（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第八篇《第50讲 立体几何中的向量方法(1)——证明平行与垂直 》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第八篇高考总复习江苏专用 理科 第八篇 第第 5050 讲讲 立体几何中立体几何中 的向量方法的向量方法 1 1 证明平行与垂直证明平行与垂直 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备综合创新备 选 含解析 选 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 1 若直线l1 l2的方向向量分别为a a 2 4 4 b b 6 9 6 则l1与l2的关系是 填 垂直 平行 答案 垂直 2 已知a a 1 1 1 b b 0 2 1 c c ma a nb b 4 4 1 若c c与a a及b b都垂直 则m n的值分别为 解析 由已知得c c m 4 m 2n 4 m n 1 故a ca c 3m n 1 0 b cb c m 5n 9 0 解得Error 答案 1 2 3 已知a a b b 满足a ba b 则 等于 1 3 2 5 2 3 15 2 解析 由 可知 1 3 3 2 5 2 15 2 9 2 答案 9 2 4 若直线l的方向向量为a a 平面 的法向量为n n 在下列四组向量中能使l 的是 填序号 a a 1 0 0 n n 2 0 0 a a 1 3 5 n n 1 0 1 a a 0 2 1 n n 1 0 1 a a 1 1 3 n n 0 3 1 解析 若l 则a na n 0 而 中a na n 2 中a na n 1 5 6 中a na n 1 只有 选项中a na n 3 3 0 答案 2 5 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a 点M在AC1上且 N为B1B的中点 则 为 AM 1 2MC1 MN 解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz 则A a 0 0 C1 0 a a N a a a 2 设M x y z 点M在AC1上且 AM 1 2MC1 x a y z x a y a z 1 2 x a y z 得M 2 3 a 3 a 3 2a 3 a 3 a 3 a MN a 2 3a 2 a a 3 2 a 2 a 3 2 21 6 答案 a 21 6 6 如图所示 PD垂直于正方形ABCD所在平面 AB 2 E为PB的中点 cos 若以DA DC DP所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系 则点 DP AE 3 3 E的坐标为 解析 设PD a 则A 2 0 0 B 2 2 0 P 0 0 a E 0 0 a 1 1 a 2 DP AE 1 1 a 2 由 cos a a 2 DP AE 3 3 a2 2 2 a2 4 3 3 E的坐标为 1 1 1 答案 1 1 1 7 已知向量a a 1 2 3 b b 1 1 1 则向量a a在向量b b方向上的投影为 3 解析 b ab a 1 1 1 1 2 3 则a a在向量b b上的投影为 1 b b 1 3 4 3 3 4 3 3 答案 4 3 3 二 解答题 每题 15 分 共 45 分 8 已知 a a x 4 1 b b 2 y 1 c c 3 2 z a ba b b cb c 求 1 a a b b c c 2 a a c c 与 b b c c 夹角的余弦值 解 1 因为a ba b 所以 x 2 4 y 1 1 解得x 2 y 4 这时a a 2 4 1 b b 2 4 1 又因为b cb c 所以b cb c 0 即 6 8 z 0 解得z 2 于是c c 3 2 2 2 由 1 得a a c c 5 2 3 b b c c 1 6 1 设 a a c c 与 b b c c 夹角为 因此 cos 5 12 3 38 38 2 19 9 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为BB1 C1D1的中点 建立适当的坐标系 求平 面AMN的一个法向量 解 以D为原点 DA DC DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 如图所示 设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 则A 1 0 0 M N 1 1 1 2 0 1 2 1 AM 0 1 1 2 AN 1 1 2 1 设平面AMN的一个法向量为n n x y z Error 令y 2 x 3 z 4 n n 3 2 4 10 在底面是菱形的四棱锥PABCD中 ABC 60 PA AC a PB PD a 