高二数学 抛物线的定义-标准方程及几何性质（文） 人教实验B版

用心 爱心 专心1 高二数学高二数学 抛物线的定义 标准方程及几何性质 文 人教实验抛物线的定义 标准方程及几何性质 文 人教实验 B B 版版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 抛物线的定义 标准方程及几何性质 二 本周学习目标 掌握抛物线的定义 标准方程 能根据条件利用待定系数法求抛物线的方程 掌握抛 物线的几何性质 了解抛物线的参数方程 能根据方程讨论曲线的性质 掌握直线与抛物 线的位置关系的判断方法 能够正确熟练地解决有关直线和抛物线的位置关系的一些问题 三 考点分析 一 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 定点 F 叫做抛 物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线 二 1 抛物线的标准方程 图像及几何性质 焦点在轴上 x 开口向右 焦点在轴上 x 开口向左 焦点在轴上 y 开口向上 焦点在轴上 y 开口向下 标准方 程 px2y2 px2y2 py2x 2 py2x 2 图 形 顶 点 0 0 O 对称轴轴x轴y 焦 点 0 2 p F 0 2 p F 2 p 0 F 2 p 0 F 离心率1 e 准 线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 通 径 是过焦点的所有弦中最短的弦 p2 焦半径 2 p x PF 0 2 p y PF 0 焦准 距 p 2 抛物线标准方程中 p 的几何意义是 焦点到准线的距离 故 p 0 用心 爱心 专心2 3 抛物线的标准方程中 一次项的变量决定对称轴 一次项的符号决定开口方向 4 弦长公式 1 过焦点 F 0 的弦长 x x 分别为弦 AB 的端点的横坐标 y 2 p 12 y 分别为弦 AB 的端点的纵坐标 弦 AB x x p y y p 1212 pBFAF 211 12 2 2 一般的弦长公式 类似于椭圆 x x 分别为弦 PQ 的横坐标 y y 分别为弦 1212 PQ 的纵坐标 弦 PQ 所在的直线方程为 y kx b 代入抛物线方程整理得 Ax Bx C 0 则 2 若 y y 分别为弦 PQ 的纵坐标 则PQ A ACB kxxk 2 11 2 2 21 2 12 PQ 21 2 1 1yy k 5 斜率为 k 的弦的中点的轨迹方程是 y 一条平行于 x 轴且不包括端点在抛物线内 k p 部的射线 6 与焦点弦有关的一些几何图形的性质 1 以过焦点的弦为直径的圆和准线相切 2 设 AB 为焦点弦 端点在准线上的射影为 A B M 为准线与 x 轴的交点 则 11 AMF BMF 3 若 P 为 A B 的中点 则 PA PB 11 4 若 AO 的延长线交准线于 C 则 BC 平行于 x 轴 反之 若过 B 点平行于 x 轴的 直线交准线于 C 点 则 A O C 三点共线 7 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条平行于 对称轴的直线 典型例题典型例题 例 1 指出抛物线的焦点坐标 准线方程 1 2 分析 1 先根据抛物线方程确定抛物线是四种中的哪一种 求出 p 再写出焦点坐 标和准线方程 2 先把方程化为标准方程形式 再对 a 进行讨论 确定是哪一种后 求 p 及焦点坐 标与准线方程 解 解 1 焦点坐标是 0 1 准线方程是 2 原抛物线方程为 用心 爱心 专心3 当 时 抛物线开口向右 焦点坐标是 准线方程是 当 时 抛物线开口向左 焦点坐标是 准线方程是 综合上述 当 时 抛物线 的焦点坐标为 准线方程是 例 2 分别求满足下列条件的抛物线的方程 过点 B 3 2 焦点在直线上 240 xy 解 解 1 依题意 设所求抛物线的方程为 22 22 0 ypxxpy p 或 抛物线过点 B 3 2 代入得 2 2ypx 2 3 p 代入得 2 2xpy 9 4 p 所求抛物线的方程为 22 49 32 yxxy 或 2 令 令02xy 得04y 得x 抛物线的焦点坐标为 0 2 或 4 0 当焦点坐标为 0 2 