黑龙江省绥化市第九中学11-12学年高二数学上学期 空间向量法求解立体几何问题 理

用心 爱心 专心1 用空间向量法求解立体几何问题典例及解析用空间向量法求解立体几何问题典例及解析 以多面体为载体 以空间向量为工具 来论证和求解空间角 距离 线线关系以及线 面关系相关问题 是近年来高考数学的重点和热点 用空间向量解立体几何问题 极大地 降低了求解立几的难度 很大程度上呈现出程序化思想 更易于学生们所接受 故而执教 者应高度重视空间向量的工具性 首先 梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法 一 利用空间向量求空间角 1 两条异面直线所成的夹角 范围 两条异面直线所成的夹角的取值范围是 向量求法 设直线的方向向量为 其夹角为 则有 a ba b cos 2 直线与平面所成的角 定义 直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角 范围 直线和平面所夹角的取值范围是 向量求法 设直线 的方向向量为 平面的法向量为 直线与法向量所成角的余弦值lan 为直线与平面所成的角为 则有或在平 cos sin 面内任取一个向量 则 m cos 3 二面角 二面角的取值范围是 二面角的向量求法 方法一 在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量 则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小 方法二 设 分别是两个面的 则向量与的夹角 或其补角 即为 1 n 2 n 1 n 2 n 所求二面角的平面角的大小 二 利用空间向量求空间距离 1 点面距离的向量公式 平面的法向量为n n 点P是平面外一点 点M为平面内任意一点 则点P到平 面的距离d就是 即d MP n n 2 线面 面面距离的向量公式 平面 直线l 平面的法向量为n n 点M P l 平面与直线l间的距离 d就是在向量n n方向射影的绝对值 即d MP 平面 平面的法向量为n n 点M P 平面与平面 的距离d 就是在向量n n方向射影的绝对值 即d MP MP n n 3 异面直线的距离的向量公式 设向量n n与两异面直线a b都垂直 M a P b 则两异面直线a b间的距离d就 用心 爱心 专心2 是在向量n n方向射影的绝对值 即d MP MP n n 三 利用空间向量解证平行 垂直关系 1 所谓直线的方向向量 就是指 的向量 一条直线的方向向 量有 个 所谓平面的法向量 就是指所在直线与平面垂直的直线 一个平面的法向量也有 个 2 线线平行 证明两条直线平等 只要证明这两条直线的方向向量是 也可以证这 两条直线平行于同一个平面的法向量 3 线面平行 证明线面平行的方法 1 证明直线的方向向量与平面的法向量 2 证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量 3 利用共面向量基本定理 即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量是 4 面面平行的证明方法 1 转化为 处理 2 证明这两个平面的法向量是 5 利用空间向量解证垂直关系 线线垂直 证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是 线面垂直的证明方法 证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是 证明直线与平面内的 面面垂直的证明方法 转化为证明 证明这两个平面的法向量是 典题赏析 典题赏析 题目题目 1 1 2011 四川理 如图所示 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC AA1 1 延长 A1C1至点 P 使 C1P A1C1 连结 AP 交棱 CC1于点 D 1 求证 PB1 平面 BDA1 2 求二面角 A A1D B 的平面角的余弦值 解 如图 17 1 以 A1为原点 A1B1 A1C1 A1A 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间 直角坐标系 A1 xyz 则 A1 0 0 0 B1 1 0 0 C1 0 1 0 B 1 0 1 P 0 2 0 1 在 PAA1中有 C1D AA1 即 D 1 2 0 1 1 2 1 0 1 1 2 0 A1B A1D 0 1 1 2 B1P 设平面 BA1D 的一个法向量为 n1 a b c 则Error 令 c 1 则 n1 图 1 7 1 1 2 1 n1 1 1 2 