排列组合方法总结

排列组合方法总结 新导航用 1 特殊元素 特殊位置 优先法 在排列 组合问题中 如果某些元素或位置有特殊要求 则一般需要优先满足要求 例 有例 有 0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 可以组成没有重复的五位奇数的个数为 可以组成没有重复的五位奇数的个数为 解析 五位奇数的末尾必须是奇数 还有首位不能为 0 都应该优先安排 以免不合要求 的元素占了这两个位置 先安排末位共有 然后排首位共计有 最后排其他位置共 1 3 C 1 4 C 计有 由分步计数原理得 3 4 A 288 3 4 1 4 1 3 ACC 2 相邻问题 捆绑法 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组 当作一个大元素参与排列 例 例 五人并排站成一排 如果五人并排站成一排 如果必须相邻且必须相邻且在在的右边 那么不同的排的右边 那么不同的排 A B C D E A BBA 法种数有 法种数有 解析 把视为一人 且固定在的右边 则本题相当于 4 人的全排列 种 A BBA 4 4 24A 3 相离问题 插空法 元素相离 即不相邻 问题 可先把无位置要求的几个元素全排列 再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端 例 七人并排站成一行 如果甲乙两人必须不相邻 那么不同的排法种数有 例 七人并排站成一行 如果甲乙两人必须不相邻 那么不同的排法种数有 解析 除甲乙外 其余 5 个排列数为种 再用甲乙去插 6 个空位有种 不同的排法 5 5 A 2 6 A 种数是种 52 56 3600A A 4 选排问题 先选后排法 从几类元素中取出符合题意的几个元素 再安排到一定的位置上 可用先选后排法 例 四个不同球放入编号为例 四个不同球放入编号为 1 1 2 2 3 3 4 4 的四个盒中 则恰有一个空盒的放法有多少种 的四个盒中 则恰有一个空盒的放法有多少种 解析 先取 四个球中选两个为一组 捆绑法 其余两个球各自为一组的方法有种 再 2 4 C 排 在四个盒中每次排 3 个有种 故共有种 3 4 A 23 44 144C A 5 相同元素分配问题 隔板法 将 n 个相同的元素分成 m 份 m n 均为正整数 每份至少一个元素 可以用 m 1 块隔板 插入 n 个元素排成一排的 n 1 个空隙中 所有分法数为 1 1 m n C 例 例 1 1 1010 个三好生名额分到个三好生名额分到 7 7 个班级 每个班级至少一个名额 有多少种不同分配方个班级 每个班级至少一个名额 有多少种不同分配方 案 案 解析 10 个名额分到 7 个班级 就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆 每堆至 少一个 可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板 每一种插法对应着一种分配方案 故共有不同的分配方案为为种 6 9 84C 如果你希望成功 以恒心如果你希望成功 以恒心为为良友 以良友 以经验为经验为参参谋谋 以小心 以小心为为兄弟 以希望兄弟 以希望为为哨兵哨兵 2 2 5 5 本不同的书 全部分给本不同的书 全部分给 4 4 个学生 每个学生至少一本 不同的分法种数为 个学生 每个学生至少一本 不同的分法种数为 解析 一 用先选后排法 6 平均分组问题 消序法 平均分成的组 不管他们的顺序如何 都是一种情况 所以分组后一定要消除顺序 除 以 n 为均分的组数 避免重复计数 n n A 例 例 6 本不同的书平均分成本不同的书平均分成 3 组 每堆组 每堆 2 本的分法数有 本的分法数有 种 种 解析 分三步取书得中分法 但是这里出现重复计数的现象 除去重复计数 2 2 4 4 2 6 CCC 3 3 A 即共有 3 3 2 2 4 4 2 6 A CCC 7 有序分配问题 逐分法 有序分配问题指把元素分成若干组 可用逐步下量分组 例 将例 将 1212 名警察分别到三个不同的路口进行流量的调查 若每个路口名警察分别到三个不同的路口进行流量的调查 若每个路口 4 4 人 则不同的分人 则不同的分 配方案有配方案有 种种 A B C D 答案 A 444 1284 C C C 444 1284 3C C C 443 1283 C C A 444 1284 3 3 C C C A 8 可重复的排列问题 求幂法 分步 允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象 元素不受位置的约束 可逐一安排元素 的位置 一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法 nm n m 例 例 把把 6 6 名实习生分配到名实习生分配到 7 7 个车间实习共有多少种不同方法 个车间实习共有多少种不同方法 解析 完成此事共分 6 步 第一步 将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案 第二步 将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案 依次类推 由分步计数原理知共有种 6 7 9 至少 至多 问题等用 排除法 也可用分类列举法 例 从例 从 4 4 台甲型和台甲型和 5 5 台乙型电视机中任取台乙型电视机中任取 3 3 台 其中至少要甲型和乙台 其中至少要甲型和乙 型电视机各一台 型电视机各一台 则不同的取法共有 则不同的取法共有 种 种 解析 1 逆向思考 至少各一台的反面就是分别只取一种型号 不取另一种型号的电视机 故不同的取法共有种 选 333 945 70CCC C 解析 2 正向思考 至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况 甲型 1 台乙型 2 台 甲型 2 台乙型 1 台 故不同的取法有台 选 2112 5454 70C CC C C 10 多元问题 分类列举法 例 例 1 由 由数字数字 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 组成没有重复数字的六位数 其中个位数字小于十位组成没有重复数字的六位数 其中个位数字小于十位 数字的共有数字的共有 解析 按题意 个位数字只可能是 0 1 2 3 4 共 5 种情况 分别有 个 合并总计 300 个 选 5 5 A 11311311313 43333323333 A A AA A AA A AA AB 解析 一 用先选后排法 二 用隔板法 消序法 答案选240 4 4 2 5 AC240 2 2 3 4 5 5 A CA B 2 2 3003030030 能被多少个