广州市2016年高考备考冲刺阶段训练材料数学试题(理)含详解

2016年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料 （理科） 说明： 1 本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组 与广州市高考数学研究组共同 编写，共 41题 ，请各校教师根据本校学生的实际情况选择使用 2 本训练题仅供本市高三学生考前 冲刺训练 用，希望在 5月 31日之前完成 3 本训练题 与 市高三质量抽测 、 一 测 、 二 测 等数学试题在内容上相互配套，互为补充 四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法 因此，希望同学们在 5月 31日至 6月 6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本 中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍 希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！ 1 已知函数( ) 2 3 si n( ) c ) si n 244f x x x x a 的最大值为 1 （ ）求常数 （ ）求函数() （ ）若将 的图象向左平移6个单位，得到函数()函数(), 2上的最大值和最小值 2 某同学用 “五点法 ”画函数 ( ) s i n ( ) ( 0 , | | )2f x A x 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x 0 2 32 2 x 3 56 ) 0 5 5 0 （ ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数 () （ ）将 ()y f x 图象上所有点向左平行移动 ( 0) 个单位长度，得到 ()y g x 的图 象 . 若 ()y g x 图象的一个对称中心为 5( , 0)12，求 的最小值 . 3 已知 角 A， B， co s4)co ss i co ss i （ ） 求角 （ ） 若 实数 4 如图，某市拟在长为 8道路 一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 曲线段为函数 y=x(A0, 0) x 0,4的图象，且图象的最高点为S(3， 2 3 )；赛道的后一部分为折线段 保证参赛运动员的安全，限定 20o （ I）求 A , 的值和 M， P 两点间的距离； （ 如何设计，才能使折线段赛道 长？ 5 在 中，点 M 是 中点， 的三边长是连续的三个正整数，且 ta n 1ta n. （ ）判断 的形状； （ ）求 的余弦值 . 6 如图，在平面直角坐标系中，锐角 、 的终边分别与单位圆交于 A ， B 两点 （）如果 3， B 点的横坐标为 513，求 的值； （） 若角 的终边与 单位圆交于 C 点，设角 、 、 的正弦线分别为 求证：线段 C 能构成一个三角形； （ 究第（）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？ 若是，求出该定值；若不是，请说明理由 . 7等差数列 4a ，4715 （ ）求数列 （ ）设 22 ，求1 2 3 1 0b b b b 的值 O x y 8 4 3 P N M S 2 3 8 设数列 n 项和为足 11 q a ，且 10 （ ） 求 （ ） 若3S，9S，6证：2a，8a，5 9 已知数列 n 项和为满足 22,nS n n n N （ ）求数列 （ ）设22 , 2 1 ,2 , 2 .(1 ) (1 ) （ k N ），求数列 和 10已知数列 n 项和为()且满足 21 n （ ）求数列 （ ）求证：21 2 2 3 11 1 1 12 2 2 3n a a a a a L 11 已知首项为 12的等比数列 递减数列 ， 其前 n 项和为 且 数列 （ ） 求数列 通项公式； （ ） 若 an数列 前 n 项和为 求满足不等式 2n 2 116的最大 n 值 12 已知 168,266583 数列 2222 33221 ( )求数列 ； ( )求数列 n 项和 13有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀， 85 分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 合计 105 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为72 （ ）请完成上面的列联表； （ ）根据列联表的数据，若按 95的可靠性要求，能否认为 “ 成绩与班级有关 ” ； （ ）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班 10 名优秀的学生按 2 到 11 进行编号，先后两次抛得一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号 试求抽到 6 号或 10 号的概率 参考公式： P(0 10 0 05 0 010 0 005 706 3 841 6 635 7 879 附： n（ （ a b）（ c d）（ a c）（ b d） 14 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果 （）求第一次检测出的是次品且第二 次检测出的是正品的概率 ; （）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 X 的分布列和数学期望 15 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖 （ ）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； （ ）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖 中获一等奖的次数为 X，求 的分布列，数学期望及方差 16 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的 日工资方案如下： 甲 公司底薪 70 元，每单抽成 2 元；乙 公司无底薪， 40 单以内 (含 40 单 )的部分每单抽成 4 元，超出 40 单的部分每单抽成 6 元假设同一公司 送餐员 一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名 送餐 员，并分别记录其 