1 0 0 B1P 1 2 第 1 题 用心 爱心 专心3 A BC D C1 D1 A1 B1 第 3 题 PB1 平面 BDA1 2 由 1 知 平面 BA1D 的一个法向量 n1 1 1 2 1 又 n2 1 0 0 为平面 AA1D 的一个法向量 cos n1 n2 故二面角 A A1D B 的平面角的余弦值为 n1 n2 n1 n2 1 1 3 2 2 3 2 3 题目 2 如图 在四棱锥中 底面为矩形 PABCD ABCD 侧棱底面 PA ABCD3AB 1BC 2PA 为的中点 EPD 求直线与所成角的余弦值 ACPB 在侧面内找一点 使面 PABNNE PAC 并求出点到和的距离 NABAP 解 建立如图所示的空间直角坐标系 则的坐标为 A B C D P E 0 0 0 A 3 0 0 B 3 1 0 C 0 1 0 D 0 0 2 P 1 0 1 2 E 从而 2 0 3 0 1 3 PBAC 设的夹角为 则PBAC与 14 73 72 3 cos PBAC PBAC 与所成角的余弦值为 ACPB 14 73 由于点在侧面内 故可设点坐标为 则NPABN 0 xz 由面可得 1 2 1 zxNE NE PAC 0 2 1 3 01 0 0 1 3 1 2 1 0 2 0 0 1 2 1 0 0 x z zx zx ACNE APNE 化简得即 1 6 3 z x 即点的坐标为 从而点到和的距离分别为 N 1 0 6 3 NABAP 3 1 6 因此 BM 2 2 2 4 0 2 1 第 2 题 用心 爱心 专心4 z A BC D C1 D1 A1 B1 O x y 3 1 所以线段 BM 的长 BM 10 4 题目题目 3 3 已知正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 a 1 求点 1 C到平面 11 AB D的距离 2 求平面 11 CDDC与平面 11 AB D所成的二面角余弦值 解 1 按如图 3 1 所示建立空间直角坐标系 可得有关点的坐标为 0 0 0 A 1 0 Daa 1 B aa 0 1 C aaa 向量 1 C Aaaa 1 0 ADaa 1 ABaa 0 设 nxyz 是平面 11 AB D的法向量 于是 有 1 1 0 0 n AD n AB 即 0 0 ayaz axaz 令1z 得11xy 于是平面 11 AB D的一个法向量是 1 n 1 1 因此 1 C到平面 11 AB D的距离 1 3 3 C A n da n 也可用等积法求得 2 由 1 知 平面 11 AB D的一个法向量是 111 n 又因 11 ADCDDC 平面 故平面 11 CDDC的一个法向量是 1 010 n 设所求二面角的平面角为 结合图形可知二面角是锐角 即 为锐角 则 1 1 3 cos 3 n n n n 题目题目 4 4 已知四棱锥的底面为直角梯形 PABCD ABDC 底面 且 是 PADAB 90 ABCD 1 2 PAADDC 1AB M 的中点 PB 证明 面面 PAD PCD 求与所成的角 ACPB 求面与面所成二面角的余弦值 AMCBMC 证明 以为坐标原点长为单位长度 如图 4 1 建立空间直角坐标系 则AAD 4 1 第 4 题 用心 爱心 专心5 各点坐标为 1 0 0 0 0 2 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 ABCDPM 证明 因 0 0 1 0 1 0 0 DCAPDCAPDCAP 所以故 由题设知 且与是平面内的两条相交直线 由此得面ADDC APADPADDC 又在面上 故面 面 PADDCPCDPADPCD 解 因 1 2 0 0 1 1 PBAC 5 10 cos 2 5 2 PBAC PBAC PBAC PBACPBAC所以故 解 在上取一点 则存在使MC N x y z R MCNC 2 1 1 1 2 1 0 1 1 1 zyxMCzyxNC 要使 14 00 25 ANMCAN MCxz A只需即解得 0 5 2 1 5 1 5 2 1 5 1 0 5 2 1 5 1 5 4 MCBNBNAN MCANN 有此时 能使点坐标为时可知当 为ANBMCBNMCANMCBNMCAN 所以得由 0 0 所求二面角的平面角 30304 555 2 cos 3 2 3 ANBNAN BN AN BN AN BN ANBN A A 故所求的二面角的余弦值 题目题目 5 5 如图 PA平面ABCD 四边形ABCD是正方形 2 ADPA 点E F G分别为线段PA PD和CD的中点 1 求异面直线EG与BD所成角的余弦值 2 在线段CD上是否存在一点Q 使得点A到平面EFQ的距离恰为 4 