（三管齐下）贵州省2014届高三数学 复习试题 77 证明不等式的基本方法 理（含解析）新人教A版

1 7777 不等式选讲不等式选讲 二二 证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法 导学目标 1 了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩 法 2 会用比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法证明比较简单的不等式 自主梳理 1 三个正数的算术 几何平均不等式 如果a b c 0 那么 当且仅当a b c时等号成立 2 基本不等式 基本不等式的推广 对于n个正数a1 a2 an 它们的算术平均 不小于它们的几何平均 即 当且仅当 a1 a2 an n n a1 a2 an 时等号成立 3 二维形式的柯西不等式及推论 若a b c d都是实数 则 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 当且仅当ad bc时等号成立 ac bd 当且仅当 a2 b2c2 d2 ad bc时等号成立 ac bd 当且仅当 时等号成 a2 b2c2 d2 立 4 证明不等式的常用五种方法 1 比较法 比较法是证明不等式最基本的方法 具体有作差比较和作商比较两种 其 基本思想是 与 0 比较大小或 与 1 比较大小 2 综合法 从已知条件出发 利用定义 性质等 经过一系列的推 理 论证而得出命题成立 这种证明方法叫综合法 也叫顺推证法或由因导果法 3 分析法 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的 条件 直至所需条件 为已知条件或一个明显成立的事实 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证 的命题成立为止 这种证明方法叫分析法 也叫逆推证法或执果索因法 4 反证法 反证法的定义 先假设要证的命题不成立 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛 盾的结论 以说明假设不正确 从而证明原命题成立 我们把它称为反证法 反证法的特点 先假设原命题不成立 再在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与已知条件矛盾 或与假设矛盾 或与定义 公理 定理 事实等矛盾 5 放缩法 定义 证明不等式时 通过把不等式中的某些部分的值 或 简化 不等式 从而达到证明的目的 我们把这种方法称为放缩法 思路 分析观察证明式的特点 适当放大或缩小是证题关键 自我检测 1 已知M a2 b2 N ab a b 1 则M N的大小关系为 A M N B Mb 0 p q 那么 aba b A p q B p q C pQ 4 已知a b 0 n N 则使不等式a2 n 成立的n的最大值为 4 b2 ab 2 A 4 B 8 C 10 D 16 5 2011 南阳月考 已知a b c 0 且a b c 设M N 则 a 4 a b 4 b c 4 c M与N的大小关系是 探究点一 比较法证明不等式 例 1 已知a 0 b 0 求证 a b b aab 变式迁移 1 2011 福建 设不等式 2x 1 b 0 求证 0 求证 a 2 a2 1 a22 1 a 转化与化归思想的应用 例 10 分 已知f x x2 px q 求证 1 f 1 f 3 2f 2 2 2 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 1 2 多角度审题 已知f x 要证f 1 f 3 2f 2 2 只须化简左边式子 看是怎样 的形式 然后才能视情况而定如何证明 求证 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小 于 包括 1 2 f 1 f 2 f 3 中有一个大于等于 其余两个小于 三个中有 2 个大于等 1 2 1 2 于 另一个小于 三个都大于等于 如果从正面证明 将有 7 种情况需要证明 非常繁 1 2 1 2 1 2 杂 可考虑用反证法证明 答题模板 证明 1 f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 2 4 2p q 2 2 分 2 假设 f 1 f 2 f 3 都小于 1 2 则 f 1 2 f 2 f 3 2 2 将分子或 a 1 2 3 4 a 1 2 分母放大 缩小 如 1 k2 1 k k 1 1 k2 1 k k 1 1 k 2 k k 1 1 k 2 k k 1 k N 且k 1 等 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2011 烟台月考 已知a b m R 且a b 则 A a b a m b m B a b a m b m C a b a m b m D 与间的大小不能确定 a b a m b m 2 2010 黄冈期中 设a b R 且a b a b 2 则必有 A ab 1 B ab 1 a2 b2 2 a2 b2 2 C ab 1 D 1 ab a2 b2 2 a2 b2 2 3 设a R 且a 0 以下四个式子中恒大于 1 的个数是 a3 1 a2 2a 2 a a2 1 a 1 a2 5 A 1 B 2 C 3 D 4 4 2011 保定调研 在下列不等式中 一定成立的是 A 48aabba C a3 a2 a 1 D m20 y 0 lg 