点E在 2 4 PD上 且PE DE 2 1 1 证明 PA 平面ABCD 2 在棱PC上是否存在一点F 使BF 平面AEC 证明你的结论 1 证明 底面是菱形 ABC 60 AB AD AC a 在 PAB中 由PA2 AB2 2a2 PB2 知PA AB 同理 PA AD PA 平面ABCD 2 解 以A为坐标原点 直线AD AP分别为y轴 z轴 过A点垂直于平面PAD的直线 为x轴 建立如图所示的空间直角坐标系 由题设条件知 相关各点的坐标分别为A 0 0 0 B C D 0 a 0 P 0 0 a E 3 2 a 1 2a 0 3 2 a 1 2a 0 0 2 3a 1 3a A A A P B E 0 2 3a 1 3a C 3 2 a 1 2 0 P 0 0 a C 3 2 a 1 2a a P 3 2 a 1 2a a 设点F是棱PC上的点 且BF 平面AEC P 其中 0 1 则 F PC 3 2 a 1 2a a B B P F P F 3 2 a 1 2a a 3 2 a 1 2a a 3 2 a 1 1 2a 1 a 1 令B 1A 2A 得 F C E Error 即Error 解得Error B 级 综合创新备选 5 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 E F分别是棱BC DD1上的点 如果 B1E 平 面ABF 则CE与DF的和的值为 解析 以D1A1 D1C1 D1D分别为x y z轴建立空间直角坐标系 设CE x DF y 则易知E x 1 1 B1 1 1 0 x 1 0 1 又F 0 0 1 y B 1 1 1 B1E F 1 1 y B 由于A B1E 又因为B1E 平面ABF B 只需F 1 1 y x 1 0 1 0 x y 1 B B1E 答案 1 2 已知空间三点A 0 2 3 B 2 1 6 C 1 1 5 若 a a 且a a分别与 3 AB 垂直 则向量a a AC 解析 由已知条件 2 1 3 1 3 2 可观察出a a 1 1 1 AB AC 答案 1 1 1 3 已知a a 2 1 2 b b 2 2 1 则以a a b b为邻边的平行四边形的面积为 解析 a a 3 b b 3 22 1 2 2222 22 12 a ba b 2 2 1 2 2 1 4 cos a a b b sin a a b b S平 a a b b a a b b 4 9 65 9 行四边形 a b a b sin a a b b 65 答案 65 4 已知e e1 1 e e2 2 e e3 3为不共面向量 若 a a e e1 1 e e2 2 e e3 3 b b e e1 1 e e2 2 e e3 3 c c e e1 1 e e2 2 e e3 3 d d e e1 1 2e e2 2 3e e3 3 且d d xa a yb b zc c 则 x y z分别为 6 解析 由d d xa a yb b zc c得e e1 1 2e e2 2 3e e3 3 x y z e e1 1 x y z e e2 2 x y z e e3 3 Error 解得 Error 答案 1 5 2 1 2 5 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是棱DD1的中点 在棱C1D1上存在一点F 使B1F 平面 A1BE 此时 C1F FD1 答案 1 6 在直三棱柱ABCA1B1C1中 ACB 90 BAC 30 BC 1 A1A M是CC1的中 6 点 则A1B与AM的位置关系是 填 垂直 或 不垂直 答案 垂直 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 如图 已知ABCD A1B1C1D1是棱长为 3 的正方体 点E在AA1上 点F在CC1上 且 AE FC1 1 1 求证 E B F D1四点共面 2 若点G在BC上 BG 点M在BB1上 GM BF 垂足为H 求证 EM 面BCC1B1 2 3 证明 1 建立如图所示的坐标系 则 3 0 1 0 3 2 3 3 3 BE BF BD1 所以 BD1 BE BF 故 共面 BD1 BE BF 又它们有公共点B 所以E B F D1四点共面 2 如图 设M 0 0 z 则 而 0 3 2 GM 0 2 3 z BF 由题设得 3 z 2 0 得z 1 GM BF 2 3 7 因为M 0 0 1 E 3 0 1 所以 3 0 0 ME 又 0 0 3 0 3 0 BB1 BC 所以 0 0 ME BB1 ME BC 从而ME BB1 ME BC 又BB1 BC B 故ME 平面BCC1B1 8 如图所示 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直 AB AF 1 M是 2 线段EF的中点 求证 1 AM 平面BDE 2 AM 平面BDF 证明 1 建立如图所示的空间直角坐标系 设AC BD N 连接NE 则点N E的坐标分别为