时 抛物线的方程为 2 8xy 当焦点坐标为 4 0 时 抛物线的方程为 2 16yx 反思 反思 抛物线的开口方向有四种 相应的标准方程的形式也就有四种 因此 在解题 时要利用图形全面分析 防止遗漏符合题设条件的某个开口方向 从而防止遗漏符合题设 条件的抛物线的标准方程 例 3 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为 轴 抛物线上的点 到焦点的距 离等于 5 求抛物线的方程和 的值 用心 爱心 专心4 解法一 解法一 设抛物线方程为 则焦点为 由题设可得 解得或 故抛物线方程为 的值为 解法二 解法二 设抛物线方程为 则焦点为 准线方程为 根据抛物线定义 到焦点的距离等于 5 也就是 到准线的距离等于 5 则 因此抛物线方程为 2 8yx 又点 在抛物线上 于是 点评 点评 解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离 既快捷又方便 要善于转化 例 4 斜率为 1 的直线经过抛物线的焦点 与抛物线相交于两点 A B 求线段 x4y2 AB 的长 由抛物线的标准方程可知 焦点为 准线方程为 由题设 直线 的方程为 代入抛物线方程 整理得 解法一 解法一 解上述方程得 分别代入直线方程得 即 坐标分别为 用心 爱心 专心5 解法二 解法二 设 则 8462 2 解法三 解法三 设 由抛物线定义可知 等于点 到准线 22 y xB 的距离 即 同理 1x BF 2 点拨 点拨 解法一利用传统的基本方法求出 两点坐标 再利用两点间距离公式求出 的长 解法二没有直接求出 A B 坐标 而是利用韦达定理找到 与 的关系 利 用直线截二次曲线的弦长公式 求得 这是典型的设而不求的思想方 法 比解法一先进 解法三充分利用抛物线的定义 把过焦点的这一特殊的弦分成两个半 径的和 转化为准线的距离 这是思维产生质的飞跃的表现 例 5 过抛物线的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA OB 2 yx 求证 直线 AB 过定点 求 AOB 面积的最小值 解 解 1 设 A B 则 11 x y 22 xy 22 1122 yx yx 用心 爱心 专心6 若 则由 OA OB 得 AB 过点 M 1 0 12 xx 12 1xx 若则 12 xx 1212 22 121212 1yyyy k xxyyyy 由 OA OB 得 又0yyxx 2121 21 2 2 2 1 xxyy 12 1y y 故 AB 的方程为 11 12 1 yyxx yy 即 2 121121 yyyyy yxx 化简得 故直线 AB 恒过定点 M 1 0 12 1yyyx 2 直线 AB 消去得方程 2 1xtyyx 与联立x 2 10yty tyy 21 1yy 21 故 22 12 4yyt 4t 2 1 yy OM 2 1 S 2 21AOB 当 t 0 即 AB x 轴时取最小值 AOB S 反思 反思 与弦有关的问题内容十分丰富 基本内容有弦长 弦终点 最值 轨迹等问题 但解题思想都一致 即由直线方程与圆锥曲线方程联立并消元 利用判别式 韦达定理使 所求问题转化为方程的问题求解 或用点差法求解 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 1 以双曲线的右焦点为顶点 左顶点为焦点的抛物线方程为 1 9 y 16 x 22 A B 5x 18y2 5x 4y2 C D 5x 36y2 5x 36y2 2 若 AB 为抛物线 的焦点弦 是抛物线的准线 则以 AB 为直径的px2y2 0p l 圆与 的公共点的个数是 l A 0B 1C 2D 0 或 1 或 2 3 若抛物线的准线与双曲线的右准线重合 0142 2 mymxy123 22 yx 用心 爱心 专心7 则的值为 m A 2 B 4C 8 D 2 4 抛物线上一点的横坐标为 6 这点的焦半径为 10 则焦点到准线的距ypx p 2 20 离为 A 4B 8C 16D 32 5 已知定点 A 4 3 抛物线 F 为抛物线的焦点 B 是抛物线的动点 则yx 2 4 取最小值时的 B 点的坐标为 BFAB A 