（三管齐下）贵州省2014届高三数学 复习试题69 正态分布 理（含解析）新人教A版

6969 正态分布正态分布 导学目标 利用实际问题的直方图 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 自主梳理 1 正态分布密度曲线及性质 1 正态曲线的定义 函数 x 其中实数 和 0 为参数 的 图象为正态分布密度曲线 2 正态分布密度曲线的特点 曲线位于x轴 与x轴不相交 曲线是单峰的 它关于直线 对称 曲线在 处达到峰值 曲线与x轴之间的面积为 当 一定时 曲线随着 的变化而沿x轴移动 当 一定时 曲线的形状由 确定 曲线越 高瘦 表示总体的分 布越集中 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 2 正态分布 1 正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a b a b 随机变量X满足P a X b 则称随机变量X服从正态分布 记作 2 正态分布的三个常用数据 P X P 2 X 2 P 3 X 3 自我检测 1 2011 大连模拟 下列说法不正确的是 A 若X N 0 9 则其正态曲线的对称轴为y轴 B 正态分布N 2 的图象位于x轴上方 C 所有的随机现象都服从或近似服从正态分布 D 函数 x x R 的图象是一条两头低 中间高 关于y轴对称的曲 1 2 2 2 x e 线 2 已知随机变量 服从正态分布N 3 2 则P 3 等于 A B C D 1 5 1 4 1 3 1 2 3 2011 湖北 已知随机变量 服从正态分布N 2 2 且P 4 0 8 则 P 0 0 和N 2 2 0 2 12 2 的密度函数图象如图所示 则有 A 1 2 1 2 B 1 2 C 1 2 1 2 1 2 探究点一 正态曲线的性质 例 1 如图所示 是一个正态曲线 试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式 并求出 正态总体随机变量的均值和方差 变式迁移 1 若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数 且该函数的最大值 为 1 4 2 1 求该正态分布的概率密度函数的解析式 2 求正态总体在 4 4 的概率 探究点二 服从正态分布的概率计算 例 2 设X N 5 1 求P 6 X 7 变式迁移 2 设X N 1 22 试求 1 P 1 X 3 2 P 31 2 3 0 B 0 1 2 1 2 1 3 0 D 0 1 2 1c 1 P 4 等于 A 0 158 8 B 0 158 7 C 0 158 6 D 0 158 5 5 已知一次考试共有 60 名同学参加 考生的成绩X N 110 52 据此估计 大约 应有 57 人的分数在下列哪个区间内 A 90 110 B 95 125 C 100 120 D 105 115 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 设三个正态分布N 1 1 0 N 2 2 0 N 3 3 0 2 12 22 3 的密度函数图象如图所示 则 1 2 3按从小到大的顺序排列是 1 2 3按从小到大的顺序排列是 7 在某项测量中 测量结果 服从正态分布N 1 2 0 若 在 0 1 内取 值的概率为 0 4 则 在 0 2 内取值的概率为 8 2011 青岛模拟 已知随机变量 服从正态分布N 2 2 P 4 0 84 则P 0 三 解答题 共 38 分 9 12 分 设X N 10 1 1 证明 P 1 X 2 P 18 X 19 2 设P X 2 a 求P 10 X 18 10 12 分 已知某种零件的尺寸X 单位 mm 服从正态分布 其正态曲线在 0 80 上 是增函数 在 80 上是减函数 且 80 1 8 2 1 求正态分布密度函数 2 估计尺寸在 72 mm 88 mm 间的零件大约占总数的百分之几 11 14 分 在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正 态分布N 60 100 已知成绩在 90 分以上 含 90 分 的学生有 13 人 1 求此次参加竞赛的学生总数共有多少人 2 若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生 问受奖学生的分数线是多少 69 正态分布 自主梳理 1 1 x 2 上方 x x 1 2 2 2 2 x e m s 1 2 1 越小 越大 2 1 x dx X N 2 b a 2 80 128 x e 2 0 682 6 0 954 4 0 997 4 自我检测 1 C 2 D 由正态分布图象知 3 为该图象的对称轴 P 3 1 2 3 C P 4 0 2 由题意知图象的对称轴为直线x 2 P 4 0 2 P 0 4 1 P 4 0 6 P 0 2 P 0 4 0 3 1 2 4 D 由 x 对照得 2 0 E 1 2 2 2 2 x e m s 1 8 2 8 x e 0 2 D 5 A 由正态分布N 2 性质知 x 为正态分布密度函数图象的对称轴 故 1 2 又 越小 图象越高瘦 故 1 2 课堂活动区 例 1 解题导引 要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式 关键是求解析 