轭复数 当且仅当其和为实数 x yi 1 i 的充要条件为x y 1 如果让实数a与ai 对应 那么实数集与纯虚数集一一对应 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 5 6 已知z1 2 i z2 1 3i 则复数的虚部为 i z2 z1 7 已知复数z1 m 2i z2 3 4i 若为实数 则实数m z1 z2 8 2011 上海九校联考 复数z x yi x y R 满足 z 1 x 则复数z对应的 点Z x y 的轨迹方程为 三 解答题 共 38 分 9 12 分 已知 z z 1 2i 求复数z 10 12 分 2011 上海 已知复数z1满足 z1 2 1 i 1 i i 为虚数单位 复数 z2的虚部为 2 且z1 z2是实数 求z2 11 14 分 已知m R 复数z m2 2m 3 i 当m为何值时 1 m m 2 m 1 z R 2 z是纯虚数 3 z对应的点位于复平面第二象限 4 z对应的点在直线 x y 3 0 上 6 72 数系的扩充与复数的引入 自主梳理 1 自然数系 有理数系 实数系 N Q R 2 1 实部 虚部 b 0 b 0 a 0 且b 0 2 a c b d 3 a c b d 4 x轴 y轴 实数 纯虚数 非纯虚数 所有的点 原点O 5 z a bi a2 b2 3 1 a c b d i a c b d i ac bd ad bc i ac bd bc ad i c2 d2 2 z2 z1 z1 z2 z3 自我检测 1 D z i 2 i 2 i 2 i 2 2 i 2 i 4 4i 1 5 3 5 4 5 复数z对应的点的坐标为 在第四象限 3 5 4 5 2 B 方法一 设z x yi 则 1 i x yi x y x y i 2 故应有Error 解得Error 故z 1 i 方法二 z 1 i 2 1 i 2 1 i 1 i 1 i 3 B z 1 i 1 i z z 2 2 zz z z 1 2 1 i 1 i z 4 C i2 i3 i4 1 i 1 i 1 1 i i 1 i i 1 i 1 i 1 i i 1 i 2 1 2 1 2 5 1 解析 设z a bi a b R 由 i z 1 3 2i 得 b a 1 i 3 2i a 1 2 a 1 课堂活动区 例 1 解题导引 根据复数z为实数 虚数及纯虚数的概念 利用它们的充要条件可分 别求出相应的m值 利用概念解题时 要看准实部与虚部 1 1 或 2 2 1 2 解析 z 2m2 3m 2 m2 3m 2 i 1 若z为实数 则m2 3m 2 0 m 1 或 2 2 若z为纯虚数 则Error 解得m 1 2 变式迁移 1 解 1 当z为实数时 则有Error Error a 6 即a 6 时 z为实数 2 当z为虚数时 则有a2 5a 6 0 且a2 1 0 a 1 且a 6 且a 1 a 1 且a 6 当a 1 1 1 1 6 6 时 z为虚数 3 当z为纯虚数时 有Error Error 不存在实数a使z为纯虚数 例 2 解题导引 复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算 合并同类项 复 数的乘除运算是复数运算的难点 在乘法运算中要注意 i 的幂的性质 区分 a bi 2 a2 2abi b2与 a b 2 a2 2ab b2 在除法运算中 关键是 分母实数化 分子 7 分母同乘以分母的共轭复数 此时要注意区分 a bi a bi a2 b2与 a b a b a2 b2 防止实数中的相关公式与复数运算混淆 造成计算失误 A 2 2 2 3 i 1 i 3 i 1 i 2 2 4i 2 1 2i 2 3 4i 变式迁移 2 解 1 1 3i 1 i 2 i i3 3 i i 2 1 2i 2 3 1 i 2 i 3 4i 3 3i 2 i i i 2 i i 2 i 5 1 5 2 5 3 1 3i 3 i 2 3 i i 3 i 2 i 3 i i 3 i 4 i 1 4 3 4 例 3 解题导引 注意 in n N 的周期性 i4k 1 i i4k 2 1 i4k 3 i i4k 1 其中k N 以及 1 i 2 2i 1 i 2 2i i i 等运算结果在解题 1 i 1 i 1 i 1 i 中的应用 运算的最后结果化为a bi a b R 的形式 解 原式 1 006 2 3 i 1 2 3i 12 2 3 2 2 1 i 2 4 8i 2 4 8i 2 11 7i 1 006 0 13i 13 1 i i i 1 006 i i2 i 1 1 i 变式迁移 3 1 A 2 C 3 D 解析 1 i i2 i3 i 1 i 1 2 4 2 2 2 1 1 i 1 i 1 i 1 i 2i 2i 3 1 i 1 i 2 1 i 1 i 2 1 i 2i 1 i 2i 1 1 i 1 i 2i 2i 2i 例 4 解题导引 根据复平面内的点 向量及向量对应的复数是一一对应的 要求某个 向量对应的复数 只要找出所求向量的始点和终点 或者用向量相等直接给出结论即可 解 1 所表示的复数为 3 2i AO OA AO 所表示的复数为 3 2i BC AO BC 2 所表示的复数为 CA OA OC CA 3 2i 2 4i 5 2i 3 OB OA AB OA OC 表示的复数为 3 2i 2 4i 1 6i OB 即B点对应的复数为 1 6i 变式迁移 4 c 且c 9 49 11 解析 在复平面内三点坐标分别为A 3 4 B 0 0 C c 2c 6 由 BAC是钝角得 0 且B A C不共线 由 3 4 c 3 2c 10 其中当c 9 AB AC 49 11 8 时 6 8 2 三点共线 故c 9 AC AB 课后练习区 1 D z 2 i 1 2i i 1 2i i 1 2 i z 2 C 复数 6 5i 对应A点的坐标为 6 5 2 3i 对应B点的坐标为 2 3 由 中点坐标公式知C点坐标为 2 4 点C对应的复数为 2 4i 3 B 由三角函数线知识得当 时 3 4 5 4 sin cos 0 故选 B 4 C 方法一 2 i 1 2i 2 i 1 2i 1 2i 1 2i 2 i 4i 2 5 i 的共轭复数为 i 2 i 1 2i 方法二 i 2 i 1 2i 2i2 i 1 2i i 1 2i 1 2i 的共轭复数为 i 2 i 1 2i 5 A 1 中实数与虚数不能比较大小 2 两个复数互为共轭复数时其和为实数 但两个复数的和为实数时这两个复数不一定 是共轭复数 3 x yi 1 i 的充要条件为x y 1 是错误的 因为没有标明x y是否是实数 4 当a 0 时 没有纯虚数和它对应 6 1 解析 i i z2 z1 i 1 3i 2 i 1 2i 2 i 5 故虚部为 1 7 3 2 解析 z1 z2 m 2i 3 4i m 2i 3 4i 25 是实数 6 4m 0 故m 3m 8 6 4m i 25 3 2 8 y2 2x 1 解析 由 z 1 x得 x 1 yi x 故 x 1 2 y2 x2 x 0 整理得y2 2x 1 9 解 设z a bi a b R 则 a bi 1 2i 5 分 a2 b2 由两复数相等的充要条件得 Error 解得Error 10 分 所以所求复数为z 2i 12 分 3 2 10 解 z1 2 1 i 1 i z1 2 i 4 分 设z2 a 2i a R 则z1 z2 2 i a 2i 2a 2 4 a i z1 z2 R a 4 z2 4 2i 12 分 11 解