自编实际问题极值与二次函数

22 3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数 第第 2 课时课时 商品利润最大问题商品利润最大问题 学习目标学习目标 1 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题 重点 2 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围 难点 导入新课导入新课 情境引入情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题 商品买卖过程中 作为商家追求利润最大化是永恒 的追求 如果你是商场经理 如何定价才能使商场获得最大利润呢 讲授新课讲授新课 一 利润问题中的数量关系利润问题中的数量关系 某商品现在的售价为每件 60 元 每星期可卖出 300 件 已知商品的进价为每件 40 元 则每星期销售额是 18000 元 销售利润 6000 元 数量关系数量关系 1 销售额 售价 销售量 2 利润 销售额 总成本 单件利润 销售量 3 单件利润 售价 进 价 二 如何定价利润最大如何定价利润最大 例 1 某商品现在的售价为每件 60 元 每星期可卖出 300 件 市场调查反映 每涨价 1 元 每星期少卖出 10 件 每降价 1 元 每星期可多卖出 20 件 已知商品的进价为每件 40 元 如何定价才能使利润最大 1 涨价销售涨价销售 每件涨价 x 元 则每星期售出商品的利润 y 元 填空 单件利润 元 销售量 件 销售量 件 每星期利润 元 正常销售203006000 涨价 x 元销售20 x300 10 xy 20 x 300 10 x 建立函数关系式 建立函数关系式 y 20 x 300 10 x 配方得 配方得 y 10 x2 100 x 6000 10 x 5 2 6250 自变量 x 的取值范围如何确定 营销规律是价格上涨 销量下降 因此只要考虑销售量就可以 故营销规律是价格上涨 销量下降 因此只要考虑销售量就可以 故 300 10 x 0 且 且 x 0 因此自变量的取值范围是因此自变量的取值范围是 0 x 30 涨价多少元时 利润最大 最大利润是多少 当当 x 5 时时 y最大 最大 10 52 100 5 6000 6250 即定价即定价 60 5 65 元时 最大利润是元时 最大利润是 6250 元元 2 降价销售降价销售 每件降价 x 元 则每星期售出商品的利润 y 元 填表 单件利润 元 销售量 件 每星期利润 元 正常销售203006000 降价 x 元销售20 x300 20 xy 20 x 300 20 x 建立函数关系式 建立函数关系式 y 20 x 300 20 x 配方得 配方得 y 20 x2 100 x 6000 10 x 2 5 2 6125 自变量 x 的取值范围如何确定 营销规律是价格下降 销量上升 利润减小 因此只要考虑单件利润就可以 故营销规律是价格下降 销量上升 利润减小 因此只要考虑单件利润就可以 故 20 x 0 且 且 x 0 因此自变量的因此自变量的 取值范围是取值范围是 0 x 20 降价多少元时 利润最大 是多少 当当 x 2 5 时时 y最大 最大 6125 即定价 即定价 60 2 5 57 5 元时 最大利润是元时 最大利润是 6250 元元 综合可知 应定价综合可知 应定价 65 元时 才能使利润最大元时 才能使利润最大 知识要点知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 求解最大利润问题的一般步骤 1 1 建立利润与价格之间的函数关系式 运用 建立利润与价格之间的函数关系式 运用 总利润总利润 单件利润单件利润 销售量销售量 或或 总利润总利润 总售价 总成本总售价 总成本 2 2 结合实际意义 确定自变量的取值范围 结合实际意义 确定自变量的取值范围 3 3 在自变量的取值范围内确定最大利润 可以利用配方法或公式求出最大利润 也 在自变量的取值范围内确定最大利润 可以利用配方法或公式求出最大利润 也 可以画出函数的简图 利用简图和性质求出可以画出函数的简图 利用简图和性质求出 