式中的两个参数 的值 其中 决定曲线的对称轴的位置 则与曲线的形状和最 大值有关 解 从给出的正态曲线可知 该正态曲线关于直线x 20 对称 最大值为 所以 1 2 20 由 解得 1 2 1 2 2 于是正态分布密度曲线的解析式是 x x 1 2 2 20 4 x e 均值和方差分别是 20 和 2 变式迁移 1 解 1 由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数 所以其图象 关于y轴对称 即 0 由 1 2 1 2 4 得 4 故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是 x x 1 4 2 2 32 x e 2 P 4 X 4 P 0 4 X 0 4 P X 0 682 6 例 2 解题导引 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率 只需借助于正 态曲线的性质 把所求问题转化为已知概率的三个区间上 解 由已知 5 1 P 4 X 6 0 682 6 P 3 X 7 0 954 4 P 3 X 4 P 6 X 7 0 954 4 0 682 6 0 271 8 如图 由正态曲线的对称性可得 P 3 X 4 P 6 X 7 P 6 X 7 0 135 9 0 271 8 2 变式迁移 2 解 X N 1 22 1 2 1 P 1 X 3 P 1 2 X 1 2 P X 0 682 6 2 P 3 X 5 P 3 X 1 P 3 X 5 P 3 X 5 P 1 X 3 1 2 P 1 4 X 1 4 P 1 2 X 1 2 1 2 P 2 X 2 P X 1 2 0 954 4 0 682 6 0 135 9 1 2 3 P X 5 P X 3 P X 5 1 P 3 X 5 1 2 1 P 1 4 X 1 4 1 2 1 P 2 X 2 1 2 1 0 954 4 0 022 8 1 2 例 3 解题导引 正态分布已经确定 则总体的期望 和标准差 就可以求出 这 样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解 解 N 90 100 90 10 100 1 由于正态变量在区间 2 2 内取值的概率是 0 954 4 而该正态分布 中 2 90 2 10 70 2 90 2 10 110 于是考试成绩 位于区间 70 110 内的概率就是 0 954 4 2 由 90 10 得 80 100 由于正态变量在区间 内取值的概率是 0 682 6 所以考试成绩 位于区间 80 100 内的概率是 0 682 6 一共有 2 000 名考生 所以考试成绩在 80 100 间的考生大约有 2 000 0 682 6 1 365 人 变式迁移 3 解 成绩服从正态分布N 80 52 80 5 75 85 于是成绩在 75 85 内的同学占全班同学的 68 26 这样成绩在 80 85 内的同学占全班同学的 34 13 设该班有x名同学 则x 34 13 17 解得x 50 又 2 80 10 70 2 80 10 90 成绩在 70 90 内的同学占全班同学的 95 44 成绩在 90 分以上的同学占全班同学的 2 28 即有 50 2 28 1 人 即成绩在 90 分以上的仅有 1 人 课后练习区 1 D 0 且 2 1 11 2 B N 2 9 P c 1 P c 1 P 110 P X 3 P X 50 P X110 P X4 P X4 0 158 7 1 P 2 X 4 2 5 C 由于X N 110 52 110 5 因此考试成绩在区间 105 115 100 120 95 125 上的概率分别应是 0 682 6 0 954 4 0 997 4 由于一共有 60 人参加考试 成绩位于上述三个区间的人数分别是 60 0 682 6 41 人 60 0 954 4 57 人 60 0 997 4 60 人 故大约应有 57 人的分数在 100 120 区间内 6 2 1 3 1 3 2 7 0 8 解析 服从正态分布 1 2 在 0 1 与 1 2 内取值的概率相同均为 0 4 在 0 2 内取值概率为 0 4 0 4 0 8 8 0 16 解析 2 P 0 P 4 1 P 4 1 0 84 0 16 9 1 证明 因为X N 10 1 所以 正态曲线 x 关于直线x 10 对称 而 区间 1 2 和 18 19 关于直线x 10 对称 所以 x dx x dx 2 11918 即P 1 X 2 P 18 X 19 6 分 2 解 P 10 X 18 P 2 X 10 P X 10 P X 2 a 12 分 1 2 10 解 1 由于正态曲线在 0 80 上是增函数 在 80 上是减函数 所以正态 曲线关于直线x 80 对称 且在x 80 处取得最大值 因此 80 1 2 1 8 2 所以 8 故正态分布密度函数解析式是 x 6 分 1 8 2 2 80 128 x e 2 由 80 8 得 80 8 72 80 8 88 所以零件尺寸X位于区间 72 88 内的概率是 0 682 6 因此尺寸在 72 mm 88 mm 间的零件大约占总数的 68 26 12 分 11 解 1 设参加竞赛的学生人数共n人 则P X 90 2 分 13 n 而P X 90 1 P 30 X 90 2 0 001 3 1 P 60 30 X 60 30 2 1 0 997 4 2