（三管齐下）贵州省2014届高三数学 复习试题24 正弦定理和余弦定理应用举例理（含解析）新人教A版

1 2424 正弦定理和余弦定理应用举例正弦定理和余弦定理应用举例 导学目标 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有 关的实际问题 自主梳理 1 仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线上 方时叫仰角 目标视线在水平视线下方时叫俯角 如图所示 2 方位角 一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角 如方位角 45 是指北偏东 45 即 东北方向 3 方向角 相对于某一正方向的水平角 如图所示 北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向 北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 南偏西等其他方向角类似 4 坡角 坡面与水平面的夹角 如图所示 5 坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比 即i tan i为坡比 为坡角 h l 6 解题的基本思路 运用正 余弦定理处理实际测量中的距离 高度 角度等问题 实质是数学知识在生 活中的应用 要解决好 就要把握如何把实际问题数学化 也就是如何把握一个抽象 概 括的问题 即建立数学模型 2 自我检测 1 从A处望B处的仰角为 从B处望A处的俯角为 则 之间的关系是 A B C 90 D 180 2 2011 承德模拟 如图所示 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等 灯 塔A在观察站C的北偏东 40 灯塔B在观察站C的南偏东 60 则灯塔A在灯塔B的 A 北偏东 10 B 北偏西 10 C 南偏东 10 D 南偏西 10 3 如图所示 为了测量某障碍物两侧A B间的距离 给定下列四组数据 不能确定 A B间距离的是 A a bB a C a b D b 4 在 200 m 高的山顶上 测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是 30 60 则 塔高为 m 5 2010 全国 ABC中 D为边BC上的一点 BD 33 sin B cos ADC 求AD 5 13 3 5 探究点一 与距离有关的问题 例 1 2010 陕西 如图 A B是海面上位于东西方向相距 5 3 海里的两个观测 3 点 现位于A点北偏东 45 B点北偏西 60 的D点有一艘轮船发出求救信号 位于B点 南偏西 60 且与B点相距 20海里的C点的救援船立即前往营救 其航行速度为 30 海里 3 时 该救援船到达D点需要多长时间 3 变式迁移 1 某观测站C在目标A的南偏西 25 方向 从A出发有一条南偏东 35 走 向的公路 在C处测得与C相距 31 千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去 走 20 千米到达D 此时测得CD为 21 千米 求此人在D处距A还有多少千米 探究点二 测量高度问题 例 2 如图所示 测量河对岸的塔高AB时 可以选与塔底B在同一水平面内的两个测 点C与D 现测得 BCD BDC CD s 并在点C测得塔顶A的仰角为 求塔 高AB 变式迁移 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60 的方向前进 40 米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔的最大仰角为 30 求塔高 探究点三 三角形中最值问题 例 3 2010 江苏 某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H 单位 m 示意图如图所示 垂直放置的标杆BC的高度h 4 m 仰角 ABE ADE 1 该小组已测得一组 的值 算出了 tan 1 24 tan 1 20 请据此算 出H的值 2 该小组分析若干测得的数据后 认为适当调整标杆到电视塔的距离d 单位 m 使 与 之差较大 可以提高测量精度 若电视塔实际高度为 125 m 试问d为多少时 最大 变式迁移 3 2011 宜昌模拟 如图所示 已知半圆的直径AB 2 点C在AB的延长 线上 BC 1 点P为半圆上的一个动点 以DC为边作等边 PCD 且点D与圆心O分别在 PC的两侧 求四边形OPDC面积的最大值 4 1 解三角形的一般步骤 1 分析题意 准确理解题意 分清已知与所求 尤其要理解应用题中的有关名词 术语 如坡度 仰角 俯角 方 位角等 2 根据题意画出示意图 3 将需求解的问题归结到一个或几个三角形中 