课堂练习课堂练习 1 某网络玩具店引进一批进价为 20 元 件的玩具 如果以单价 30 元出售 那么一个月内售出 180 件 由 1 2 的讨论及现在的 销售情况 你知道应该如何 定价能使利润最大了吗 根据销售经验 提高销售单价会导致销售量的下降 即销售单价每上涨 1 元 月销售量将相应减少 10 件 当销售 单价为多少元时 该店能在一个月内获得最大利润 每件商品的销售单价上涨 x 元 一个月内获取的商品总利润为 y 元 填空 单件利润 元 销售量 件 销售量 件 每星期利润 元 正常销售101801800 涨价 x 元销售10 x180 10 xy 10 x 180 10 x 建立函数关系式 建立函数关系式 y 10 x 180 10 x 配方得 配方得 y 10 x2 80 x 1800 10 x 4 2 1960 自变量 x 的取值范围如何确定 营销规律是价格上涨 销量下降 因此只要考虑销售量就可以 故营销规律是价格上涨 销量下降 因此只要考虑销售量就可以 故 180 10 x 0 且 且 x 0 因此自变量的取值范围是因此自变量的取值范围是 0 x 18 降价多少元时 利润最大 是多少 当当 x 4 时 即销售单价为时 即销售单价为 30 4 34 元时 元时 y 取最大值取最大值 1960 元元 答 当销售单价为答 当销售单价为 34 元时 该店在一个月内能获得最大利润元时 该店在一个月内能获得最大利润 1960 元元 2 2018 江苏淮安 25 10 分 某景区商店销售一种纪念品 每件的进货价为 40 元 经市场调研 当该纪念品每件 的销售价为 50 元时 每天可销售 200 件 当每件的销售价每增加 1 元 每天的销售数量将减少 10 件 1 当每件的销售价为 52 元时 该纪念品每天的销售数量为 180 件 2 当每件的销售价 x 为多少时 销售该纪念品每天获得的利润 y 最大 并求出最大利润 分析 1 根据根据 当每件的销售价每增加当每件的销售价每增加 1 元 每天的销售数量将减少元 每天的销售数量将减少 10 件件 即可答案 即可答案 2 根据等量关系根据等量关系 利润利润 售价售价 进价进价 销量销量 列出函数关系式 根据二次函数的性质 即可答案 列出函数关系式 根据二次函数的性质 即可答案 单件利润 元 销售量 件 销售量 件 每星期利润 元 正常销售50 40 102002000 涨价后销售为 x 元x 40 200 10 x 50 y x 40 200 10 x 50 答案 解 解 1 由题意得 由题意得 200 10 52 50 200 20 180 件件 故答案为 故答案为 180 2 由题意得 由题意得 y x 40 200 10 x 50 10 x2 1100 x 28000 10 x 55 2 2250 每件销售价为每件销售价为 55 元时 获得最大利润 最大利润为元时 获得最大利润 最大利润为 2250 元 元 点评 此题主要考查了二次函数的应用 根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点 同学们应重点掌此题主要考查了二次函数的应用 根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点 同学们应重点掌 握 握 课堂小结 课堂小结 22 3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数 第第 2 课时课时 商品利润最大问题商品利润最大问题 学案学案 学习目标学习目标 1 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题 重点 2 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围 难点 新课学习新课学习 一 利润问题中的数量关系利润问题中的数量关系 某商品现在的售价为每件 60 元 每星期可卖出 300 件 已知商品的进价为每件 40 元 则每星期销售额是 元 销售利润 元 数量关系数量关系 1 销售额 售价 销售量 2 利润 销售额 总成本 单件利润 销售量 3 单件利润 售价 进价 二 如何定价利润最大如何定价利润最大 