（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第八篇《第48讲　空间几何体的表面积与体积》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第八篇高考总复习江苏专用 理科 第八篇 第第 4848 讲讲 空间几何空间几何 体的表面积与体积体的表面积与体积 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备选 含解析 综合创新备选 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 1 2011 常州模拟 在三棱锥S ABC中 面SAB SBC SAC都是以S为直角顶点的等腰直 角三角形 且AB BC CA 2 则三棱锥S ABC的表面积是 解析 设侧棱长为a 则a 2 a 侧面积为 3 a2 3 底面积为 22 22 1 2 3 43 表面积为 3 3 答案 3 3 2 2010 湖北 圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水 若放入三个相同的球 球的半径与圆 柱的底面半径相同 后 水恰好淹没最上面的球 如图所示 则球的半径是 cm 解析 设球的半径为r cm 则 r2 8 r3 3 r2 6r 解得r 4 cm 4 3 答案 4 3 2010 苏州模拟 如图所示 已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成 则该多面体的体积是 解析 由题知该多面体为正四棱锥 底面边长为 1 侧棱长为 1 斜高为 连接顶点和底 3 2 面中心即为高 可求得高为 所以体积V 1 1 2 2 1 3 2 2 2 6 答案 2 6 4 2011 扬州模拟 如图所示 已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为 1 且AA1 底面 ABC 则三棱锥B1 ABC1的体积为 2 解析 三棱锥B1 ABC1的体积等于三棱锥A B1BC1的体积 三棱锥A B1BC1的高为 底面 3 2 积为 故其体积为 1 2 1 3 1 2 3 2 3 12 答案 3 12 5 某种卷筒卫生纸绕在盘上 空盘时盘芯直径 40 mm 满盘时直径 120 mm 已知卫生纸的 厚度为 0 1 mm 则满盘时卫生纸的总长度大约是 m 取 3 14 精确到 1 m 解析 卫生纸总长度为 3 14 32 000 100 480 mm 100 m 602 202 0 1 答案 100 6 2010 苏州模拟 已知一个凸多面体共有 9 个面 所有棱长均为 1 其平面展开图如图 所示 则该凸多面体的体积V 解析 该凸多面体由一个正方体及一个正四棱锥组成 因为正方体的棱长为 1 所以V正方体 13 1 因为正四棱锥的棱长全为 1 所以正四棱锥的底面积为 1 1 1 又因为正四棱锥的高为 1 2 2 2 2 2 所以此凸多面体的体积V 1 1 1 1 3 2 2 2 6 答案 1 2 6 7 空间点到平面的距离定义如下 过空间一点作平面的垂线 这点和垂足之间的距离叫做 这个点到这个平面的距离 平面 两两互相垂直 点A 点A到平面 3 的距离都是 3 点P是 上的动点 且满足P到 的距离是P到点A距离的 2 倍 则点P到平面 的距离的最小值为 解析 由题意 可在平面 建立直角坐标系如图所示 问题变为已知PB 2PA 求PC的 最小值 设P x y 则有 3 x 2 即 4y2 3 x 1 2 12 12 y 所以 x2 y23 PC 3 y 3 故所求的最小值为 3 33 答案 3 3 二 解答题 每小题 15 分 共 45 分 8 在四面体的六条棱中 有五条棱长都等于a 1 求该四面体的体积的最大值 2 当四面体的体积最大时 求其表面积 解 1 如图 在四面体ABCD中 设AB BC CD AC BD a AD x 取AD的中点为 P BC的中点为E 连接BP EP CP 得到AD 平面BPC VABCD VABPC VDBPC S BPC AP S BPC PD 1 3 1 3 S BPC AD 1 3 a x 1 3 1 2 a2 x2 4 a2 4 a 12 3a2 x2 x2 a3 当且仅当x a时取等号 a 12 3a2 2 1 8 6 2 该四面体的体积的最大值为a3 1 8 2 由 1 知 ABC和 BCD都是边长为a的正三角形 ABD和 ACD是全等的等腰三角 形 其腰长为a 底边长为a S表 2 a2 2 a 6 2 3 4 1 2 6 2 a2 6 4 a 2 4 a2 a 3 2 6 2 10a 4 a2 3 2 15a2 4 a2 2 3 15 4 9 一个正三棱锥的底面边长为 6 侧棱长为 求这个三棱锥的体积 15 解 如图所示 正三棱锥S ABC 设H为正 ABC的中心 连接SH 则SH的长即为该正三棱锥的高 连接AH并延长交BC于E 则E为BC的中点 且AH BC 因为 ABC是边长为 6 的正三角形 AE 6 3 所以AH AE 2 3 23 2 33 在 ABC中 S ABC BC AE 6 3 9 1 2 1 233 在 Rt SHA中 SA AH 2 153 所以SH SA2 AH215 123 故V正三棱锥 S ABC SH 9 9 1 3 1 333 10 如图所示 