通过合理运用正弦定理 余弦定理等 有关知识正确求解 演算过程中 要算法简练 计算正确 并作答 4 检验解出的答案是否具有实际意义 对解进行取舍 2 应用举例中常见几种题型 测量距离问题 测量高度问题 测量角度问题 计算面积问题 航海问题 物理问题 等 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍 那么它的顶角的余弦值为 A B 5 18 3 4 C D 3 2 7 8 2 2011 揭阳模拟 如图 设A B两点在河的两岸 一测量者在A的同侧 在所在 的河岸边选定一点C 测出AC的距离为 50 m ACB 45 CAB 105 后 就可以计 算出A B两点的距离为 A 50 mB 50 m 23 C 25 mD m 2 25 2 2 3 ABC的两边长分别为 2 3 其夹角的余弦值为 则其外接圆的半径为 1 3 A B 9 2 2 9 2 4 C D 9 9 2 82 4 2011 沧州模拟 某人向正东方向走x km 后 向右转 150 然后朝新方向走 3 km 结果他离出发点恰好是 km 那么x的值为 3 5 A B 2 33 C 或 2D 3 33 5 一船向正北航行 看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏西 60 方向 另一灯塔在船的南偏西 75 方向 则这只船的速度是每小时 A 5 海里B 5海里 3 C 10 海里D 10海里 3 题号 12345 答案 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 一船以每小时 15 km 的速度向东航行 船在A处看到一个灯塔M在北偏东 60 方 向 行驶 4 h 后 船到B处 看到这个灯塔在北偏东 15 方向 这时船与灯塔的距离为 7 2011 台州模拟 某校运动会开幕式上举行升旗仪式 旗杆正好处在坡度为 15 的看台的某一列的正前方 从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60 和 30 第一排和最后一排的距离为 10米 如图所示 旗杆底部与第一排在一个水平 6 面上 若国歌长度约为 50 秒 升旗手应以 米 秒的速度匀速升旗 8 2011 宜昌模拟 线段AB外有一点C ABC 60 AB 200 km 汽车以 80 km h 的速度由A向B行驶 同时摩托车以 50 km h 的速度由B向C行驶 则运动开始 h 后 两车的距离最小 三 解答题 共 38 分 9 12 分 2009 辽宁 如图 A B C D都在同一个与水平面垂直的平面内 B D 为两岛上的两座灯塔的塔顶 测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 75 30 于水面C处测得B点和D点的仰角均为 60 AC 0 1 km 试探究图中B D间距离与另外 哪两点间距离相等 然后求B D的距离 计算结果精确到 0 01 km 1 414 2 449 26 10 12 分 如图所示 甲船以每小时 30海里的速度向正北方向航行 乙船按固定 2 方向匀速直线航行 当甲船位于A1处时 乙船位于甲船的南偏西 75 方向的B1处 此时 两船相距 20 海里 当甲船航行 20 分钟到达A2处时 乙船航行到甲船的南偏西 60 方向的 B2处 此时两船相距 10海里 问乙船每小时航行多少海里 2 6 11 14 分 2009 福建 如图 某市拟在长为 8 km 的道路OP的一侧修建一条运动赛道 赛道的前一部分为曲线段 OSM 该曲线段为函数y Asin x A 0 0 x 0 4 的图象 且图象的最高点为 S 3 2 赛道的后一部分为折线段MNP 为保证参赛运动员的安全 限定 MNP 120 3 1 求A 的值和M P两点间的距离 2 应如何设计 才能使折线段赛道MNP最长 答案 自我检测 1 B 2 B 3 A 4 400 3 5 解 由 cos ADC 0 知B 3 5 2 由已知得 cos B sin ADC 12 13 4 5 从而 sin BAD sin ADC B sin ADCcos B cos ADCsin B 4 5 12 13 3 5 5 13 33 65 由正弦定理得 AD sin B BD sin BAD 所以AD 25 BD sin B sin BAD 33 5 13 33 65 课堂活动区 例 1 解题导引 这类实际应用题 实质就是解三角形问题 一般都离不开正弦定理 和余弦定理 在解题中 首先要正确地画出符合题意的示意图 然后将问题转化为三角形 问题去求解 注意 基线的选取要恰当准确 选取的三角形及正 余弦定理要恰当 解 由题意知AB 5 3 海里 DBA 90 60 30 DAB 90 45 3 45 ADB 180 45 30 105 7 在 DAB中 由正弦定理 得 DB sin DAB AB sin ADB DB AB