高二数学 椭圆（文）知识精讲 人教实验A版

用心 爱心 专心1 高二数学高二数学 椭圆 文 人教实验椭圆 文 人教实验 A A 版版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 椭圆 二 重点 难点 方程1 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 b x a y 长轴a2 短轴b2 焦点 c 0 0 c 关系 222 cba 顶点 0 a b 0 0 b a 0 准线 c a x 2 c a y 2 离心率 1 0 a c e 对称中心 0 0 对称轴x轴 y轴 典型例题典型例题 例1 求满足条件的椭圆方程 1 焦点为 0 3 0 3 离心率 3 1 e的椭圆 解 解 3 3 a c ec 9 a 26 22 cab 1 7281 22 yx 2 中心在原点 两准线间距离为5 焦距为4 15522 2 ba c a c 1 15 22 yx 或1 5 2 2 y x 用心 爱心 专心2 3 与椭圆1 49 22 yx 共焦点的且过M 3 2 5 1 49 22 22 ba ba 10 15 2 2 b a 1 1015 22 yx 4 中心在原点 焦点在x轴椭圆上点M 8 12 到左焦点距离为20 设左焦点0 0 1 ccF 222 2012 8 c 8 c 右焦点 2 F 8 0 3212202 21 MFMFa 192 16 ba 1 192256 22 yx 例2 研究直线mxy 与椭圆1 916 22 yx 的交点个数并求最大弦长 解 解 0 9 163225 1 916 22 22 mmxx mxy yx 25 964 2 m 5 5 m时无交点 5 m时 只有一个交点 5 5 m时有两个交点 21 2 2121 2 4 21xxxxxxkAB 25 9 25 8 2 2 2 2 m 0 m时 2 25 24 min AB 例3 已知椭圆1 416 22 yx M 1 1 在椭圆内求M为中点的椭圆的弦AB的直线方程 解 解 设A 11 y x B 22 y x 1 416 2 1 2 1 yx 1 416 2 2 2 2 yx 用心 爱心 专心3 相减0 4 16 21212121 yyyyxxxx M为AB中点 2 2 21 21 yy xx 代入 AB k xx yy 4 1 21 21 AB l 1 4 1 1 xy 054 yx 例4 P为椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上一点 不在x轴上 F1 F2为焦点 21PF F 求 21PF F S 解 解 2 21 2 2 2 1 42aPFPFPFPF 2 21 2 2 2 1 4cos2cPFPFPFPF 相减 2 21 4 cos1 2bPFPF cos1 2 2 21 b PFPF 2 tansin 2 1 2 21 21 bPFPFS FPF 例5 椭圆中心在坐标原点 焦点在x轴 直线1 xy交椭圆于M N 若OM ON且 2 10 MN 求椭圆方程 解 解 椭圆1 22 nymx交直线1 xy于M 11 y x N 22 y x 012 1 1 2 22 nnxxnm xy nymx nm n xx nm n xx 1 2 21 21 4 10 4 2 2 10 1 2 10 0 1 1 0 21 2 2121 2 21212121 xxxxxxkMN xxxxyyxxONOM 用心 爱心 专心4 解方程组 2 1 2 3 n m 舍 或 2 3 2 1 n m 1 3 2 2 22 yx 例6 P为椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 上异于顶点上任一点 B1P B2P交x轴于 M N B1B2为短轴顶点 求证ONOM 为定值 证 证 设P 00 y x M 0 m N 0 n 0 1 bB 0 2 bB P M B1三点共线 by bx mkk MBPB 0 0 11 P M B2三点共线 by bx nkk MBPB 0 0 22 2 22 0 2 0 2 a by xb mnONOM 例7 已知椭圆1 1040 22 yx 内一点M 4 1 过M作直线交椭圆于P Q M恰为PQ中点 A为椭圆上任一点 求 APQ S 的最大值 解 解 设P 11 y x Q 22 y x 8 21 xx 2 21 yy 1 1040 2 1 2 1 yx 1 1 1040 21 21 2 2 2 2 xx yy yx 05 yxlPQ 24 05 1 1040 22 PQ yx yx 用心 爱心 专心5 椭圆1 1040 22 yx 参数方程为 sin10 cos40 y x 设A sin10 cos40 5 sin 50 2 2 2 5sin10cos40 lAd 1 sin 5 2 5 5 max lMd 12 10 max S 例8 椭圆1 36100 22 yx 上有一点P 它到椭圆的左准线距离为10 求点P到椭圆的右焦点 的距离 解 解 椭圆1 36100 22 yx 的离心率为 5 4 e 根据椭圆的第二定义得 点P到椭圆的左 焦点距离为810 e 再根据椭圆的第一定义得 点P到椭圆的右焦点的距离为12820 例9 已知椭圆C的焦点F1 0 22 和F2 0 22 长轴长6 设直线2 xy交椭 圆C于A B两点 求线段AB的中点坐标 解 解 由已知条件得椭圆的焦点在x轴上 其中3 22 ac 从而1 b 所以其标 准方程是 1 9 2 2 y