数形结合思想及其在解题中的应用

1 数形结合思想及其在解题中的应用 摘 要 高中新课标中明确地把数学思想纳入基础知识的范围 这说明课程改 革注意到了数学思想方法的重要性 数形结合思想是数学思想方法的重要内容 之一 用数形结合思想解题可以通过直观 把问题化抽象为具体 化繁为简 化难为易 使得问题的求解过程变得简洁明了 但数形结合方法并不是万能的 在用数形结合思想解题的过程中还要考虑图形的准确性 存在性等 本文就对 这个问题进行一些探讨并用几个例子进行解释 关键词 数形结合思想 几何 概率 中学数学的基本知识分三类 一类是纯粹数的知识 如实数 代数式 方 程 组 不等式 组 函数等 一类是关于纯粹形的知识 如平面几何 立体几何等 一类是关于数形结合的知识 主要体现是解析几何 而且在教材 安排和习题等教学内容中 这几个模块基本上是各自独立的 代数专门讨论 数 平面几何和立体几何专门介绍 形 而解析几何则专门讨论用解析 式研究 形 曲线 但如何将它们结合起来运用 教材中还没有专门的论 述 本文所说的正是这层意思 数与形是世界上万事万物存在的基本要素 因而专门反映数与形规律的数 学在现实世界中无处不在 无处不用 数形结合思想是数学思想方法中非常重 要的一种思维方法 本质上 它贯穿于数学发展的每一个阶段 而明确地体现 则在笛卡儿的 变量 和 解析几何 诞生之后 并由此促成了初等数学向高 等数学的发展 使数学从仅仅研究静止 平直的对象扩展到研究运动变化和弯 曲的对象 数形结合的思想方法应用非常广泛 在解题过程中 能化繁为简 化抽象为具体 对于帮助学生开阔思路 突破思维定势有极好的作用 在教学 过程中 应注意有意识地培养学生数形结合的思维习惯 1 1 数形结合思想的含义数形结合思想的含义 数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学 简言之 就是研究 数 和 形 数与形之间是有密切联系的 既可以由数来研究形 也可以由形来研 究数 华罗庚先生曾告诫我们 在解决数学问题时 不要 得意忘形 即是要 求我们解决问题时重视数形结合思想的应用 数与形是事物的两个属性 数形 结合就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来 使抽象思维和形象思维 结合起来 实现抽象概念与具体对象 表象的联系与转化 达到化难为易 化 2 繁为简的目的 2 2 数形结合思想产生的过程及其意义数形结合思想产生的过程及其意义 2 12 1 数形结合思想产生的过程数形结合思想产生的过程 现实世界的数与形本来应该是物质和事物的两方面属性 数学的发展也正 是以数和形两个基本概念作为主干的 数学思想方法的各种变革也是通过这两 个概念进行的 在数学的萌芽时期 人们在长度 面积和体积的度量本来就是 把数和形联系起来的 可在之后的数学发展进程中 由于数和形的应用与研究 都有了丰硕的成果 形成了相对独立的 代数 与 几何 各自有了系统的研 究对象 研究方法 而显得各自独立 造成了数形分离 在公元前 3 世纪到 14 世纪 几何学在数学中占据着主导地位 当时代数的 发展尚处于较低水平 尚未形成内容比较丰富的体系 这时几何学有着严谨的 推理方法和直观的图形 可以把种种空间的性质 图形关系问题的探讨归结成 为一系列基本概念和基本命题来推演 论证 所以在当时数学家们都主要运用 几何思想来处理数学问题 代数问题与几何问题没有明显的联系 随着数学研究范围的扩大 仅用传统综合几何的方法来解决数学问题越来 越困难 因为许多问题特别是证明问题往往需要高超的技巧才能奏效 而且推 演 论证的步骤又显得相当繁难 缺乏一般性的方法 这样使得几何学难于深 入发展 例如 在古希腊时期 研究圆锥曲线就只能使用初等几何的方法 显 得十分繁琐 而且效率很低 文艺复兴以来 生产力和科学技术的发展普遍引 起了对机械运动的研究 对外贸易促使航海事业的发展需要测定船舶位置进而 研究天体运行 到了 16 世纪 对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问 题 传统的初等数学已经无能为力 迫切地需要一种新的数学工具 数学家们 开始寻求新的方法来解决数学问题 直到 16 世纪 法国数学家韦达最先认识到 代数的力量 他尝试用代数方法来解决几何作图问题 要实现代数与几何的有机结合的关键在于空间几何结构的数量化 即把形 和数统一起来 这一项工作是由笛卡尔完成的 笛卡尔继承和发展了韦达等人 的先进数学思想 在 1619 年 笛卡尔悟出建立新方法的关键在于借助于坐标系 建立起平面上的点和数对之间的对应关系 由此可以用方程来表示曲线 与笛 卡尔同一时代 同一国度的另一位数学家费马 也几乎同时独立的发现了解析 3 几何基本原理 由此解析几何诞生 借助坐标实现了空间几何结构的数量化 由此把形与数 几何与代数统一了起来 开创了几何代数化的新时代 数形结 合得以实现 2 22 