sin DAB sin ADB 5 3 3 sin 45 sin 105 10 海里 5 3 3 sin 45 sin 45 cos 60 cos 45 sin 60 3 又 DBC DBA ABC 30 90 60 60 BC 20 海里 3 在 DBC中 由余弦定理 得CD2 BD2 BC2 2BD BC cos DBC 300 1 200 2 10 20 33 1 2 900 CD 30 海里 需要的时间t 1 小时 30 30 故救援船到达D点需要 1 小时 变式迁移 1 解 如图所示 易知 CAD 25 35 60 在 BCD中 cos B 312 202 212 2 31 20 23 31 所以 sin B 12 3 31 在 ABC中 AC 24 BC sin B sin A 由BC2 AC2 AB2 2AC ABcos A 得AB2 24AB 385 0 解得AB 35 AB 11 舍 所以AD AB BD 15 故此人在D处距A还有 15 千米 例 2 解题导引 在测量高度时 要正确理解仰角 俯角的概念 画出准确的示意图 恰当地选取相关的三角形和正 余弦定理逐步进行求解 注意综合应用方程和平面几何 立体几何等知识 解 在 BCD中 CBD 由正弦定理得 BC sin BDC CD sin CBD 所以BC CD sin BDC sin CBD s sin sin 在 Rt ABC中 AB BCtan ACB s tan sin sin 变式迁移 2 解 8 由题意可知 在 BCD中 CD 40 BCD 30 DBC 135 由正弦定理得 CD sin DBC BD sin BCD BD 20 40sin 30 sin 135 2 过B作BE CD于E 显然当人在E处时 测得塔的仰角最大 有 BEA 30 在 Rt BED中 又 BDE 180 135 30 15 BE DB sin 15 20 10 1 2 6 2 43 在 Rt ABE中 AB BE tan 30 3 米 10 33 故所求的塔高为 3 米 10 33 例 3 解题导引 平面几何图形中研究或求有关长度 角度 面积的最值 优化设计 等问题 而这些几何问题通常是转化到三角形中 利用正 余弦定理通过运算的方法加以 解决 在解决某些具体问题时 常先引入变量 如边长 角度等 然后把要解三角形的边 或角用所设变量表示出来 再利用正 余弦定理列出方程 解之 若研究最值 常使用函 数思想 解 1 由AB BD AD 及AB BD AD H tan h tan H tan 得 H tan h tan H tan 解得H 124 m htan tan tan 4 1 24 1 24 1 20 因此 算出的电视塔的高度H是 124 m 2 由题设知d AB 得 tan H d 由AB AD BD 得 tan H tan h tan H h d 9 所以 tan tan tan 1 tan tan h d H H h d h 2H H h 当且仅当d H H h d 即d 55时 H H h 125 125 4 5 上式取等号 所以当d 55时 tan 最大 5 因为 0 则 0 2 2 所以当d 55时 最大 5 变式迁移 3 解 设 POB 四边形面积为y 则在 POC中 由余弦定理得 PC2 OP2 OC2 2OP OCcos 5 4cos y S OPC S PCD 1 2sin 5 4cos 1 2 3 4 2sin 3 5 3 4 当 即 时 ymax 2 3 2 5 6 5 3 4 所以四边形OPDC面积的最大值为 2 5 3 4 课后练习区 1 D 2 A 3 C 4 C 5 C 6 30 km 7 0 6 2 8 70 43 解析 如图所示 设t h 后 汽车由A行驶到D 摩托车由B行驶到E 则 AD 80t BE 50t 因为AB 200 所以BD 200 80t 问题就是求DE最小时t的值 由余弦定理得 DE2 BD2 BE2 2BD BEcos 60 200 80t 2 2500t2 200 80t 50t 12900t2 42000t 40000 当t 时 DE最小 70 43 9 解 在 ACD中 DAC 30 ADC 60 DAC 30 所以CD AC 0 1 2 分 又 BCD 180 60 60 60 所以 ABC CBD 所以BA BD 6 分 10 在 ABC中 AB sin BCA AC sin ABC 即 AB 10 分 AC sin 60 sin 15 3 2 6 20 所以BD 0 33 km 3 2 6 20 故B D的距离约为 0 33 km 12 分 10 解 如图 连接A1B2 由题意知 A1B1 20 A2B2 10 2 A1A2 30 10 海里 2 20 6022 分 又 B2A2A1 180 120 60 A1A2B2是等边三角形 B1A1B2 105 60 45 6 分 在 A1B2B1中 由余弦定理得 B1B A1B A1B 2A1B1 A