x 联立方程组 2 1 9 2 2 xy y x 消去y得 0273610 2 xx 设A 11 y x B 22 y x AB线段的中点为M 00 y x 那么 5 18 21 xx 5 9 2 21 0 xx x 所以 5 1 2 00 xy 用心 爱心 专心6 也就是说线段AB中点坐标为 5 1 5 9 如图 把椭圆1 1625 22 yx 的长轴AB分成8等份 过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上 半部分于P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7七个点 F是椭圆的一个焦点 则 FPFPFPFPFPFPFP 7654321 解 解 如图 把椭圆1 1625 22 yx 的长轴AB分成8等份 过每个分点作x轴的垂线交椭圆 的上半部分于P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7七个点 F1是椭圆的一个焦点 则根据椭圆的对 称性知 aFPFPFPFP2 21111711 同理其余两对的和也是a2 又aFP 14 FPFPFPFPFPFPFP 7654321 357 a 模拟试题模拟试题 答题时间 70分钟 1 椭圆1 925 22 yx 上一点P到一个焦点的距离为5 则P到另一个焦点的距离为 A 5 B 6 C 4 D 10 2 椭圆1 1213 22 yx 上任一点P到两个焦点的距离的和为 A 26 B 24 C 2 D 132 3 已知F1 F2是椭圆1 925 22 yx 的两个焦点 过F1的直线交椭圆于M N两点 则 2 MNF 周长为 A 10 B 16 C 20 D 32 4 椭圆的两个焦点分别是 0 8 1 F和 0 8 2 F 且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20 则此椭圆的标准方程为 A 1 1220 22 yx B 1 36400 22 yx C 1 36100 22 yx D 1 10036 22 yx 用心 爱心 专心7 5 椭圆1 4 22 y m x 的焦距是2 则m的值为 A 5或3 B 8 C 5 D 16 6 已知P是椭圆1 36100 22 yx 上的一点 若P到椭圆右准线的距离是 2 17 则P点到椭圆 左焦点的距离是 A 5 16 B 5 66 C 8 75 D 8 77 7 若焦点在x轴上的椭圆1 2 22 m yx 的离心率为 2 1 则m A 3 B 2 3 C 3 8 D 3 2 8 已知椭圆的中心在原点 焦点在x轴上 且长轴长为12 离心率为 3 1 则椭圆的方程 是 A 1 128144 22 yx B 1 2036 22 yx C 1 3632 22 yx D 1 3236 22 yx 9 设定点F1 3 0 F2 0 3 动点P满足条件 0 9 21 a a aPFPF 则点P 的轨迹是 A 椭圆 B 线段 C 不存在 D 椭圆或线段 10 若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍 则这个椭圆的离心率为 A 4 1 B 2 2 C 4 2 D 2 1 11 已知椭圆 5 1 25 2 2 2 a y a x 的两个焦点为 1 F 2 F 且8 21 FF 弦AB过点F1 则 2 ABF 的周长为 A 10 B 20 C 412 D 414 12 椭圆1 36100 22 yx 上的点P到它的左准线的距离是10 那么点P到它的右焦点的距离 是 A 15 B 12 C 10 D 8 用心 爱心 专心8 13 椭圆1 925 22 yx 的焦点 1 F 2 F P为椭圆上的一点 已知 21 PFPF 则 21PF F 的面积为 A 9 B 12 C 10 D 8 14 椭圆1 416 22 yx 上的点到直线022 yx的最大距离是 A 3 B 11 C 22 D 10 15 如果椭圆1 936 22 yx 的弦被点 4 2 平分 则这条弦所在的直线方程是 A 02 yx B 042 yx C 01232 yx D 082 yx 16 椭圆1 916 22 yx 的焦距是 焦点坐标为 17 焦点为 0 4 和 0 4 且过点 33 5 的椭圆方程是 18 与椭圆1 34 22 yx 具有相同的离心率且过点 2 3 的椭圆的标准方程是 19 离心率 3 5 e 一条准线为3 x的椭圆的标准方程是 20 已知椭圆E的短轴长为6 焦点F到长轴的一个端点的距离等于9 则椭圆E的离心率等 于 21 离心率 2 1 e 一个焦点是F 0 3 的椭圆标准方程为 22 两个焦点坐标分别是 0 4 4 0 椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10 写出椭圆的标准方程 23 已知椭圆的中心在坐标原点O 焦点在x轴上 椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边 形为正方形 两准线间的距离为4 求椭圆的方程 试题答案试题答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 A 6 B 7 B 8 D 9 D 10 D 11 D 12 D 13 B 14 A 15 D 用心 爱心 专心9 16 72 0 7 17 1 3620 22 yx 18 1 68 22 yx 1 25 4 25 3 22 xy 19 1 20 9 5 22