2 数形结合思想的意义数形结合思想的意义 数形结合思想的提出 不仅为几何学的研究提供了新的方法 使得很多难 以解决的问题变得简单易解 还为几何学的发展注入了新的活力 为后来建立 微积分理论奠定了基础 使得空间几何结构实现了数量化 而数量化了的空间 几何结构已不再局限于一维 二维和三维 它可以使维乃至无穷维 并且可以n 把曲线看着是由 点 通过运动而生成的 这使人们对形的认识由静态的发展 到了动态 数形结合的思想使得把复杂问题简单化 抽象问题具体化 让人们 更清楚的看清现实世界中的万事万物 3 3 数形结合原则数形结合原则 数形结合一般遵循以下三个原则 3 13 1 等价性原则等价性原则 等价性原则是指 数 的代数性质与 形 的几何性质应能对应 即对于 所讨论的问题形与数所反映的对应关系具有一致性 3 23 2 双向性原则双向性原则 双向性原则是指几何形象直观的分析与代数计算能够互相解释 3 33 3 简单性原则简单性原则 简单性原则是指数形转换时尽可能使构图和解析式简单合理 即使几何形 象清楚又使代数计算简洁明了 4 4 数形结合思想在解题中的应用数形结合思想在解题中的应用 在中学数解题中 有的题目比较抽象 不易理解 有的题目用常规方法解 比较繁杂 使得问题不易解决 通过数形结合 可以使问题化难为易 化繁为 简 变抽象为具体 在解决有关图形的问题时 我们常通过引入数字参数 角 参数或建立坐标系 把图形问题转化为数字式式子的计算问题来解决 同样 有关数字式子的问题 也可以通过画出相应的图形 根据图形的直观形象 迅 速找到可靠的解题思路 使有些看似很难 很繁或很抽象的问题 得到简捷 直观的解决 4 下面以例题的形式来体现数形结合思想的这一特点 4 14 1 数形结合在解集合题中的应用数形结合在解集合题中的应用 例例 1 1 某校开运动会 九年级三班共有 28 名同学参加比赛 有 15 人参加足 球比赛 有 8 人参加乒乓球比赛 有 14 人参加跳绳比赛 同时参加跳绳比赛和 乒乓球比赛的有 3 人 同时参加跳绳比赛和足球比赛的有 3 人 没有人同时参 加三项比赛 问同时参加乒乓球和足球比赛的有多少人 只参加足球一项比赛 的有多少人 解解 设 A 参加跳绳比赛的学生 B 参加乒乓球比赛的学生 同时参加乒乓球和 C 参加足球比赛的学生 跳绳比赛的学生有人x 作出符合题意的韦恩图 如右图所示 结合题 可知 3 BAcard 3 CAcard xCBcard 则得 283314815 x3 x 因此同时参加乒乓球和跳绳比赛的有 3 人 只参加足 球一项比赛的有人 93315 例例 2 2 若非空集合 求使成 5312 axaxA 223 xxBBA 立的的集合 a 解 解 先在数轴上表示出集合的B 范围 要使 由包含于BA 的关系可知集合应该覆盖集B 合 因为为非空集合 所AA 以故 又 如右上图所示 5312 aa6 aBA 可知所以解得 综上所得 2253 312 a a 91 a96 a 4 24 2 数形结合在解方程与不等式题中的应用数形结合在解方程与不等式题中的应用 有些方程与不等式问题 当用代数方法讨论比较繁杂时 可以利用图形将代数 5 问题转换成几何问题 结合几何知识探求 可以使问题更容易解决 例例 3 3 设为实数 求证 a111 22 aaaa 证明 证明 原不等式可变形为 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2222 aa 设 见右图 2 3 2 1 aA 2 3 2 1 aB 显然 两点不重合 且 不共线 ABOAB 故有 ABOBOA 即 2222 2 3 2 1 2 3 2 1 aa 1 2 3 2 3 2 1 2 1 22 aa 111 22 aaaa 例例 4 4 方程的实根的个数是 xxsinlg 个 个 个 个 A3 B4 C5 D6 解 解 方程的解是函数xxsinlg 与的交点的横坐标 故两个xylg xysin 函数图象交点的个数就是方程解得个数 在同一直角坐标系中作出xxsinlg 与的函数图象 如上图所示 不难发现这两个函数图象有 3 个xylg xysin 交点 所以方程有 3 个实根 故选 xxsinlg A 讲评 讲评 这种通过图形得出答案的途径 由于作图的精确性难以要求很高 因此 对于需要准确或精确地数值为答案的情形就不适用 只能用于答案比较粗略或 者说是示意性的题目 这顺便也说明 数形结合方法的使用并不是万能的 有 一定的局限性 只能根据具体问题灵活使用 6 4 34 3 数形结合在解函数题中的应用数形结合在解函数题中的应用 函数图象可以形象直观表示出函数所具有的性质 所以运用数形结合解函 数题可以更方便简洁 例例 5 5 试求函数的值域 x x y cos2 sin2 解 解 令 则有 cos 2 sin2 cos2 sin2 x x x x y xs xt sin cos 1 22 st 如下图所示 的几何意义可看作是定点y 