高中数学《立体几何初步》单元小结导航 学案1 新人教B版必修2

用心 爱心 专心1 第一章第一章 立体几何初步立体几何初步 单元小结导航单元小结导航 知识链接知识链接 点击考点点击考点 1 1 了解柱 锥 台 球及简单组合体的结构特征 2 2 能画出简单空间图形的三视图 能识别三视图所表示的立体模型 并会用斜二测法画出它们的直观图 3 3 通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图 了解空间图形的不同表示形式 4 4 理解柱 锥 台 球的表面积及体积公式 5 5 理解平面的基本性质及确定平面的条件 6 6 掌握空间直线与直线 直线与平面 平面与平面平行的判定及性质 7 7 掌握空间直线与平面 平面与平面垂直的判定及性质 名师导航名师导航 空间几 何体 构成几何体的基本元 素 平行投影与中心投 影 直观图和三视图的画 法 柱 锥 台 球 的结构特征 柱 锥 台 球的表面积 和体积 点 线 面 之间的位置 关系 平面的基本性质确定平面的条 件 空间中的平行关 系 空间平行直线及其传递 性 直线与平面平行的判定及性 质 平面与平面平行的判定及性 质 空间中的垂直关 系 直线与平面垂直的判定及性 质 平面与平面垂直的判定及性 质 用心 爱心 专心2 1 学习方法指导学习方法指导 1 空间几何体 空间图形直观描述了空间形体的特征 我们一般用斜二测画法来画空间图 形的直观图 空间图形可以看作点的集合 用符号语言表述点 线 面的位置关系时 经常用到集合的有关符号 要注意文字语言 符号语言 图形语言的相互转化 柱 锥 台 球是简单的几何体 同学们可用列表的方法对它们的定义 性质 表面积及体积进行归纳整理 对于一个正棱台 当上底面扩展为下底面的全等形时 就变为一个直棱柱 当上底面收缩为中心点时 就变为一个正棱锥 由和 1 2 Scc h 正棱台侧 就可看出它们的侧面积与体积公式的联系 3 h Vssss 正棱台 2 2 点 线 面之间的位置关系 确定平面 是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件 这种转化最基本的就是三个公理 空间中平行关系之间的转化 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 空间中垂直关系之间的转化 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 2 思想方法小结思想方法小结 在本章中需要用到的数学思想方法有 观察法 数形结合思想 化归与 转化思想等 主要是立体几何问题转化为平面几何问题 平行与垂直的相互转 化等 3 3 综合例题分析综合例题分析 例例 1 1 如 如图 P 是ABC 所在平面外一点 分别是 A B C PBC 的重心 PCA PAB 1 求证 平面平面 ABC PA B C A 2 求 A B C S AABC SA 证明证明 1 连结 设 PA PB PC PABCD 则 D E F 分PBACE PCABF 别是 BC AC AB 的中点 且 B C C A A 2 3 PAPBPC PDPEPF B B 所所以 A BDE A A CDF AA BABC 平面A CABC 平面 且 DEABC 平面DFABC 平面 用心 爱心 专心3 所以 A BABC A平面A CABC A平面 从而 平面平面 ABC A B C A 2 由平面几何知识有 1 4 DEF ABC S S A A 4 9 A B C DEF S S A 所以 1 9 A B C ABC S S A 点评点评 1 由由线线平行 线面平行 面面平行 是证明平行问题的常用方法 2 灵活运用平面几何知识是解决本题的关键 例例 2 试证 试证 正四面体内任意一点到各面距离之和等于这个正四面体的高 分析分析 如图 设 P 为正四面体 ABCD 内任一点 AO 为正四面体A 的高 点 P 到各面的距离分别为 则P P 1234 d dd d B BD D C C P ACDP ABDP BCD ABCDP ABC VVVVV 即即 1234 11111 33333 BCDABCACDABDBCD SAOSdSdSdSd AAAAA 正四面体各面是全等的正三角形 1234 11 33 BCDBCD SAOSdddd AA 1234 ddddAO 点评 点评 多面体问题常用技巧有 割 补 等积变换 等 利用这些技巧可使 问题化繁为易 例例 3 3 圆台的内切球半径为 R 且圆台的全面积和球面积之比为 求圆台的 21 8 上 下底面半径 12 r r 12 rr 解 解 如图 设圆台母线为 则 由平面几何知识得 l 12 lrr 即 222 2112 2 Rrrrr 2 1 2 Rrr 用心 爱心 专心4 又 22222 12121212 Srr lrrrrrr 圆台全 2 1 2 44SRrr 球 由题意得 222 1212 1 2 21 48 rrrr rr 即 22 11 22 41740rrrr 代入 得 21 4rr 2 1 2 Rrr 1 2 R r 2 2rR 点评点评 1 解组合体的关键是注意选择合适的角度画出示意图 通过交点 交线来研究问题 正确作出截面 把复杂问题转化为熟悉的 较 常见的问题 2 轴截面在解决旋转体问题中 有着相当重要的作用 例例 4 4 已知三棱锥中 平面 ABCD 90BCD 1BCCD ABBCD 60ADB 分别是上的动点 且 E F AC AD 01 AEAF ACAD 求证 不论为何值 总有平面 平面 BEF ABC 当为何值时 平面 平面 BEFACD 证 平面 AB BCDABCD 且 平面CDBC ABBCB CD ABC 又 AEAF ACAD 01 不论为何值 恒有 平面 平面 EFCDEF ABCEF BEF 不论为何值恒有平面 平面 BEFABC 由 知 又要平面平面 BEEF BEF ACD 平面 BE ACDBEAC 1BCCD 90BCD 60ADB 2 2 tan606BDAB 由得 22 7ACABBC 2 ABAE AC 6 7 AE 6 7 AE AC 用心 爱心 专心5 故当时 平面平面 7 6 BEF ACD 点评 点评 证明垂直和平行一样 要注意线面与面面的转化及立几与平几的转化 误区莫入误区莫入 1 1 几何中的平面是没有厚度且可以无限延展 因此 用平行四边形表 示平面时 必要时可以把它延展开来