【步步高】届高三数学大一轮复习 对数与对数函数学案 理 新人教A版

1 学案学案 8 8 对数与对数函数对数与对数函数 导学目标 1 理解对数的概念及其运算性质 知道用换底公式能将一般对数转化为自 然对数或常用对数 了解对数在简化运算中的作用 2 理解对数函数的概念 理解对数函数 的单调性与函数图象通过的特殊点 知道指数函数 y ax与对数函数 y logax 互为反函数 a 0 a 1 体会对数函数是一类重要的函数模型 自主梳理 1 对数的定义 如果 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数 记作 其中 叫做对数的底数 叫做真数 2 对数的性质与运算法则 1 对数的性质 a 0 且 a 1 N a alog1loga N aa loga a log 2 对数的重要公式 换底公式 logbN a b 均大于零且不等于 1 推广 b a log a b log 1 dcb cba logloglog 3 对数的运算法则 如果 a 0 且 a 1 M 0 N 0 那么 loga MN loga M N logaMn n R R logaM n a M m log n m 3 对数函数的图象与性质 a 10 a1 时 当 0 x1 时 当 0 x 1 时 2 6 是 0 上的 函数 7 是 0 上的 函数 4 反函数 指数函数y ax与对数函数 互为反函数 它们的图象关于直线 对 称 自我检测 1 2010 四川 2log510 log50 25 的值为 A 0B 1C 2D 4 2 2010 辽宁 设 2a 5b m 且 2 则m的值为 1 a 1 b A B 10C 20D 100 10 3 2009 辽宁 已知函数f x 满足 当x 4 时 f x x 当x0 的x的取值范围是 log 8 1 xf A 0 B 0 2 1 2 C 0 2 D 0 1 8 1 2 1 2 5 2011 台州期末 已知 0 a b 1 c m logac n logbc 则m与n的大小关系是 探究点一 对数式的化简与求值 例 1 计算 1 32 log 32 2 lg lg lg 1 2 32 49 4 38245 3 已知 2lg lg x lg y 求 x y 2 y x 223 log 变式迁移 1 计算 1 log2 log212 log242 1 7 48 1 2 2 lg 2 2 lg 2 lg 50 lg 25 3 探究点二 含对数式的大小比较 例 2 1 比较下列各组数的大小 log3与 log5 2 3 6 5 log1 10 7 与 log1 20 7 2 已知 logb logab cB a c b C b a cD b c a 2 设a b c均为正数 且 2a b c log2c 则 a 2 1 log 1 2 b 2 1 log 1 2 A a b cB c b a0 C c a bD b a0 且a 1 如果对于任意的x 2 都有 f x 1 成 1 3 立 试求a的取值范围 变式迁移 3 2010 全国 已知函数f x lg x 若 0 a0 a 1 1 解关于x的不等式 loga 1 ax f 1 2 设A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 是f x 图象上的两点 求证 直线AB的斜率小于 0 答题模板 1 解 f x loga 1 ax f 1 loga 1 a 1 a 0 0 aloga 1 a Error 即Error 0 x 1 不等式的解集为 0 1 4 分 2 证明 设x10 ax1 时 f x 的定义域为 0 6 分 0 a 1 时 f x 的定义域为 0 4 当 0 ax1 0 1 0 1 2 1 1 x x a a 1 2 1 1 log x x a a a f x2 f x1 即y21 时 也有y2 y1 10 分 综上 y2 y1 即y2 y1 0 kAB 1 或 0 a0 且a 1 若a 1 则 logaf x logag x f x g x 0 若 0 alogag x 0 f x g x 2 同真数的对数值大小关系如图 图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大 即 0 c d 1 a0 且a 1 等价于f x g x 但要注意验根 对于 logaf x logag x 等价于 0 a1 时 0 0 xgxf xg xf 0 0 xgxf xg xf 2 形如F