5 若存在 求出线段CQ的长 若不存在 请说明理由 解 1 以点A为坐标原点 射线AZADAB 分别为 轴轴 轴 zyx的正半轴建立空间直角坐标系如图示 4 1 点 F G E C P A B D Q 第 5 1 题题 x y z G F E C P A D B Q 第第 5 题题 用心 爱心 专心6 1 0 0 E 0 2 1 G 0 0 2 B 0 2 0 D 则 1 2 1 EG 0 2 2 BD 设异面直线EG与BD所成角为 BDEG BDEG cos 6 3 86 42 所以异面直线EG与BD所成角大小为 2 假设在线段CD上存在一点Q满足条件 设点Q 0 2 0 x 平面EFQ的法向量为 zyxn 则有 0 0 EQn EFn 得到 0 0 xxzy 取1 x 所以 0 1 0 xn 则8 0 n nEA 又0 0 x 解得 3 4 0 x 所以点 0 2 3 4 Q即 0 0 3 2 CQ 则 3 2 CQ 所以在线段CD上存在一点Q满足条件 且长度为 3 2 题目题目 6 6 如图 在四棱锥中 底面为矩形 底面 是PABCD ABCDPD ABCDE 上AB 一点 已知PFEC 2 1 2 2 AECDPD 求 异面直线与的距离 PDEC 二面角的大小 EPCD 解 以为原点 分别为DDADCDP 轴建立空间直角坐标系 x y z 由已知可得 0 0 0 0 0 2 0 2 0 DPC 设 0 2 0 0 0 xBxxA则 由 0 2 3 2 2 1 0 2 1 xCExPExE 0 CEPECEPE得 即 由 2 3 0 4 3 2 xx故CEDECEDE 得0 0 2 3 2 3 0 2 1 2 3 又 故是异面直线与的公垂线 易得 故异面直线PDDE DEPDCE1 DE 的距离为 PDCE1 作 可设 由得DGPC 0 Gy z0 PCDG0 2 2 0 0 zy 第 6 题 用心 爱心 专心7 即作于 设 2 1 0 2 DGyz故可取EFPC F 0 Fm n 则 2 1 2 3 nmEF 由 0212 0 2 2 0 2 1 2 3 0 nmnmPCEF即得 又由在上得FPC 2 2 2 1 2 3 2 2 1 2 2 2 EFnmmn故 因故的平面角的大小为向量的夹角 PCDGPCEF EPCD DGEF与 故 即二面角的大小为 4 2 2 cos EFDG EFDG EPCD 4 总之 在利用空间向量解决立体几何问题时 经常是通过建立空间直角坐标系 及点的坐 标做为沟通向量与几何图形关系的纽带和桥梁的 恰当建系 准确示点 是关键 故而 要适当的加强解题训练 并及时总结 感悟方法 提升能力 训练题 训练题 1 正方体中 是的中点 是底面的中心 是棱 1111 DCBAABCD M 1 DDOABCDP 上任意一点 则直线与直线所成的角是 C 11 ABOPAM A B C D 与点的位置有关 4 3 2 P 2 空间中有四点 其中 且 A B C D 2 2 ABm m 1 5 CDm m 则直线和 D A 平行 B 平行或重合 C 必定相交 ABCD 13 5 3 3 ABCD D 必定垂直 3 若向量夹角的余弦值是 则的值为 C 1 2 2 1 2 aba b 8 9 A 2 B 2 C 2 或 D 2 或 2 55 2 55 4 直线 的方向向量为 平面内两共点向量 下列关系中能表示的是 D l a a OA OB l A B C D 以上均不能 a a OA a a kOB a a pOAOB 5 以下向量中与向量 1 2 3 3 1 2 都垂直的向量为 C a a b b A 1 7 5 B 1 7 5 C 1 7 5 D 1 7 5 6 在正方体中 棱长为 分别是和上的点 1111 DCBAABCD a M N 1 ABAC 1 AM 第 6 1 题 用心 爱心 专心8 则与平面的关系是 B A 相交 B 平行 C 垂直 2 3 a AN MN 11 BBC C D 不能确定 7 已知斜三棱柱 ABC A1B1C1的底 ABC 为直角三角形 C 90 侧棱与底面成 60 角 B1点在底面射影 D 为 BC 中点 若侧面 A1ABB1与 C1CBB1成 30 的二面角 BC 2cm 则四棱锥 A B1BCC1的体积是 B A B C D 3 2 32 cm 3 3 32 cm 3 3 22 cm 3 2 2 2 cm 8 已知三个向量两两之间的夹角为 又 则 OA OB OC 0 60 1 2 3OAOBOC C OAOBOC A 3 B 4 C 5 D 6 9 在长方体中 则到直线的距离为 1111 ABCD A B C D 1 2ABBCa AAa 1 DAC A A B C D 3 2 2 a 2 2 2 a 3 2 a3a 10 ABCD 