数形结合在初中数学解题中的应用

1 数形结合在初中数学解题中的应用 摘要 数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学 因而数学研究总是围绕 着数与形进行的 数学中两大研究对象 数 与 形 的矛盾统一是数学发展 的内在因素 数形结合是一个数学思想方法 包含 以形助数 和 以数辅形 两个方面 其应用大致可以分为两种情形 或者是借助形的生动和直观性来阐 明数之间的联系 即以形作为手段 数为目的 或者是借助于数的精确性和规 范严密性来阐明形的某些属性 即以数作为手段 形作为目的 数形结合的思想 其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来 关键是代数问题与图形之 间的相互转化 它可以使代数问题几何化 几何问题代数化 关键词 数学 数 形 数形结合 数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学 因而数学研究总是围绕着 数与形进行的 数学中两大研究对象 数 与 形 的矛盾统一是数学发展的 内在因素 波利亚说过 掌握数学就意味着要善于解题 数学思想方法是数学的 灵魂和精髓 是知识转化为能力的桥梁 是解题过程中劈山开路 披荆斩棘的 宝剑 是数学知识在更高层次上的抽象和概括 它蕴含于知识的发生 发展和 应用的过程中 初中数学新课程 标准 中 安排了 数与代数 空间与图形 统计与 概率 实践与综合 四个学习领域 在每一个学习领域 都离不开两要素 数与形 新课程 标准 把数学的精髓 数学思想纳入了基础知识范畴 数形结 合是一个数学思想方法 包含 以形助数 和 以数辅形 两个方面 其应用 大致可以分为两种情形 或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系 即以形作为手段 数为目的 或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形 的某些属性 即以数作为手段 形作为目的 数形结合的思想 其实质是将抽象 的数学语言与直观的图像结合起来 关键是代数问题与图形之间的相互转化 它可以使代数问题几何化 几何问题代数化 本文通过实例谈谈数形结合在解题中的应用 一 代数问题几何化 初中阶段学到的 数 包括有有理数 实数 方程 代数式 不等式 函数解折 式等 许多代数问题利用几何方法可以很容易的解决 然而由于代数关系比较抽 象 若能结合问题中代数关系赋予几何意义 那么往往就能借助直观形象对问 题做出透彻分析 从而探求出解决问题的途径 代数问题几何化是根据数的结构 2 P A B D C E 图 2 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 图 1 特征 借助数轴 借助函数图像 借助几何图形 借助数式的结构特征 借助 算法数学的流程图等造出与之相适应的几何图形 图象 并利用图形 图象 的特性和规律 解决有关数的问题 例 1 不等式组的解在数轴上表示为 210 420 x x A B C D 分析 先解每一个不等式 再根据结果判断数轴表示的正确方法 解 由不等式 得 2x 2 解得 x 1 由不等式 得 2x 4 解得 x 2 数轴表示的正确方法为 C 故选 C 例 2 计算 1111111 248163264128 分析 如图 1 构造面积为 1 的正方形 则由 图形可得 解 1127 1 128128 原式 例 3 若 x y 为正实数 且 x y 4 的最小值是多少 22 11xy 分析 若能考虑到分别是以 x 1 y 2 为直角边的直角三 22 11xy 角形斜边的长 那么上述问题就变成了求两条线段和的最值问题 解 如图 2 线段 AB 4 P 为 AB 上一动点 设 PA x PB y CA AB DB AB A B 为垂足 且 CA 1 BD 2 则 PC PD 易知当点 P C 22 11xy D 在同一条直线上时 PC PD 最小 作 CE 垂直 DB 