2x lg 8x lg 2 则 的最小值为 1 x 1 3y 7 设x a2b2 5 y 2ab a2 4a 若x y 则实数a b应满足的条件为 三 解答题 共 43 分 8 10 分 已知x y z均为正数 求证 x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z 9 10 分 2011 包头模拟 已知正数a b c满足a b 2c 求证 c a x y z x2 xy y2y2 yz z2z2 zx x2 3 2 77 不等式选讲 二 证明不等式的基本方法 自主梳理 1 2 a1 a2 an 3 ad bc且abcd 0 4 1 差 商 2 公理 a b c 3 3 abc 定理 3 充分 5 放大 缩小 自我检测 1 C M N a2 b2 ab a b 1 2a2 2b2 2ab 2a 2b 2 1 2 a2 2ab b2 a2 2a 1 b2 2b 1 1 2 a b 2 a 1 2 b 1 2 0 当且仅当a b 1 时 成立 M N 1 2 2 A p2 q2 a b 2 a b ab 2 0 p q bba 3 C Q ax cy b x d y ax cy b x d y ab cd bcy x adx y P P Q ab cd 2abcdabcd 4 B n a2 b a b 2 0 4 b a b a2 4 a 2 b a2 a2 2 8 a 2 b 1 时取 4 b a b 16 a2 a2 16 a2 7 即a2 的最小值为 8 nmax 8 4 b a b 5 M N 解析 a b c 0 且a b c M a 4 a b 4 b a 4 a b b 4 b a a b 4 a b 设f x x 0 f x 0 x 4 x 4 x x 4 x 2 4 4 x 2 即f x 在 0 上为增函数 f a b f c 即 M N a b 4 a b c 4 c 课堂活动区 例 1 解题导引 不等式左 右两边是多项式形式 可用作差或作商比较法 也可用 分析法 综合法 证明 a b b aab a 3 b 3 a b ab ab a b a b 2 ab 又 0 0 2 0 ababab 0 故 a b b aab a b b aab 变式迁移 1 解 1 由 2x 1 1 得 1 2x 1 1 解得 0 x 1 所以M x 0 x 1 2 由 1 和a b M可知 0 a 1 0 b0 故ab 1 a b 例 2 解题导引 本例不等式中的a b c具有同等的地位 证明此类型不等式往往 需要通过系数的变化 利用基本不等式进行放缩 得到要证明的结论 证明 a b c均为正数 1 2 1 2a 1 2b 1 2ab 1 a b 当且仅当a b时等号成立 同理 1 2 1 2b 1 2c 1 2bc 1 b c 当且仅当b c时等号成立 1 2 1 2c 1 2a 1 2ca 1 c a 当且仅当a c时等号成立 三个不等式相加即得 1 2a 1 2b 1 2c 1 b c 1 c a 1 a b 当且仅当a b c时等号成立 变式迁移 2 证明 x是正实数 由基本不等式知 x 1 2 1 x2 2x x3 1 2 xx3 故 x 1 x2 1 x3 1 2 2x 2 8x3 xx3 当且仅当x 1 时等号成立 8 例 3 解题导引 当要证的不等式较复杂 已知条件信息量太少 已知与待证间的联 系不明显时 一般可采用分析法 分析法是步步寻求不等式成立的充分条件 而实际操作 时往往是先从要证的不等式出发 寻找使不等式成立的必要条件 再考虑这个必要条件是 否充分 这种 逆求 过程能培养学生的发散思维能力 也是分析问题 解决问题时常用 的思考方法 证明 欲证 a b 2 8a a b 2ab a b 2 8b 只需证 b 0 只需证 a b 2 2a a b 2 a b 2 2b 即 1 欲证 1 a b 2a a b 2b a b 2a 只需证 2 即 该式显然成立 ababa 欲证 1 a b 2b 只需证 2 即 该式显然成立 babba 1 成立 且以上各步均可逆 a b 2a a b 2b 0 只须证 2 2 a2 1 a2 2 a 1 a 2 从而只要证 2 a2 1 a22 a 1 a 只要证 4 2 a2 1 a2 a2 2 1 a2 即a2 2 而上述不等式显然成立 故原不等式成立 1 a2 课后练习区 1 A 0 a b a m b m ab am ab bm b b m m a b b b m a b a m b m 2 C 当a 0 b 0 时 2 a b 2 0 ab 1 ab 当ab 0 时 ab 1 又 a b 2 a2 b2 2ab2 1 又a b 选 C a2 b2 2 3 A 只有a2 2 1 故选 A 1 a2 4 D 取a b 1 显然有 4 44 48a 84b 4 8 9 4 16 1 48 84 A 不成立 1 2 a b a b aabb abba a b b a a b 当a b 0 时 a b 1 a b B 不一定成立 a3 a2 a 1 a 1 a2 1 当a 1 时 C 不成立 2 7 2 5210 2 2 2 7 2 1 2 3 312 又m2 m2 1 52 1 2 3 m2y 得a2b2 5 2ab a2 4a ab 1 2 a 2 2 0 所以有ab 1 或a 2 8 证明 因为x y z均为正数 所以 x yz y zx 1 z x y y x 2 z 同理可得 5 分 y zx z xy 2 x z xy x yz 2 y 当且仅当x y z时 以上三式等号都成立 将上述三个不等式两边分别相加 并除 以 2 得 10 分 x yz y zx z xy