数列的概念与简单表示法(二)

第 1 页 数列的概念与简单表示法 二 学习目标 1 理解数列的几种表示方法 能从函数的观点研究数列 2 理解递推公式的含义 能根据递推公式求出数列的前几项 知识点一 数列的函数性质 1 数列可以看成以正整数集 N 或它的有限子集 1 2 n 为定义域的函数 an f n 当 自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 2 在数列 an 中 若 an 1 an 则 an 是递增数列 若 an 1 an 则 an 为递减数列 若 an 1 an 则 an 为常数列 思考 1 从定义上看 数列是特殊的函数 因此 表示数列除可以用通项公式外 还可以有 哪些方法 答案 还可以用列表法 图象法 思考 2 数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么 答案 联系 若函数 f x 在 1 上单调 则数列 f n 也单调 反之不正确 例如 f x x 2 数列 f n 单调递增 但函数 f x 在 1 上不是单调递增 5 4 区别 二者定义不同 函数单调性的定义 函数 f x 的定义域为 D 设 D I 对任意 x1 x2 I 当 x1f x2 则 f x 在 I 上单调递减 若 f x1 0 f 2 3 0 f 3 an 当 n 3 n N 时 an 1 an 即 a1 a2a4 a5 数列 an 的前 3 项是递增的 从第 3 项往后是递减的 第 3 页 跟踪训练 1 求例题中的数列 an 的最大项 解 a1 a2a4 a5 数列 an 的最大项为 a3 1 6 题型二 递推公式的应用 例 2 1 已知数列 an 满足 anan 1 an 1 1 n且 a1 1 则等于 a5 a3 A B C D 16 15 4 3 8 15 8 3 2 已知数列 an 分别满足 a1 1 an 1 通过它的前 5 项 归纳得出数列的一个通项 2an an 2 公式是 答案 1 B 2 an n N 2 n 1 解析 1 由 a1 1 知 a2a1 a1 1 2 得 a2 2 由 a3a2 a2 1 3 得 a3 1 2 同理得 a4 3 a5 故 选 B 2 3 a5 a3 2 3 1 2 4 3 2 a1 1 a2 a3 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 3 2 3 2 1 2 2 4 a4 a5 2 1 2 1 2 2 2 5 2 2 5 2 5 2 1 3 2 6 故数列的一个通项公式为 an n N 2 n 1 第 4 页 跟踪训练 2 数列 an 满足 a1 1 an 1 2anan 1 an 0 1 写出数列的前 5 项 2 由 1 写出数列 an 的一个通项公式 解 1 由已知可得 a1 1 a2 a3 a4 a5 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 2 由 1 可得数列的每一项的分子均为 1 分母分别为 1 3 5 7 9 所以它的一个通项公式 为 an 1 2n 1 题型三 由递推公式求通项公式 例 3 1 在数列 an 中 a1 2 an 1 an ln 1 求 an 1 n 2 已知数列 an 中 a1 1 且 an 1 2an n N 写出前 3 项 猜想 an并加以证明 解 1 由题意得 an 1 an ln n 1 n an an 1 ln n 2 n n 1 an 1 an 2 ln n 1 n 2 a2 a1 ln 2 1 当 n 2 时 an a1 ln ln n n n 1 n 1 n 2 2 1 an 2 ln n n 2 当 n 1 时 a1 2 ln 1 2 符合上式 an 2 ln n n N 第 5 页 2 a1 1 20 a2 2a1 21 a3 2a2 22 猜想 an 2n 1 n N 证明如下 由题意得 an 2an 1 n 2 a1 1 0 an 0 2 2 2 an an 1 an 1 an 2 a2 a1 2n 1 n 2 an an 1 an 1 an 2 a2 a1 2n 1 an 2n 1 n 2 an a1 当 n 1 时 a1 21 1 20 1 符合上式 an 2n 1 n N 跟踪训练 3 已知数列 an 中 a1 1 则数列 an 的通项公式是 an 1 an 1 2 A an 2n B an 1 2n C an D an 1 2n 1 1 2n 答案 C 解析 an 1 an 1 2 当 n 2 时 an an 1 1 2 an 1 an 2 1 2 an 2 an 3 1 2 a2 a1 1 2 n 1 an an 1 an 1 an 2 an 2 an 3 a2 a1 1 2 第 6 页 an a1 n 1 n 1 n 2 1 2 1 2 当 n 1 时 a1 1 1 0 1 符合上式 1 2 1 2 an n 1 1 2 忽略 n 的正整数范围致误 例 4 求数列 2n2 29n 3 中的最大项 错解 由已知 得 an 2n2 29n 3 2 n 2 108 29 4 1 8 数列 2n2 29n 3 中的最大项为 108 1 8 正解 由已知 得 an 2n2 29n 3 2 n 2 108 29 4 1 8 由于 n N 故当 n 取距离最近的正整数 7 时 an取得最大值 108 29 4 数列 2n2 29n 3 中的最大项为 a7 108 第 7 页 1 下列四个命题 如果已知一个数列的递推公式及其首项 那么可以写出这个数列的任何一项 数列 的通项公式是 an 2 3 3 4 4 5 5 6 n n 1 数列的图象是一群孤立的点 数列 1 