是边长为 2 的正方形 以 BD 为棱把它折成直二面角 A BD C E 是 CD 的中点 则异面直线 AE BC 的距离为 A A B 23 C D 1 2 3 11 在正方体 1111 DCBAABCD 的侧面 11A ABB内有一动点P到直线 11B A与直线BC的 距离相等 则动点P 所在的曲线的形状为 B 12 对于向量 a b 定义 a b 为向量 a b 的向量积 其运算结果为一个向量 且规定 a b 的模 a b a b sin 其中 为向量 a 与 b 的夹角 a b 的方向与向量 a b 的方向都垂直 且使得 a b a b 依次构成右手系 如图 在平行六面体 ABCD EFGH 中 EAB EAD BAD 60 AB AD AE 2 则 D ABADAE A 4 B 8 C D 2 24 2 A1B1 BA P A A1B1 BA P B A1B1 BA P C A1 B1 BA P D A B C D E F G H 第 12 题 用心 爱心 专心9 13 设是平面外一点 点满足 则直线与平面OABCP 311 488 OPOAOBOC AP 的位置关系是 AP平面ABC ABC 14 在空间四边形中 分别是和对角线ABCD ABBC CDDA E F G CD DA 的中点 则平面与平面的位置关系是 平面 平面ACBEFBDGBEFBDG 15 设正四棱锥 S ABCD 的侧棱之长为 底面边长为 E 是 SA 的中点 则异面直线23 BE 与 SC 所成的角等于 3 16 在空间直角坐标系中 对其中任何一向量 定义范数 它满足以 123 Xx x x X 下性质 当且仅当为零向量时 不等式取等号 1 0X X 2 对任意的实数 注 此处点乘号为普通的乘号 XX 3 XYXY 试求解以下问题 在平面直角坐标系中 有向量 下面给出的几个表达式中 12 Xx x 可能表示向量的范数的是 把所有正确答案的序号都填上 1 4 X 1 2 3 4 2 2 2 1 2xx 22 12 2xx 22 12 2xx 22 12 xx 解答题 17 2011 天津卷 如图所示 在三棱柱 ABC A1B1C1中 H 是正方形 AA1B1B 的中心 AA1 2 C1H 平面 AA1B1B 且 C1H 25 1 求异面直线 AC 与 A1B1所成角的余弦值 2 求二面角 A A1C1 B1的正弦值 3 设 N 为棱 B1C1的中点 点 M 在平面 AA1B1B 内 且 MN 平面 A1B1C1 求线段 BM 的 长 解 如图 18 1 所示 建立空间直角坐标系 点 B 为坐标原点 依题意得 A 2 0 0 B 0 0 0 C 2225 A1 2 2 0 B1 0 2 0 C1 222225 1 易得 2 0 0 于是 cos AC 225 A1B1 2 AC A1B1 AC A1B1 AC A1B1 4 3 2 2 2 3 所以异面直线 AC 与 A1B1所成角的余弦值为 2 3 2 易知 0 2 0 AA1 2 A1C1 225 设平面 AA1C1的法向量 x y z 则 m m 即 不妨令 x 可得 0 5 m m 52 同样地 设平面 A1B1C1的法向量 x y z 则 n n 即 17 1 用心 爱心 专心10 不妨令 y 可得 0 5 n n 52 于是 cos m m n n 2 7 7 2 7 从而 sin m m n n 3 5 7 所以二面角 A A1C1 B1的正弦值为 3 5 7 3 由 N 为棱 B1C1的中点 得 N 2 2 3 2 2 5 2 设 M a b 0 则 MN 2 2 a 3 2 2 b 5 2 由 MN 平面 A1B1C1 得 即Error 得Error BM 18 如图 四棱锥ABCDP 中 PA平面ABCD 底面ABCD是直角梯形 且 CDAB 90 BAD 2 DCADPA 4 AB 1 求证 PCBC 2 求点A到平面PBC的距离 解 1 如图建系 则 2 0 0 0 2 2 0 0 2 0 4 0 PCDB 2 2 2 0 2 2 PCBC 02 2 22 PCBC 故PCBC 2 2 2 2 2 4 0 PCPB 设平面PBC的法向量为 cban 依题意 0 02 0 0 cba cb nPC nPB 取 2 1 1 n 0 4 0 AB 所以点A到平面PBC的距离 3 62 6 4 n nAB d 19 如右下图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 已知 AB 4 AD 3 AA1 2 E F 分别是线段 AB BC 上的点 且 EB FB 1 1 求二面角 C DE C1的正切值 2 求直线 EC1与 FD1所成的余弦值 解 I 以 A 为原点 1 