例例 1 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件 60 元 每星期可卖出元 每星期可卖出 300 件 市场调查反映 每涨价件 市场调查反映 每涨价 1 元 每星期少卖出元 每星期少卖出 10 件 件 每降价每降价 1 元 每星期可多卖出元 每星期可多卖出 20 件 已知商品的进价为每件件 已知商品的进价为每件 40 元 如何定价才能使利润最大 元 如何定价才能使利润最大 1 涨价销售涨价销售 每件涨价 x 元 则每星期售出商品的利润 y 元 填空 单件利润 元 销售量 件 销售量 件 每星期利润 元 正常销售 涨价 x 元销售 建立函数关系式 建立函数关系式 配方得 配方得 自变量 x 的取值范围如何确定 营销规律是营销规律是价格上涨 销量下降 价格上涨 销量下降 因此只要考虑销售量就可以 故因此只要考虑销售量就可以 故 300 10 x 0 且 且 x 0 因此自变量因此自变量 x 的取值范围的取值范围 是是 涨价多少元时 利润最大 最大利润是多少 当当 x 时时 y最大 最大 即定价为 即定价为 元时 最大利润是元时 最大利润是 元元 2 降价销售降价销售 每件降价 x 元 则每星期售出商品的利润 y 元 填空 单件利润 元 销售量 件 每星期利润 元 正常销售 降价 x 元销售 建立函数关系式 建立函数关系式 配方得 配方得 自变量 x 的取值范围如何确定 营销规律是营销规律是价格下降 销量上升 价格下降 销量上升 利润减小 因此只要考虑单件利润就可以 故利润减小 因此只要考虑单件利润就可以 故 20 x 0 且 且 x 0 因此自变量因此自变量 x 的取值范围是的取值范围是 降价多少元时 利润最大 是多少 当当 x 时时 y最大 最大 即定价为 即定价为 元时 最大利润是元时 最大利润是 元元 综上可知 应定价综上可知 应定价 元时 才能使利润最大元时 才能使利润最大 知识要点知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 求解最大利润问题的一般步骤 1 1 建立利润与价格之间的函数关系式 运用 建立利润与价格之间的函数关系式 运用 总利润总利润 单件利润单件利润 销售量销售量 或或 总利润总利润 总售价 总成本总售价 总成本 2 2 结合实际意义 确定自变量的取值范围 结合实际意义 确定自变量的取值范围 3 3 在自变量的取值范围内确定最大利润 可以利用配方法或公式求出最大利润 也 在自变量的取值范围内确定最大利润 可以利用配方法或公式求出最大利润 也 可以画出函数的简图 利用简图和性质求出可以画出函数的简图 利用简图和性质求出 课堂练习课堂练习 1 某网络玩具店引进一批进价为某网络玩具店引进一批进价为 20 元元 件的玩具 如果以单价件的玩具 如果以单价 30 元出售 那么一个月内售出元出售 那么一个月内售出 180 件 件 根据销售经验 提高销售单价会导致销售量的下降 即销售单价每上涨根据销售经验 提高销售单价会导致销售量的下降 即销售单价每上涨 1 元 月销售量将相应减少元 月销售量将相应减少 10 件 当销售件 当销售 单价为多少元时 该店能在一个月内获得最大利润 单价为多少元时 该店能在一个月内获得最大利润 每件商品的销售单价上涨 x 元 一个月内获取的商品总利润为 y 元 填空 单件利润 元 销售量 件 销售量 件 每星期利润 元 正常销售 涨价 x 元销售 建立函数关系式 建立函数关系式 配方得 配方得 自变量 x 的取值范围如何确定 营销规律是价格上涨 销量下降 因此只要考虑销售量就可以 故营销规律是价格上涨 销量下降 因此只要考虑销售量就可以 故 180 10 x 0 且 且 x 0 因此自变量的取值范围是因此自变量的取值范围是 降价多少元时 利润最大 是多少 当当 x 时时 y最大 最大 即定价为 即定价为 元时 最大利润是元时 最大利润是 元元 2 2018 江苏淮安 江苏淮安 25 10 分分 某景区商店销售一种纪念品 每件的进货价为某景区商店销售一种纪念品 每件的进货价为 40 元 经市场调研 当该纪念品每件元 经市场调研 当该纪念品每件 的销售价为的销售价为 50 元时 每天可销售元时 