1 1 1 与数列 1 1 1 1 是同一数列 其中真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 2 数列 2 4 6 8 10 的递推公式是 A an an 1 2 n 2 B an 2an 1 n 2 C a1 2 an an 1 2 n 2 D a1 2 an 2an 1 n 2 3 数列 xn 中 若 x1 1 xn 1 1 则 x2 017等于 1 xn 1 A 1 B C D 1 1 2 1 2 4 数列 an 中 an 则该数列前 100 项中的最大项与最小项分别是 n 2 011 n 2 012 A a1 a50 B a1 a44 C a45 a44 D a45 a50 5 已知数列 an 满足 a1 1 an an 1 2 n 2 则数列的通项 an等于 A 2n 1 B 2n C 2n 1 D 2 n 1 第 8 页 6 已知数列 an 对于任意的 p q N 都有 ap aq ap q 若 a1 则 a36 1 9 一 选择题 1 已知数列 an 满足 a1 0 2an 1 an 则数列 an 是 A 递增数列 B 递减数列 C 常数列 D 摆动数列 2 在数列 1 1 2 3 5 8 x 21 34 55 中 x 的值为 A 10 B 11 C 12 D 13 3 已知数列 an 满足 a1 2 an 1 an 1 0 n N 则此数列的通项 an等于 A n2 1 B n 1 C 1 n D 3 n 4 已知数列 an 中的首项 a1 1 且满足 an 1 an 此数列的第 3 项是 1 2 1 2n A 1 B C D 1 2 3 4 5 8 5 已知数列 xn 满足 x1 a x2 b xn 1 xn xn 1 n 2 设 Sn x1 x2 xn 则下列 结论正确的是 A x100 a S100 2b a B x100 b S100 2b a C x100 b S100 b a D x100 a S100 b a 6 已知数列 an 中 a1 1 an 1 2an 1 则数列 an 的一个通项公式为 A an n B an n 1 第 9 页 C an 2n D an 2n 1 7 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 Error 则其前 6 项之和是 A 16 B 20 C 33 D 120 8 数列 an 中 a1 2 an 1 则 a2 016等于 an an 1 A B C D 1 1 003 2 4 031 2 4 033 2 017 2 016 二 填空题 9 数列 an 中 a1 2 an an 1 3 则 14 是 an 的第 项 10 数列 an 中 a1 2 an 2an 1 n N 2 n 10 则数列 an 的最大项为 11 根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律 试猜测第 n 个图中有 个点 三 解答题 12 设 f x 是定义在实数集 R 上的函数 且满足 f x 2 f x 1 f x 对数列 f n n N 若 f 1 lg f 2 lg 15 求 f 2 016 3 2 第 10 页 13 已知数列 an 中 a1 1 求数列 an 的通项公式 1 an 1 1 an 1 2 当堂检测答案 1 答案 A 解析 只有 正确 中 如已知 an 2 an 1 an a1 1 无法写出除首项外的其他项 中 an 中 1 和 1 排列的顺序不同 即二 n 1 n 2 者不是同一数列 2 答案 C 解析 A B 中没有说明某一项 无法递推 D 中 a1 2 a2 4 a3 8 不合题意 第 11 页 3 答案 D 解析 x1 1 x2 x3 1 1 2 数列 xn 的周期为 2 x2 017 x1 1 4 答案 C 解析 an 1 n 2 011 n 2 012 2 012 2 011 n 2 012 当 n 1 44 且 n N 时 an 单调递减 当 n 45 且 n N 时 an 单调递减 结合函数 f x 的图象 2 012 2 011 x 2 012 可知 an max a45 an min a44 5 答案 C 解析 当 n 2 时 an an 1 2 an an 1 an 1 an 2 a3 a2 a2 a1 2 2 2 n 1 2 n 1 个 an 2n 1 当 n 1 时 an 1 适合上式 an 2n 1 n N 6 答案 4 解析 由已知得 a1 a1 a1 1 a2 a2 2 9 同理 a4 a8 4 9 8 9 a9 a8 1 a8 a1 1 8 9 1 9 a36 2a18 4a9 4 第 12 页 课时精练 一 选择题 1 答案 B 解析 a1 0 an 1 an 1 2 an 0 1 an 1 an 1 2 an 11 an an 1 an an 1 即 an 单调递增 an 的最大项为 a10 2a9 4a8 29 a1 29 2 210 1 024 11 答案 n2 n 1 解析 设第 n 个图中有 an个点 第 14 页 则 a1 0 1 1 1 a2 1 2 1 3 a3 2 3 1 7 a4 3 4 1 13 a5 4 5 1 21 归纳出 an n n 1 1 n2 n 1 三 解答题 12 解 f 3 f 2 f 1 lg 15 lg lg 10 1 3 2 f 4 f 3 f 2 1 lg 15 lg 2 3 f 5 f 4 f 3 lg 1 lg 2 3 1 15 f 6 f 5 f 4 lg lg lg 1 1 15 2 3 1 10 f 7 f 6 f 5 1 lg 1 lg 15 lg f 1 1 15