与单位圆上的动点连线的直线的斜率 2 2 A stP 则直线 PA 的方程为 点斜式 k 即 2 2 xky022 kykx 易知 由单位圆圆心到直线的距离小于 0 0 AP 等于圆的半径 可得 1 R1 1 22 2 k k d 即解得 0383 2 kk 3 74 3 74 k 所以函数的值域为 x x y cos2 sin2 3 74 3 74 4 44 4 数形结合在解概率题中的应用数形结合在解概率题中的应用 许多概率问题 若能借助于坐标平面或其它模型将数的问题转化为形的问题 以形助数 不仅能迅速找到解题的切入点 而且还能优化解题过程 提高解题 速度 例例 6 6 在集合内任取 1 个元素 能使代数式 40 50 yxyx 成立的概率是多少 12 19 34 yx 解 解 如图 10 所示 40 50 yxyx 所表示的区域为矩形的内部 包括边界 的点集 7 表示直线及其上方所有点的集合 由右图可知 12 19 34 yx yx 12 19 34 yx 满足条件的点的集合为阴影部分 故所求概率为 10 3 54 345 0 矩形 阴影 s s P 例例 7 7 两人相约在 点到 点在某地会面 先到者等候另一人分钟方可离8920 去 试求这两人能会面的概率 解 解 如图 11 所示 以 分别表示两人到达时刻 xy 建立直角坐标系则 两人能会600 x600 y 面的充要条件是 可能的结果是边为的20 yx60 正方形里面的点 能会面的点的区域如图中的阴影部分 故所求概率为 9 5 60 4060 2 22 矩形 阴影 s s P 4 54 5 用代数方法解决几何问题用代数方法解决几何问题 我们在解某些几何题的时候 应用传统的几何方法不易解决或比较复杂时 可以借助三角函数的性质和图象 把几何图形中有关边与角的关系式转化为三 角函数的关系式 再借助三角函数的有关概念与性质解决问题 例例 8 8 如图 15 所示 四边形 都是单位正方形 ABCHHCDGGDEF 求证 4 AECADC 解 解 此题如果用传统的初等几何思路来解 是比 较 困难的 但是如果用数形结合思想 将将几何问 题 转化为三角函数来考虑 就相当直观和简单 由图可知 2 1 tan ADC 3 1 tan AEC tan AECADC AECADC AECADC tan tan1 tantan 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 E F D GH A B C 8 4 AECADC 5 5 利用数形结合解题应该注意的误区利用数形结合解题应该注意的误区 在数学解题中 用数形结合思想解题直观 形象 简捷 为我们分析问题 简化解题过程开辟了一条重要的途径 但是在解决具体问题中 图形的准确性 存在性及数学符号书写表达的规范与否 都会对解题的正误产生影响 在利用 数形结合思想解题时 有可能由于缺乏对图形的准确性 存在性的认识 构图 不准确或不具有一般性或片面性 致使解题发生失误 例例 9 9 方程的解的个数为 x x2 2 A0 B1 C2 D3 错解 错解 在同一坐标系内作出函数和的图象 如左下图所示 2 xy x y2 它们有两个交点 分析 分析 上述解法由于作图的粗糙而导致误判 正解 正解 事实上 当时 两个图象显然只有一个交点 当时 考0 x0 x 察和的增长 速度 的变化 如右下图所示 可以知 2 xy x y2 道它们有两个交点 即点和点 4 2 16 4 例例 1010 已知直线和轴 轴分别交于 两点 若抛物线xy 3xyAB 和线段有两个不同的交点 求的取值范围 1 2 mxxyABm 错解 错解 令 结合右下图可知 1 2 mxxxf 9 要使抛物线和线段有两个交点 只须AB 2 3 2 3 2 0 0 3 3 0 mm f m f f 解得 3 10 171 m 分析 分析 上述解法认为抛物线的顶点需在线段上方 事实上 它忽略了抛AB 物线的顶点在线段下方或在线段上 而抛物线与线段有ABABAB 两个不同的交点情形 正解 正解 将直线方程代入抛物线的方程 即得到 要使抛04 1 2 xmx 物线与线段有两个不同的交点 只须次方程在内有两个不同AB 3 0 的根 令 则 4 1 2 xmxxf 016 1 3 2 1 0 0 3 0 0 2 m m f f 解得 3 10 3 m 6 6 数形结合思想方法的教学数形结合思想方法的教学 数形结合思想方法的形成难于知识的理解与掌握 学生学习数形结合思想 方法一般要经历三个阶段 一是模仿形成阶段 二是初步应用阶段 即学生对 数学思想方法的认识开始己经明朗 开始理解解题过程中所使用的探索方法和 策略 也会概括总结出来 三是自觉应用阶段 学生能根据数学问题 恰当运 用某种思想方法进行探索 以求得问题的解决 学生数形结合思想方法的学习 过程 是一个通过具体例题逐步探索解决 循序渐进 由浅入深的过程 只有 随时运用实际例子加以训练 才能使学生逐步掌