的延长线于 E 易知 EC 4 ED 2 1 3 故 PC PD DC 5 22 34 故的最小值为 5 22 11xy 3 图 3 图 4 X乡 乡 200 X 乡 乡 240 X 乡 300 乡 240 X 乡 60 X乡 乡 260 乡 200 X乡 D乡 乡 260乡C乡 乡 240乡 B乡 乡 300乡 A乡 乡 200乡 例 4 求方程组的解的个数 310 210 xxy xy 分析 把两个方程分别变形为和 2 31yxx 21yx 则方程组的解的个数就变成了抛物线和直线的交点 个数了 解 函数与函数的图像如图 2 31yxx 21yx 3 根据图像的交点个数就可以判定方程组的解的个数为 2 例 5 A 城有肥料 200 吨 B 城有肥料 300 吨 现要把这些肥料全部运往 C D 两乡 从 A 城往 C D 两乡运肥料的费用分别为每吨 20 元和 25 元 从 B 城往 C D 两乡运肥料的费用分别为每吨 15 元和 24 元 现 C 乡需要肥料 240 吨 D 乡需要肥料 260 吨 怎样调动总运费最少 分析 此题涉及到的已知数据较多 学生容易张冠李戴 造成数据上的混 乱 借助如图 4 进行处理 就可避免这一点 解 设由 A 城运往 C 乡肥料 x 吨 则运往 D 乡 200 x 吨 从 B 城运 往 C 乡 240 x 吨 运往 D 乡 60 x 吨 总运费为 y 元 依题意得 y 20 x 25 200 x 15 240 x 24 x 60 4x 10040 0200 x 由于一次函数的值是随着 x 的增大而增大 所以当 x 0 时 y 的值最小 此时 y 10040 元 所以 从 A 城运往 C 乡 0 吨 运往 D 乡 200 吨 从 B 城运往 C 乡 240 吨 运往 D 乡 60 吨时运费最少 最少运费是 10040 元 例 6 已知函数 若使 y k 成立的 x 值恰好有三个 则 k 的 2 2 11 51 x y x 值为 A 0 B 1 C 2 D 3 4 分析 利用二次函数的图象解决交点 在坐标系中画出已知函数 的图象 利用数形结合的方法即可找到使 y k 成立的 x 值恰好有 2 2 11 51 x y x 三个的 k 值 解 函数的图象如图 5 2 2 11 51 x y x 根据图象知道当 y 3 时 对应成立的 x 有 恰好有三个 k 3 故选 D 对于代数问题 往往借助几何图形 靠图 形直观来 支持 抽象的思维过程 数与形在 一定条件下是可以互相转化的 由数化形是根据数的结构特征 造出与之相适 应的几何图形 图象 并利用图形 图象 的特性和规律 借助几何图形可以 使代数问题更简单 更直观 数形结合是寻找解决问题途径的 种思维方法 二 几何问题代数化 初中阶段学到的 形 可以是点线 面 角 三角形 四边形 圆等 更多 的 形 体现在函数图象方面 几何问题代数化是将图形信息部分或全部转换成 代数信息 削弱或清除图形的推理部分 使要解决的形的问题转化为对数量关 系的讨论 借用代数方法解决 解题方法就易于寻找 解题过程也变得比较简便 因为 几何题显然由形较直观 但若遇到已知和结论之间相距较远的问题 解题途径 常常不易找到 因而用代数方法解题 思 维就比较明确 有规律 因此也就容易找 到解题方法 例 7 如图 6 已知电线杆 AB 垂直于地面 它 的影子恰好在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上 如 果 CD 与地面成 45 角 A 60 CD 4m BC m 求电线杆 AB 的长 4 62 2 分析 设法将 AB 转化到直角三角形中 去解 解 延长 AD 交地面于 E 过 D 作 DF CE 垂足为 F oo o o DCF 45A 60CD 4m CF DF 2 2 mEF DF tan60 2 6 m AB3 tan30 BE3 33 AB BE 4 6 2 2 2 2 2 6 6 2 m 33 又 图 5 FE D CB A 图 6 5 KH ED CB A 图 8 例 8 如图 7 正方形 OPQR 