2 3 B 1 3 C 4 4 D 2 33 6 抛物线的顶点在原点 焦点在轴上 其上一点 P 到焦点的距离为 5 则抛ym 1 物线的方程为 A B C D y8x 2 y8x 2 y16x2 y16x 2 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 7 抛物线向右平移个单位得一曲线 再把曲线绕其焦点逆时针方1x2y C 2 2 1 C C 向旋转 则所得曲线的方程为 90 8 2 423 5 yxyxkk 抛物线截直线所得弦长为则 9 AB 是过抛物线的焦点的弦 则的最小值为 ypx p 2 20 AB 10 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A B 两点 若 A B 在抛物线准线上的射影 分别为 则等于 AB 11 A FB 11 三 解答题 本大题共 4 题 共 50 分 11 抛物线与过点 M 0 1 的直线交于 A B 两点 O 为坐标原点 若 2 x 2 1 y l OA 与 OB 的斜率之和为 1 求直线的方程 12 分 l 12 如果抛物线上存在关于直线对称的两个不同的点 求 a 的取值1axy 2 yx 2 范围 13 分 13 若抛物线 y ax2 1 上总存在关于直线 l x y 0 的对称点 求 a 的取值范围 12 分 14 过抛物线的焦点 F 作弦 AB 且 直线 AB 与椭圆相x4y2 8 AB 2y2x3 22 交于两个不同的点 求直线 AB 的倾斜角的范围 13 分 用心 爱心 专心8 试题答案试题答案 1 C 2 B 相切ABBBAAMM 2 1 2 1 3 B 4 1 xmy 由434 4 m m 4 B 如图 设 P 点是抛物线上一点 且 由抛物线定义 知ypx 2 2 xP 610 PF P 到准线的距离为 10 从而得 y 轴到准线的距离为 4 故 F 到准线的距离为 8 5 D 如图 由抛物线定义 BFBC BFABABBCBCl 准线 当 B C A 三点共线时 最小 此时 B 点的纵坐标与 A 点的纵坐标相等 ABBC 从而可确定 B 2 33 用心 爱心 专心9 6 C提示 由点 P 所在的抛物线开口向上 m 1 又 P 到焦点的距离为 5 根据定义知 从而 P 2 4 216P 7 xy 1 2 2 1 2 2 提示 方程为C yx 2 2 1 2 1 即 顶点 0 0 焦点yx 2 2 1 2 0 绕焦点逆时针方向旋转 新顶点为90 1 2 1 2 开口向上 而焦点到顶点的距离不变 故得方程xy 1 2 2 1 2 2 8 k 4 9 的最小值即通径 2pAB 10 如图 设 知 则由 AA FAFAA 11 则由 AFABB F 11 设 知BFBB 1 BFB1 又 AAxBB 11 轴 A FKB FK 11 22180 9090 11 AFB A FB 即 用心 爱心 专心10 11 解 设 A B x1y1x2y2 xy xy 1 2 1 2 2 2 21 22 y x y x xx 1 1 2 2 12 1 2 1 xx 12 2 得 21 xxxxyy 212121 2 k1 lyx 1 12 解 设 P Q 是抛物线上关于直线对称的xy 11 xy 22 yax 2 1yx 2 两点 另设直线 PQ 的方程为 直线 yxb PQ yx 2 yxb yax axxb 2 2 1 10 一方面 直线 PQ 与抛物线有两个交点 则 1410a b 另一方面 由韦达定理 得 从而 PQ 中点 M 的横坐标为xx a 12 1 x xx a 0 12 2 1 2 M 在直线 PQ 上 点 M 的纵坐标为 yxb a b 00 1 2 又 M 在直线上 yx 2 1 2 1 2 2 a b a 由 消去 b 可得 1230 1 4 aa 13 解 设 A B 是抛物线 y ax2 1 上关于直线 l x y 0 的对称点 设 A x1 y1 B x2 y2 用心 爱心 专心11 bxyAB1klAB AB 的方程为 可设直线 yxb yax axxb 2 2 1 10 直线与抛物线相交于两点AB 14101a b 另外 设的中点 则xx a ABM xy 1200 1 x xx a yxb a