每天可销售 200 件 当每件的销售价每增加件 当每件的销售价每增加 1 元 每天的销售数量将减少元 每天的销售数量将减少 10 件 件 1 当每件的销售价为当每件的销售价为 52 元时 该纪念品每天的销售数量为元时 该纪念品每天的销售数量为 件 件 2 当每件的销售价当每件的销售价 x 为多少时 销售该纪念品每天获得的利润为多少时 销售该纪念品每天获得的利润 y 最大 并求出最大利润 最大 并求出最大利润 分析 1 根据根据 当每件的销售价每增加当每件的销售价每增加 1 元 每天的销售数量将减少元 每天的销售数量将减少 10 件件 即可答案 即可答案 2 根据等量关系根据等量关系 利润利润 售价售价 进价进价 销量销量 列出函数关系式 根据二次函数的性质 即可答案 列出函数关系式 根据二次函数的性质 即可答案 单件利润 元 销售量 件 销售量 件 每星期利润 元 正常销售 涨价后销售为 x 元 解 解 课堂小结 课堂小结 由 1 2 的讨论及现在的销 售情况 你知道应该如何定 价能使利润最大了吗 作业 练习册 优佳学案 作业 练习册 优佳学案 50 页对应的习题 页对应的习题 课后练习 1 2018 山东省烟台 11 3 分 如图 二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于点 A 1 0 B 3 0 下列结论 2a b 0 a c 2 b2 当 1 x 3 时 y 0 当 a 1 时 将抛物线先向上平移 2 个单位 再向右平移 1 个单位 得到抛物线 y x 2 2 2 其中正确的是 A B C D 2 2018 四川巴中 7 3 分 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m 处起跳投篮 球沿一条抛物线运动 当球运动的水平距离为 2 5m 时 达到最大高度 3 5m 然后准确落入篮框内 已知篮圈中心距离地面高度为 3 05m 在如图所示的平面直角坐标系中 下列说法正确的是 A 此抛物线的解析式是 y x2 3 5 B 篮圈中心的坐标是 4 3 05 1 5 C 此抛物线的顶点坐标是 3 5 0 D 篮球出手时离地面的高度是 2m 3 2018 江苏连云港 7 3 分 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h m 与飞行时间 t s 满足函数 表达式 h t2 24t 1 则下列说法中正确的是 A 点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同 B 点火后 24s 火箭落于地面 C 点火后 10s 的升空高度为 139m D 火箭升空的最大高度为 145m 4 2018 广西贺州 17 3 分 某种商品每件进价为 20 元 调查表明 在某段时间内若以每件 x 元 20 x 30 且 x 为整数 出售 可卖出 30 x 件 若使利润最大 则每件商品的售价应为 元 5 2018 辽宁抚顺 24 12 分 俄罗斯世界杯足球赛期间 某商店销售一批足球纪念册 每本进价 40 元 规定 销售单价不低于 44 元 且获利不高于 30 试销售期间发现 当销售单价定为 44 元时 每天可售出 300 本 销 售单价每上涨 1 元 每天销售量减少 10 本 现商店决定提价销售 设每天销售量为 y 本 销售单价为 x 元 1 请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围 2 当每本足球纪念册销售单价是多少元时 商店每天获利 2400 元 3 将足球纪念册销售单价定为多少元时 商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大 最大利润是多少元 6 2018 山东滨州 23 12 分 如图 一小球沿与地面成一定角度的方向飞出 小球的飞行路线是一条抛物 线 如果不考虑空气阻力 小球的飞行高度 y 单位 m 与飞行时间 x 单位 s 之间具有函数关系 y 5x2 20 x 请根据要求解答下列问题 1 在飞行过程中 当小球的飞行高度为 15m 时 飞行时间是多少 2 在飞行过程中 小球从飞出到落地所用时间是多