logax 0 F logax 0 或F logax 0 一般采用换元法求解 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2010 北京市丰台区高三一调 设M y y x x 0 1 2 5 N y y log2x x 0 1 则集合M N等于 A 0 1 B 0 C 1 D 0 0 1 2 2010 全国 设a log32 b ln 2 c 5 则 1 2 A a b cB b c a C c a bD c bf a 则实数a的取值范围是 A 1 0 0 1 B 1 1 C 1 0 1 D 1 0 1 4 2011 济南模拟 设函数f x 定义在实数集上 f 2 x f x 且当x 1 时 f x ln x 则有 A f f 2 f 1 3 1 2 B f f 2 f 1 2 1 3 C f f f 2 1 2 1 3 D f 2 f 0 a 1 在 1 2 上的最大值与最 小值之和为 loga2 6 则a的值为 A B C 2D 4 1 2 1 4 题号 12345 答案 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 2lg 5 lg 8 lg 5 lg 20 lg22 2 3 7 2011 湖南师大附中检测 已知函数f x lg在区间 1 2 上是增函数 ax a 2 x 则实数a的取值范围是 8 已知f 3x 4xlog23 233 则f 2 f 4 f 8 f 28 三 解答题 共 38 分 9 12 分 已知f x 2 log3x x 1 9 求y f x 2 f x2 的最大值及y取最 大值时x的值 10 12 分 2011 北京东城 1 月检测 已知函数f x loga x 1 loga 1 x a 0 且a 1 1 求f x 的定义域 2 判断f x 的奇偶性并予以证明 3 若a 1 时 求使f x 0 的x的解集 6 11 14 分 2011 郑州模拟 已知函数f x lg ax bx a 1 b 0 1 求y f x 的定义域 2 在函数y f x 的图象上是否存在不同的两点 使得过这两点的直线平行于x轴 3 当a b满足什么条件时 f x 在 1 上恒取正值 答案答案 自主梳理 1 ax N a 0 且a 1 x logaN a N 2 1 N 0 N 1 2 logaN logab logad 3 logaM logaN logaM logaN nlogaM 3 1 0 2 R R 3 1 0 1 0 4 y 0 y 0 5 y0 6 增 7 减 4 y logax y x 自我检测 1 C 2 A 3 A 因为 3 2 log234 故f 3 log23 3 log23 3 1 2 1 2 1 3 1 24 4 B 由题意可得 f x f x f x f logx f f x 在 0 上 1 8 1 3 递增 于是 logx 解得x的取值范围是 0 2 1 8 1 3 1 2 5 m n 解析 m 0 n 0 logac logcb logabn m n 课堂活动区 例 1 解题导引 在对数运算中 先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数 指数幂的形式 使幂的底数最简 然后再运用对数运算法则化简合并 在运算中要注意化 同底和指数与对数互化 解 1 方法一 利用对数定义求值 设 x 32 log 32 则 2 x 2 2 1 33 1 2 33 x 1 方法二 利用对数的运算性质求解 32 log 32 32 1 log 32 1 1 32 32 log 2 原式 lg 32 lg 49 lg 8 1 2 4 3 1 2 lg 245 5lg 2 2lg 7 lg 2 2lg 7 lg 5 1 2 1 2 4 3 3 2 1 2 lg 2 lg 7 2lg 2 lg 7 lg 5 5 2 1 2 lg 2 lg 5 1 2 1 2 7 lg 2 5 lg 10 1 2 1 2 1 2 3 由已知得 lg 2 lg xy x y 2 2 xy 即x2 6xy y2 0 x y 2 2 6 1 0 3 2 x y x y x y2 Error 1 3 2 x y x y2 log 3 2 log 3 2 3 2 2 x y22 log 1 3 2 2 1 3 2 2 变式迁移 1 解 1 原式 log2 log212 log2 log22 7 4842 log2 log2 log22 7 12 