AAADAB分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正向建立空间直角坐 标系 则有 D 0 3 0 D1 0 3 2 E 3 0 0 F 4 1 0 C1 4 3 2 故 2 2 4 2 3 1 0 3 3 11 FDECDE A B C D P x y y 第 18 题 用心 爱心 专心11 设 2 2 tan 3 6 400411 220101 cos 2 0 0 2 1 1 0 2 1 1 2 2 2 2 1 023 033 10 10 110 1 100 1 AAn AAn CDECAAn CDEAA DECnn z z z zz n zyx zyx yx ECn DEn 的平面角为二面角所成的角与 垂直与平面向量 垂直的向量是一个与平面则取 其中 向量 zyxn 与平面 C1DE 垂直 则有 II 设 EC1与 FD1所成角为 则 14 21 22 4 231 2223 4 1 cos 222222 11 11 FDEC FDEC 20 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长和底面边长均为 1 M 是底面 BC 边上的中点 N 是 侧棱 CC1上的点 且 CN 2C1N 求二面角 B1 AM N 的平面角的余弦值 求点 B1到平面 AMN 的距离 解 建立如图所示的空间直角坐标系 则 1 B 0 0 1 M 0 1 2 0 C 0 1 0 N 0 1 2 3 A 3 1 0 22 所以 3 0 0 2 AM 1 1 0 1 2 MB 1 2 0 2 3 MN 因为 1 31 00 0 10 22 MB AM A 所以 1 MBAM 同法可得MN AM 故 1 MB MN 为二面角 1 B AM N 的平面角 cos 1 MB MN 1 1 5 5 MB MN MBMN 故二面角 1 B AM N 的平面角的余弦值为 5 5 设 n x y z 为平面 AMN 的一个法向量 则由 nAM nMN 得 D1 C1 B1 C D B A A1 E F 第 19 题 第 20 题 用心 爱心 专心12 3 0 0 2 4 12 03 23 x x yz yz 故可取 3 0 1 4 n 设 1 MB 与 n 的夹角为 a 则 1 1 2 5 cos 3 MB n a MBn 所以 1 B 到平面 AMN 的距离为 1 52 5 cos1 25 MBa 21 如图 所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的 其中 AB 4 BC 2 CC1 3 BE 1 求 BF 的长 求点 C 到平面 AEC1F 的距离 解 I 建立如图所示的空间直角坐标系 则 D 0 0 0 B 2 4 0 A 2 0 0 C 0 4 0 E 2 4 1 C1 0 4 3 设 F 0 0 z AEC1F 为平行四边形 62 62 2 4 2 2 0 0 2 2 0 2 0 2 1 1 的长为即于是 得由 为平行四边形由 BFBF EF Fz zECAF FAEC II 设 1 n 为面 AEC1F 的法向量 1 11 yxnADFn 故可设不垂直于平面显然 0202 0140 0 0 1 1 yx yx AFn AEn 得由 4 1 1 022 014 y x x y 即 111 3 0 0 nCCCC与设又 的夹角为 a 则 11 11 4 33 cos 33 CCn CCn C 到平面 AEC1F 的距离为 11 334 33 334 3cos 1 CCd 1 3 1 3 1 1 CCShS BDCBDC 13 1312 h 即直线 1 AB 到平面 BD 1 C 的距离 是 13 1312 22 已知四棱锥的底面为直角梯形 底面PABCD ABDC PADAB 90 且 是的中点 ABCD 1 2 PAADDC 1AB MPB 证明 面面 PAD PCD 求与所成的角 ACPB 第 21 题 第 22 题 用心 爱心 专心13 求面与面所成二面角的大小 AMCBMC 证明 以为坐标原点长为单位长度 如图 25 1 建立空间直角坐标系 则各点坐标AAD 为 1 0 0 0 0 2 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 ABCDPM 证明 因 0 0 1 0 1 0 0 DCAPDCAPDCAP 所以故 由题设知 且与是平面内的两条相交直线 由此得面ADDC APADPADDC 又在面上 故面 面 PADDCPCDPADPCD 解 因 1 2 0 0 1 1 PBAC 5 10 cos 2 5 2 PBAC PBAC PBAC PBACPBAC所以故 解 