截面形心和惯性矩的计算

工程构件典型截面几何性质的计算工程构件典型截面几何性质的计算 2 12 1面积矩面积矩 1 1 面积矩的定义 面积矩的定义 图2 2 1任意截 面的几何图形 如图2 31所示为一任意截面 的几何图形 以下简称图形 定义 积分和 分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静 矩 用符号Sz和Sy 来表示 如式 2 2 1 2 2 2 1 2 1 面积矩的数值可正 可负 也可为零 面积矩的 量纲是长度的三次方 其常用单位为 m3或 mm3 2 2 面积矩与形心 面积矩与形心 平面图形的形心坐标公式如式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 或改写成 如式 2 2 3 2 2 2 3 2 3 面积矩的几何意义 图形的形心相对于指定的坐 标轴之间距离的远近程度 图形形心相对于某一坐标 距离愈远 对该轴的面积矩绝对值愈大 图形对通过其形心的轴的面积矩等于零 反之 图形对某一轴的面积矩等于零 该轴一定通过图形形 心 3 3 组合截面面积矩和形心的计算 组合截面面积矩和形心的计算 组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对 该轴面积矩的代数和 如式 2 2 4 2 2 2 4 2 4 式中 A和yi zi分别代表各简单图形的面积和形 心坐标 组合平面图形的形心位置由式 2 2 5 确定 2 2 2 5 2 5 2 22 2极惯性矩 极惯性矩 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积 1 1 极惯性矩 极惯性矩 任意平面图形如图2 31所示 其面积为A 定义 积分称为图形对O点的极惯性矩 用符号 IP 表示 如式 2 2 6 2 2 2 6 2 6 极惯性矩是相对于指定的点而言的 即同一图形 对不同的点的极惯性矩一般是不同的 极惯性矩恒为 正 其量纲是长度的4次方 常用单位为 m4或 mm4 1 圆截面对其圆心的极惯性矩 如式 2 7 2 2 2 7 2 7 2 对于外径为 D 内径为 d 的空心圆截面对圆心 的极惯性矩 如式 2 2 8 2 2 2 8 2 8 式中 d D为空心圆截面内 外径的比值 2 2 惯性矩 惯性矩 在如图6 1所示中 定义积分 如式 2 2 9 2 2 2 9 2 9 称为图形对z轴和y轴的惯性矩 惯性矩是对一 定的轴而言的 同一图形对不同的轴的惯性矩一般不 同 惯性矩恒为正值 其量纲和单位与极惯性矩相同 同一图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的 极惯性矩存在着一定的关系 如式2 2 10 I IP P I Iz z I Iy y 2 2 2 10 2 10 上式表明 图形对任一点的极惯性矩 等于图形 对通过此点且在其平面内的任一对正交轴惯性矩之和 表6 1给出了一些常见截面图形的面积 形心和 惯性矩计算公式 以便查用 工程中使用的型钢截面 如工字钢 槽钢 角钢等 这些截面的几何性质可从 附录的型钢表中查取 3 3 惯性积 惯性积 如图2 32所示 积分定义为图形对 y z轴的惯性积 用符号Iyz表示 如式 2 11 2 2 11 11 图2 2 2具有轴 对称的图形 惯性积是对于一定的一对正交坐标轴而言的 即同一 图形对不同的正交坐标轴的惯性积不同 惯性积的数 值可正 可负 可为零 其量纲和单位与惯性矩相同 由惯性积的定义可以得出如下结论 若图形具有 对称轴 则图形对包含此对称轴在内的一对正交坐标 抽的惯性积为零 如图2 32所示 y为图形的对称轴 则整个图形对y z轴的惯 性积等于零 常见图形的面积 形心和惯性矩常见图形的面积 形心和惯性矩 表表2 2 2 12 1 序 号 图 形面 积 形 心 位 置 惯性矩 形心轴 1 2 3 4 5 6 2 2 3 3组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩 1 1 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 任意平面 图形如图2 33 所示 z y为 一对正交的形 心轴 z1 y1 为与形心轴平 行的另一对正 交轴 平行轴 间的距离分别 为a和b 已 知图形对形心 轴的惯性矩 Iz Iy和惯性 积Izy 现求图 形对z1 y1轴 的惯性矩 Iz1 Iy1和惯性 积Iz1y1 有惯 性矩和惯性积 的平行移轴公 式如式 2 2 12 和式 2 2 13 2 2 2 12 2 12 Iz1y1 Izy abA 2 2 2 13 2 13 可见 图形对于形心轴的惯性矩是对所有平行轴 的惯性矩中最小的一个 在应用平行移轴公式 2 2 12 时 要注意应用条件 即y z轴必须是通过形 心的轴 且z1 y1轴必须分别与z y轴平行 在应用 式 2 2 13 计算惯性积时 还须注意a b的正负号 它们是截面形心c在z1oy1坐标系中的坐标值 2 2 组合截合惯性矩计算 组合截合惯性矩计算 组合图形对某一轴的惯性矩 等于其各组成部分 简单图形对该轴惯性矩之和 如式 2 2 14 2 2 2 14 2 14 在计算组合图形对z y轴的惯性矩时 应先将组 合图形分成若干个简单图形 并计算出每一简单图形 对平行于z y轴的自身形心轴的惯性矩 然后利用平 行移轴公式 2 2 12 计算出各简单图形对z y轴的 惯性矩 最后利用式 2 2 14 求总和 2 42 4主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩 过图形上任一点都可得到一对主轴 通过截面图 形形心的主惯性轴 称为形心主轴 图形对形心主轴 的惯性矩称为形心主惯性矩 在对构件进行强度 刚 度和稳定计算中 常常需要确定形心主轴和计算形心 主惯性矩 因此 确定形心主轴的位置是十分重要的 由于图形对包括其对称轴在内的一对正交坐标轴的惯 性积为零 所以对于如图6 4所示具有对称轴的截面图 形 可根据图形具有对称轴的情况 观察确定形心主 轴的位置 1 如果图形有一根对称轴 则此轴必定是形心主 轴 而另一根形心主轴通过形心 并与对称轴垂直 如图2 34 b d 所示 2 如果图形有两根对称轴 则该两轴都为形心主 轴 如图6 4 a c 所示 3 如果图形具有3根或更多根对称轴 过图形形 心的任何轴都是形心主 轴 且图形对其任一形心主 轴的惯性矩都相等 如图6 4 e f 所示 图2 2 4具有 对称轴的截 面图形 抗抗弯弯截截面面系系数数 在横截面上离中性轴最远的各点处 弯曲正应力最大 其