48 42 2 1 2 2 3 2 3 2 2 原式 lg 2 lg 2 lg 50 lg 25 21g 2 lg 25 lg 100 2 例 2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型 解决此类问 题的方法很多 当底数相同时 可直接利用对数函数的单调性比较 若底数不同 真 数相同 可转化为同底 利用换底公式 或利用对数函数图象 数形结合解得 若不同底 不同真数 则可利用中间量进行比较 解 1 log3log51 0 log3 log5 6 5 2 3 6 5 方法一 0 0 7 1 1 1log0 71 1 log0 71 2 1 log0 71 1 1 log0 71 2 由换底公式可得 log1 10 7 log1 20 7 方法二 作出y log1 1x与y log1 2x的图象 如图所示 两图象与x 0 7 相交可知 log1 10 7 log1 20 7 2 y logx为减函数 1 2 且 logb logaa c 1 2 1 2 1 2 而y 2x是增函数 2b 2a 2c 变式迁移 2 1 A a log3 1 b log23 则 b 1 c log32b c 1 2 1 2 1 2 1 2 2 A a b c均为正 8 loga 2a 1 logb b 0 1 1 2 1 2 1 2 log2c c 0 1 1 2 0 a b 1 1 c 2 1 2 1 2 故a b1 时 得a 1 a 即a 3 1 3 当 0 a 1 时 得a 1 a 得 0 a 1 3 1 3 综上所述 a的取值范围是 0 3 1 3 变式迁移 3 C 画出函数f x lg x 的图象如图所示 0 a b f a f b 0 a1 lg a0 由f a f b lg a lg b ab 1 b a 2b a 1 a 2 a 又 0 a1 3 即a 2b 3 2 a 2 1 课后练习区 9 1 C x 0 y x 0 1 M 0 1 1 2 当 01 log2e 1 log23 log2e 1 a 1 b 1 0 a blog3 a 3 1 2 1 2 b ln 2 ln b e 1 2 1 2 c 5 c a0 时 f a log2a f a a 2 1 log f a f a 即 log2a log2 a 2 1 log 1 a a 解得a 1 1 a 当af a 即 log2 a log 2 1 a a 1 log 2 1 a 解得 1 a 0 1 a 由 得 1 a1 4 C 由f 2 x f x 知f x 的图象关于直线x 1 对称 又当x 1 时 2 x x 2 f x ln x 所以离对称轴x 1 距离大的x的函数值大 2 1 1 1 1 3 1 2 f f 0 时 函数ax logax的单调性相同 因此函数f x ax logax是 0 上的单调函数 f x 在 1 2 上的最大值与最小值之和为f 1 f 2 a2 a loga2 由题意得a2 a loga2 6 loga2 即a2 a 6 0 解得a 2 或 a 3 舍去 6 3 7 1 2 解析 因为f x lg在区间 1 2 上是增函数 所以g x a 在区间 a a 2 x a 2 x 1 2 上是增函数 且g 1 0 于是a 20 即 1 a 2 8 2 008 解析 令 3x t f t 4log2t 233 f 2 f 4 f 8 f 28 4 1 2 8 8 233 4 36 1 864 2 008 9 解 f x 2 log3x y f x 2 f x2 2 log3x 2 2 log3x2 logx 6log3x 6 log3x 3 2 3 2 3 4 分 10 函数f x 的定义域为 1 9 要使函数y f x 2 f x2 有意义 必须Error 1 x 3 0 log3x 1 8 分 6 log3x 3 2 3 13 当 log3x 1 即x 3 时 ymax 13 当x 3 时 函数y f x 2 f x2 取最大值 13 12 分 10 解 1 f x loga x 1 loga 1 x 则Error 解得 1 x 1 故所求函数f x 的定义域为 x 1 x 1 4 分 2 由 1 知f x 的定义域为 x 1 x1 时 f x 在定义域 x 1 x0 1 x 1 1 x 解得 0 x0 的x的解集是 x 0 x0 得 x 1 且a 1 b 0 得 1 所以x 0 即f x 的定义域 a b a b 为 0 4 分 2 任取x1 x2 0 a 1 b 0