在上取一点 则存在使MC N x y z R MCNC 2 1 1 1 2 1 0 1 1 1 zyxMCzyxNC 要使 14 00 25 ANMCAN MCxz A只需即解得 0 5 2 1 5 1 5 2 1 5 1 0 5 2 1 5 1 5 4 MCBNBNAN MCANN 有此时 能使点坐标为时可知当 为ANBMCBNMCANMCBNMCAN 所以得由 0 0 所求二面角的平面角 30304 555 2 cos 3 2 arccos 3 ANBNAN BN AN BN AN BN ANBN A A 故所求的二面角为 23 如图 在四棱锥中 底面是正方形 侧面是正三角形 VABCD ABCDVAD 平面底面 VAD ABCD 证明 平面 AB VAD 求面与面所成的二面角的大小 VADDB 证明 以为坐标原点 建立如图所示的坐标图系 D 证明 不防设作 1 0 0 A 22 1 第 23 题 用心 爱心 专心14 则 1 1 0 B 2 3 0 2 1 V 2 3 0 2 1 0 1 0 VAAB 由得 又 因而与平面内两条相交直线 0 VAABABVA ABAD ABVAD 都垂直 平面 VAADAB VAD 解 设为中点 则 EDV 4 3 0 4 1 E 2 3 0 2 1 4 3 1 4 3 4 3 0 4 3 DVEBEA 由 0DVEADVEBDVEB 又得 因此 是所求二面角的平面角 AEB 7 21 cos EBEA EBEA EBEA 解得所求二面角的大小为 7 21 arccos 24 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到ABCD 1 AEC F 的 其中 1 4 2 3 1ABBCCCBE 求的长 BF 求点到平面的距离 C 1 AEC F 解 I 建立如图 28 1 所示的空间直角坐标系 则 0 0 0 D 2 4 0 B 设 1 2 0 0 0 4 0 2 4 1 0 4 3 ACEC 0 0 Fz 为平行四边形 1 AEC F 62 62 2 4 2 2 0 0 2 2 0 2 0 2 1 1 的长为即于是 得由 为平行四边形由 BFBF EF Fz zECAF FAEC 第 24 题 24 1 用心 爱心 专心15 II 设为平面的法向量 1 n 1 AEC F 1 11 yxnADFn 故可设不垂直于平面显然 0202 0140 0 0 1 1 yx yx AFn AEn 得由 4 1 1 022 014 y x x y 即 的夹角为 则 111 3 0 0 nCCCC与设又 33 334 1 16 1 13 3 cos 11 11 nCC nCC 到平面的距离为C 1 AEC F 11 334 33 334 3cos 1 CCd 25 如图 在长方体 中 点在棱上 1111 ABCDABC D 1 1 2ADAAAB EAD 移动 1 证明 11 D EAD 2 当为的中点时 求点到面的距离 EABE 1 ACD 3 等于何值时 二面角的大小为 AE 1 DECD 4 解 以为坐标原点 直线分别为轴 D 1 DA DC DD x y z 建立空间直角坐标系 设 AEx 则 11 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 2 0 ADExAC 1 0 1 1 1 0 1 1111 EDDAxEDDA 所以因为 2 因为为的中点 则 从而 EAB 1 1 0 E 0 2 1 1 1 1 1 ACED 设平面的法向量为 则 1 0 1 1 AD 1 ACD cban 0 0 1 ADn ACn 也即 得 从而 0 02 ca ba ca ba2 2 1 2 n 第 29第 A1 B1 D1 A C1 B DC E x y z 第 29 1第 A1 B1 D1 A C1 B DC E 用心 爱心 专心16 所以点到平面的距离为E 1 ACD 3 1 3 212 1 n nED h 3 设平面的法向量 1 D EC cban 1 0 0 1 2 0 0 2 1 11 DDCDxCE 由 令 0 2 02 0 0 1 xba cb CEn CDn 1 2 2bcax 2 1 2 xn 依题意 2 2 5 2 2 2 2 4 cos 2 1 1 xDDn DDn 不合 舍去 32 1 x32 2 x 时 二面角的大小为 23AE 1 DECD 4 26 如图 在四棱锥中 底面为矩形 底面 是PABCD ABCDPD ABCDE 上AB 一点 已知PFEC 2 1 2 2 AECDPD 求 异面直线与的距离 PDEC 二面角的大小 EPCD 解 以为原点 分别为DDADCDP 轴建立空间直角坐标系 x y z 由已知可得 0 0 0