（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第五篇平面向量与复数《第29讲 面向量的综合应用》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第五篇高考总复习江苏专用 理科 第五篇 平面向量与复数平面向量与复数 第第 2929 讲讲 面向量的综合应用面向量的综合应用 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备选 含解析 综合创新备选 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 1 在 ABC中 a a b b c c 且 a a 1 b b 2 c c 则 BC CA AB 3 a a b b b b c c c c a a 解析 由 a a 1 b b 2 c c 3 可得 2 2 2 B 90 C 60 A 30 所以 CA BC AB a a b b b b c c c c a a 2cos 120 2cos 150 0 4 3 答案 4 2 平面上有四个互异点A B C D 已知 2 0 则 ABC的形状 DB DC DA AB AC 是 解析 由 2 0 DB DC DA AB AC 得 0 DB DA DC DA AB AC 所以 0 AB AC AB AC 所以 2 2 0 AB AC AB AC 故 ABC是等腰三角形 答案 等腰三角形 3 已知 ABO三顶点的坐标为A 1 0 B 0 2 O 0 0 P x y 是坐标平面内一点 且 满足 0 0 则 的最小值为 AP OA BP OB OP AB 解析 由已知得 x 1 y 1 0 x 1 0 且 x y 2 0 2 AP OA BP OB 2 y 2 0 即x 1 且y 2 所以 x y 1 2 x 2y 1 4 3 OP AB 答案 3 2 4 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若 1 那么 AB AC BA BC c 解析 由题知 2 AB AC BA BC 即 AB AC AB BC AB AC CB 2 2 c AB AB 2 答案 2 5 如图 ABC的外接圆的圆心为O AB 2 AC 3 BC 则 7 AO BC 解析 AO BC AO AC AB AO AC AO AB 因为OA OB 所以在上的投影为 AO AB 1 2 AB 所以 2 AO AB 1 2 AB AB 同理 AO AC 1 2 AC AC 9 2 故 2 AO BC 9 2 5 2 答案 5 2 6 在 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c D E分别为AB BC的中点 且 则a2 b2 c2成 数列 AB CD BC AE 解析 由 得 即 2 2 AB CD BC AE CB CA CB CA AC AB AC AB CB CA 2 2 所以a2 b2 b2 c2 所以a2 b2 c2成等差数列 AC AB 答案 等差 3 7 2011 南通调研 在平面直角坐标系xOy中 已知A 0 1 B 3 4 两点 若 点C在 AOB的平分线上 且 OC 则点C的坐标是 10 解析 设C x y 则x2 y2 10 且C在 AOB平分线上 OA OC OA OC OC OB OC OB 推出y 3x y 10 3x 4y 5 10 给合点的位置关系 取x 1 y 3 即 1 3 答案 1 3 二 解答题 每小题 15 分 共 45 分 8 2011 南京模拟 已知在锐角 ABC中的内角A B C的对边分别为a b c 定义向 量m m sin B n n 且m m n n 3 cos 2B 4cos2 B 2 2 1 求函数f x sin 2xcos B cos 2xsin B的单调递减区间 2 若b 1 求 ABC的面积的最大值 解 1 因为m m n n 所以sin B cos 2B 2sin B cos B cos 2B sin 4cos2 B 2 2 33 2B cos 2B 2sin 0 3 2B 3 所以B 3 所以f x sin 2x B sin 2x 3 于是由 2k 2x 2k k Z Z 得函数f x 的单调递减区间为 2 3 3 2 k Z Z k 5 12 k 11 12 2 当b 1 时 由余弦定理 得 1 a2 c2 2accos a2 c2 ac ac 所以S 3 ABC acsin 当且仅当a c 1 时等号成立 所以 S ABC max 1 2 3 3 4 3 4 9 已知向量m m 2cos 1 n n x R R 设函数f x m m n n 1 x 2 sin x 2 1 1 求函数f x 的值域 2 已知锐角 ABC的三个内角分别为A B C 若f A f B 求f A B 的值 5 13 3 5 4 解 1 f x m m n n 1 1 2cos sin 1 1 sin x 2cos x 2 1 sin x 2 1 x 2 x 2 因为x R R 所以函数f x 的值域为 1 1 2 因为f A f B 所以 sin A sin B 5 13 3 5 5 13 3 5 因为A B都是锐角 所以 cos A cos B 1 sin2A 12 131 sin2B 4 5 故f A B sin A B sin Acos B cos Asin B 即f A B 的值为 5 13 4 5 12 13 3 5 56 65 56 65 10 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 