斜三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为a的正三角形 侧棱长等于b 一条 侧棱AA1和底面相邻两边AB AC都成 45 角 求这个三棱柱的侧面积 解 求斜棱柱的侧面积一般有两种方法 一是定义法 二是公式法 因为AA1和底面AB AC成等角 且为 45 角 所以A1在底面ABC上的射影在 BAC的平分线AG上 又 ABC为正三角形 所以AG BC 5 因为A1A在底面ABC上的射影在AG上 所以BC A1A 又A1A B1B 所以B1B BC 即侧面B1BCC1为矩形 所以SB1BCC1 B1B BC ab 又侧面A1ABB1和侧面A1ACC1都是平行四边形 且全等 所以SA1ABB1 SA1ACC1 A1A AB sin 45 ab 2 2 故S侧 1 ab 2 B 级 综合创新备选 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 2011 南京模拟 用半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥桶 那么这个圆锥的高是 解析 底面圆的周长为 R 底面圆的半径为 所以圆锥高为h R R 2 R2 R 2 2 3 2 答案 R 3 2 2 2011 南京调研 如图 已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为 2 cm 高为 5 cm 则 一质点自点A出发 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为 cm 解析 根据题意 利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱 然后将其展开为如图 所示的实线部分 则可知所求最短路线的长为 13 cm 52 122 答案 13 3 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 点M是BC的中点 点P是平面ABCD内的一个动点 且满足PM 2 P到直线A1D1的距离为 则点P的轨迹是 5 解析 由PM 2 知点P在以M为圆心 2 为半径的圆上 又由P到直线A1D1的距离为 5 6 知点P在与BC平行且过AB中点的直线上 故点P的轨迹是它们的交点 即为两点 答案 两个点 4 2011 扬州中学冲刺 在 120 的二面角内放置一个小球 它与二面角的两个面相切于 A B两点 这两个点的距离AB 5 则小球的半径为 解析 如图 在 ABC中 AC BC AB 5 ACB 120 所以 AOB 60 所以 AOB 是等边三角形 OA OB AB 5 答案 5 5 2011 南京模拟 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AB 1 BC 2 AC AA1 3 M为线段B1B上的一动点 则当AM MC1最小时 AMC1 5 的面积为 解析 如图 当AM MC1最小时 BM 1 所以AM2 2 C1M2 8 AC 14 于是由余弦定 2 1 理 得 cos AMC1 AM2 MC2 1 AC2 1 2AM MC1 1 2 所以 sin AMC1 S AMC1 2 3 2 1 222 3 23 答案 3 6 如图 在透明塑料制成的长方体ABCD A1B1C1D1容器内灌进一些水 将容器底面一边BC 固定于地面上 再将容器倾斜 随着倾斜度的不同 有下列四个说法 7 水的部分始终呈棱柱状 水面四边形EFGH的面积不改变 棱A1D1始终与水面EFGH平行 当E AA1时 AE BF是定值 其中所有正确的命题的序号是 解析 观察图形并试验可知 正确 不正确 正确 中AE B1F BF A1E 所以 AE BF AA1为定值 故正确命题是 答案 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 给出一块边长为 2 的正三角形纸片 把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥 并使它的全面积与原三角形面积相等 设计一种折叠方法 用虚线标在图中 并求该三棱 锥的体积 解 取等边三角形三边的中点A B C 连结AB BC CA得正三角形的三条中位线 以中 位线为折线折起三角形 使三角形三顶点重合 则得侧棱长与底面边长都等于 1 的三棱 锥S ABC 作SO 平面ABC 连结并延长CO交AB于E 则E是AB的中点 连结SE 因为O是 ABC的内心 所以OC CE 2 3 2 3 3 2 3 3 在 Rt SOC中 SC 1 SO SC2 OC2 1 1 3 6 3 故VS ABC S ABC SO CE AB SO 1 3 1 3 1 2 1 1 6 3 2 6 3 2 12 8 如图所示 在平行四边形ABCD中 DAB 60 AB 2 AD 4 将 CBD沿BD折起到 8 EBD的位置 使平面EBD 平面ABD 1 求证 AB DE 2 求三棱锥E ABD的侧面积 1 证明 在 ABD中 因为AB 2 AD 4 DAB 60 所以BD 2 AB2 AD2 2AB AD cos DAB3 所以AB2 BD2 AD2 所以AB BD 又因为平面EBD 平面ABD 平面EBD 平面ABD BD AB 平面ABD 所以AB 平面EBD 又因为DE 平面EBD 所以AB DE 2 解 由 1 知AB BD 因为CD AB