内接于 ABC 已知 AOR BOP CRQ 的面积分别是 S1 1 S2 3 S3 1 求正 方形 OPQR 的边长 分析 正方形 OPQR 的边 OR 与 ABC 的边 BC 平行 OP RQ 都与 BC 边上的高 AD 平行 这都可以构成相似三角形 从而 用比例来解题 但是本题利用面积列方程 会更加简单点 解 设正方形 OPQR 的边长为 x 作 ABC 的 BC 边上的高 AD 交 OR 于 F 在 Rt AOR 中 由 S1 1 OR x 得 AF 2 x 同理 BP QC 6 x 2 x 由 S ABC S1 S2 S3 S正方形 OPQR 得 2 1 622 1 3 1 2 2 xxx xxx x 例 9 如图 8 点 C 为 AB 的中点 以 BC 为一边作正方形 BCDE 以 BD 为半径 点 B 为圆心作圆 与 AB 及其延长线相交于 H K 求证 AH AK 2AC2 分析 本题用几何方法当然可以证明 但是比较 麻烦 若把它转化成代数问题来解决 就显得简捷了 证明 设 BC x 则 AC BC x BD x2 AH 2x x AK 2x x 22 AK AK 2x x 2x x 2x2 2AC 22 例 10 已知 三角形三边长 a b c 满足 222 0abcabbcac 试确定三角形的形状 分析 本题通过因式分解 利用完全平方式即可解决 解 222 0abcabbcac 222 2222220abcabbcac 222 0abbcac a b b c c a 即 a b c 此三角形是等边三角形 例 11 如图 9 已知平行四边形 ABCD AB a BC b a b P 为 AB 边上的一 S3 S2 S1 R QP F O D CB A 图 7 6 Q P D C B A 图 9 动点 直线 DP 交 CB 的延长线于 Q 求 AP BQ 的最小值 分析 设 AP x 把 AP BQ 分别用 x 的代数式表示 即可用不等式 当且仅当 a b 时取等号 来求最小值 22 22abababab 或 解 设 AP x 2 2 PBQPAD BQPB BQax ADPAbx ab BQb x abab APBQxbxb xx abb 当且仅当 即时 AP BQ 取最小值 ab x x 2 xab xab 2 abb 例 12 如图 10 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 P 且 PA 5 PB 1 O 求弦 CD 的长 o APC 60 分析 根据图形的特点 把有关数据集中到直角三角形中 借助勾股定理或三 角函数 把几何计算转化为代数运算 解 过点 O 作于点 E 则 CE ED 连接 OC OECD PA 5 PB 1 AB 5 1 6 且 OC 3 2 AB OP 3 1 2 2 AB PB 在 OE OP sin60o Rt OPE 中3 在 2 22 336Rt OCECEOCOE 中 CD 2CE 2 6 对于几何问题 利用数理的严谨性 利用数轴 坐标系 不等式 面积 距离 角度 勾股定理 三角函数 线段比例等把几何问题转化成代数问题 通 过观察图形或绘制 挖掘图形中蕴含的数量关系 用代数的方法达到几何计算和 证明的目的 三 结束语 仅有数的分析或形的直观都不易单独解决的问题 数形结合既具有数学学科 的鲜明特点 又是数学研究的常用方法 数形结合是解决具体问题的 向导 数 形结合作为一种思维策略 常可以作为寻求解法的一个思路 或在思路受阻时 寻求出路的突破口 数形结合最大的特点就是模型化 直观化 几何方法具有直 观 形象的优势 用简单直观的图形代替冗长的代数推理 代数方法具有解答过 E O P D C BA 图 10 7 程严密 规范 思路清晰 避呆板单调解法之短 数与形在内容上互相联系 方法上互相渗透 在一定条件下互相转化 数形结合是数学中基本而又重要的 思想 是解答数学题的的一种常用方法与技巧 数学家华罗庚曾指出 数缺形 时少直观 形少数时难入微 数形结合百般好 隔裂分家万事非 可见数形结 合能扬数之