且 2a c c 0 BC BA CA CB 1 求角B的大小 2 若b 2 试求 的最小值 3 AB CB 解 1 因为 2a c c 0 BC BA CA CB 所以 2a c accos B abccos C 0 即 2a c cos B bcos C 0 所以 2sin A sin C cos B sin Bcos C 0 即 2sin Acos B sin B C 0 因为 sin B C sin A 0 所以 cos B 所以B 1 2 2 3 2 因为b2 a2 c2 2accos 所以 12 a2 c2 ac 3ac 即ac 4 所 2 3 以 accos ac 2 当且仅当a c 2 时等号成立 所以 的最小值 AB CB 2 3 1 2 AB CB 为 2 B 级 综合创新备选 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 设O为坐标原点 A 1 1 若点B x y 满足Error 则 的最大值是 OA OB 解析 1 1 x y x y 如图所示 当B取点A时 x y max 2 OA OB 答案 2 5 2 2010 全国卷 改编 已知圆O的半径为 1 PA PB为该圆的两条切线 A B为两切 点 则 的最小值为 PA PB 解析 设 t APB PA PB 则 cos cos 2 t 1 t2 t2 1 t2 1 t2 PA PB t2 1 t2 1 t4 t2 t2 1 t2 1 3 2 3 2 t2 12 当且仅当t2 1 2 即t2 1 时等号成立 2 所以 的最小值为 2 3 PA PB 2 答案 2 3 2 3 2011 南京学情分析 设 0 1 O为坐标原点 动点P x y 满足 OM 1 1 2 ON 0 1 0 1 则z y x的最小值是 OP OM OP ON 解析 因为Error 所以可行域如图所示 所以当直线y x z经过点A 1 0 时 zmin 1 答案 1 4 2011 山东省菏泽模拟 在 ABC中 3 ABC的面积S 则 tan B AB BC 3 2 3 2 的取值范围是 解析 因为 3 ac cos B 即accos B 3 且S acsin B 即 AB BC 1 2 3 2 3 2 acsin B 3 故 1 tan B 3 3 3 6 答案 1 3 3 5 下列命题中 若 a a b b a a b b 则a a b b a a 1 1 在b b 3 4 方向上的投 影为 若 ABC中 a 5 b 8 c 7 则 20 若非零向量a a b b满足 1 5 BC CA a a b b b b 则 2b b a a 2b b 真命题的序号是 解析 由 a a b b a a b b cos a a b b cos 1 0 或 所以 a a b b 正确 a a在b b上的投影为 正确 abcos a a b b b b 1 5 BC CA C a2 b2 c2 52 82 72 20 所以 不正确 由 a a b b b b 得 a a b b 1 2 1 2 2 b b2 即a a2 2a a b b 0 所以a a2 4a a b b 2a a b b a a2a a2 4a a b b 4b b2 a a 2b b 2 即 2b b a a 2b b 即 正确 答案 6 2011 镇江调研 直线l与函数y sin x x 0 的图象相切于点A 且 l OP O为坐标原点 P为图象的极值点 l与x轴交于B点 过切点A作x轴的垂线 垂足为C 则 BC BA 解析 由条件 P为 设切点A x0 y0 即A x0 sin x0 直线OP斜率为 2 1 2 切线斜率为 sin x x x0 cos x0 2 切线方程为 y sin x0 x x0 2 令y 0 x x0 从而B C为 x0 0 从而 sin x0 2 x0 sin x0 2 0 BA 2 sin x0 sin x0 BC 2 sin x0 0 则 sin2x0 1 cos2x0 1 BA BC 2 4 2 4 2 4 1 4 2 2 4 答案 1 2 4 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 2010 江苏卷 在平面直角坐标系xOy中 点A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段AB AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数t满足 t 0 求t的值 AB OC OC 7 解 1 由题设知 3 5 1 1 则 2 6 4 4 所以 AB AC AB AC AB AC 2 AB AC 10 4 AB AC 2 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 210 2 由题设知 2 1 t 3 2t 5 t OC AB OC 由 t 0 得 3 2t 5 t 2 1 0 AB OC OC 即 5t 11 所以t 11 5 8 已知向量 2 0 0 1 动点M到定直线y 1 的距离等于d 并且满足 OA OC AB k d2 其中O为坐标原点 k为参数 OM AM CM BM 1 求动点M的轨迹方程 并判断曲线类型 2 当k 时 求 2 的最大值和最小值 1 2 OM AM 解 1 设M x y 则由 2 0 0 1 且O为原点得 A 2 0 B 2 1 OA OC AB C 0 1 从而 x y x 2 y x y 1 x 2 y 1 d y 1 代入 OM AM CM BM k d2 OM AM CM BM 得 1 k x2 2 k 1 x y2 0 为所求的轨迹方程