高考数学复习点拨 学习圆的方程要掌握哪些考点

用心 爱心 专心 学习圆的方程要掌握哪些考点学习圆的方程要掌握哪些考点 考点一 求圆的方程考点一 求圆的方程 例 1 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为 1 2 0543 yx A B 3 1 2 22 yx3 1 2 22 yx C D 9 1 2 22 yx9 1 2 22 yx 解 已知圆心为 且由题意知线心距等于圆半径 即 1 2 22 43 546 dr 3 所求的圆方程为 故选 C 9 1 2 22 yx 点评 点评 一般先求得圆心和半径 再代入圆的标准方程即得圆的方 222 rbyax 程 考点二 位置关系问题考点二 位置关系问题 例 2 直线与圆没有公共点 则的取值范围是 1 yx02 22 ayyx 0 aa A B C D 12 0 12 12 12 12 12 0 解 化为标准方程 即得圆心和半径 222 aayx 0 aCar 直线与已知圆没有公共点 线心距 平方去分母得1 yxar a d 2 1 解得 注意到 22 212aaa 1212 a0 a 故选 A 120 a 点评 点评 一般通过比较线心距与圆半径的大小来处理直线与圆的位置关系 线dr rd 圆相离 线圆相切 线圆相交 rd rd 考点三 切线问题考点三 切线问题 例 3 过坐标原点且与圆相切的直线方程为 0 2 5 24 22 yxyx A 或 B 或xy3 xy 3 1 xy3 xy 3 1 C 或 D 或xy3 xy 3 1 xy3 xy 3 1 解 化为标准方程 即得圆心和半径 2 5 1 2 22 yx 1 2 C 2 5 r 用心 爱心 专心 设过坐标原点的切线方程为 即 线心距 kxy 0 ykx 2 5 1 12 2 r k k d 平方去分母得 解得或 所求的切线方程为或0 3 13 kk3 k 3 1 xy3 故选 A xy 3 1 点评 点评 一般通过线心距与圆半径相等和待定系数法 或切线垂直于经过切点的半径来dr 处理切线问题 考点四 弦长问题考点四 弦长问题 例 4 设直线与圆相交于两点 且弦的长03 yax4 2 1 22 yxBA AB 为 则 32 a 解 由已知圆 即得圆心和半径 4 2 1 22 yx 2 1 C2 r 线心距 且 即 1 1 2 a a d 222 2 r AB d 222 2 2 3 1 1 a a 解得 1 1 22 aa0 a 点评 点评 一般在线心距 弦长的一半和圆半径所组成的直角三角形中处理弦长问题 dABr 222 2 r AB d 考点五 夹角问题考点五 夹角问题 例 5 从圆外一点向这个圆作两条切线 则两切线夹角0122 22 yyxx 2 3 P 的余弦值为 A B C D 0 2 1 5 3 2 3 解 已知圆化为 即得圆心和半径 1 1 1 22 yx 1 1 C1 r 设由向这个圆作的两条切线的夹角为 则在切线长 半径和构成的直角三 2 3 P rPC 角形中 故选 B 5 2 2 cos 5 3 1 2 cos2cos 2 点评 点评 处理两切线夹角问题的方法是 先在切线长 半径和所构成的直角三角形 rPC 中求得的三角函数值 再用二倍角公式解决夹角问题 2 考点六 圆心角问题考点六 圆心角问题 例 6 过点的直线 将圆分成两段弧 当劣弧所对的圆心角最小 2 1 l4 2 22 yx 用心 爱心 专心 时 直线 的斜率 l k 解 由已知圆 即得圆心和半径 4 2 22 yx 0 2 C2 r 设 则 直线 时弦最短 从而劣弧所对的圆心角最小 2 1 P2 PC k PCl 直线 的斜率 l 2 21 PC k k 点评 点评 一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题 在同圆中 若圆心角最 小则其所对的弧长与弦长也最短 若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小 考点七 最值问题考点七 最值问题 例 7 圆上的点到直线 的最大距离与最小距01044 22 yxyx14 yx0 离的差是 A 30 B 18 C D 2625 解 已知圆化为 即得圆心和半径 18 2 2 22 yx 2 2 C23 r 设线心距为 则圆上的点到直线的最大距离为 最小距离为 d014 yxrd rd 故选 C 262 rrdrd 点评 圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距与圆半径的关系解决 圆dr 上的点到该直线的最大距离为 最小距离为 rd rd 考点八 综合问题考点八 综合问题 例 8 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离01044 22 yxyx0 byaxl 为 则直线 的倾斜角的取值范围是 22l A B C D 4 12 12 5 12 3 6 2 0 解 已知圆化为 即得圆心和半径 18 2 2 22 yx 2 2 C23 r 圆上至少有三个不同的点到直线的距离为 0 byaxl22 即 由直线 的斜率代入222 22 22 r ba ba d04 22 babal b a k 得 解得 又 014 2 kk3