100 天的送餐单数，得到如下频数表： （ ）现从 甲 公司记录的这 100 天中随机抽取两天，求这两天送餐单数 都大于 40 的概率； （ ）若将频率视为概率，回答以下问题： （ ）记 乙 公司 送餐员 日工资为 X (单位：元 ),求 X 的分布列和数学期望； （ ）小明拟到 甲 、 乙 两家公司中的一家应聘送餐员 ，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择 ，并说明理由 17 从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （ I） 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x ,中位数和样本方差 2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）； （）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 2( , )N ，其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 2s (i)利用该正态分布，求 (1 8 7 . 8 2 1 2 . 2 )； （ 用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间（ 187 8,212 2）的产品件数，利用（ i）的结果，求 附： 150 12 2 若 Z 2( , )N ，则 () =0 6826， ( 2 2 ) =0 9544 18 第 31 届夏季奥林匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日 21 日在巴西里约热内卢举行 下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚） 第 30 届 伦敦 第 29 届 北京 第 28 届 雅典 第 27 届 悉尼 第 26 届 亚特兰大 中国 38 51 32 28 16 俄罗斯 24 23 27 32 26 （ ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国 代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）； （ ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响 现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为 X，求 的分布列及数学期望 19 如图，五面体 ，底面 矩形， ， 顶部线段 平面 D=C=62， ，二面角 F A 的余弦值为 1717 中国 俄罗斯 1 2 3 4 5 （ ）在线段 是否存在一点 N，使 平面 （ ）求平面 平面 成锐二面角的余弦值 20 如图 1，在 中， C 90 o ， C 60 o ， 2 ， D 、 分别为 C 、D 的中点，连接 并延长交 C 于 F ，将 D 沿 D 折起，使平面 D 平面， 如图 2 所示 ( )求证： 平面 ； （ ）求平面 F 与平面 所成的锐二面角的余弦值； （ ）在线段 F 上是否存在点 使得 / 平面 ？若存在，请指出点 的位置；若不存在，说明理由 21 如图，在三棱柱1 1 1A B C A B C中， 侧 面111, 2 ,A B B C A A D 为11 B （ ）证明：1B； （ ）若 33求二面角1A 的余弦值 22 如图，在四棱锥 P ， 平面 边形 菱形， ， ， E 是 任意一点 （ ）求证： （ ）已知二面角 A D 的正切值为36，若 E 为 中点，求 平面 成角的正弦值 23 如图，四边形 直角梯形， 09 0 , / / , 1 , 2 ,P C B P M B C P M B C 又1 , 1 2 0 ,A C A C B A B P C ，直线 直线 成的角为 60 （ ）求证： C ； （ ）求二面角 M 的余弦值； （ ）求点 B 到平面 距离 24 已知矩形 11且12A， 分别是 11 中点， D 为 点，将矩形 11着直线 成一个 60o 的二面角，如图所示 （ ）求证： 11 （ ）求1 C 1A 1F 以抛物线 P ： 2 4的焦点 F 为圆心，且与抛物线 P 有且只有一个公共点 （ I）求圆 F 的方程； C 1A（）过点 ( 1,0)M 作圆 F 的两条切线与抛物线 P 分别交于点 ,经过, , ,A B C D 四点的圆 E 的方程 26 如图，已知圆 22: ( 3 ) 1 6E x y ，点 ( 3,0)F ， P 是圆 E 上任意一点线段 E 相交于 Q （ ）求动点 Q 的轨迹 的方程； （ ）已知 ,轨迹 的三个动点， A 与 B 关于原点对称，且 | | | |B ，问 面积是否存在最小值？若存在，求出此时点 C 的坐标，若不存在，请说明理由 27 已知中心在原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 的椭圆过点（ ， ） （ ）求椭圆的方程； （ ）设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P， Q 两点，满足直线 斜率依次成等比数列，求 积的取值范围 28 已知 , 2, 0) ， (2, 0) 直线 ,P 相交于点 P ，且它们的斜率之积 为 34 （ ）求点 P 的轨迹方程； （ ）设 Q 的坐标为 1,0 ,直线 x 交于点 D，当直线 转动时，试判断以 Q 的位置关系，并加以证明 29已知函数 f (x) = 1 （ ）若 m ( 2,2)，求函数 y = f (x) 的单调区间； （ ）若 m (0,12 ，则当 x 0,m + 1 时，函数 y = f (x) 的图像是否总在直线 y = x 上方 ?请写出判断过程 30已知函数 f (x) = x 2 ax(a 0)， g(x) = ln x， f (x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处的切线为 g(x 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 且 ( ) 求 f （ ） 的值； ( ) 已知实数 t R，求 u = x ln x， x 1,e 的取值范围及函数 y = f xg(x) + t， x 1,e 的最小值； ( ) 令 F(x) = g(x) + g(x)，给定 (1,+ )， 0， p + q = 1，求证 : f ( + 32定义：若 f (x)x k 在 k,+) 上为增函数，则称 f (x) 为“ k 次比增函数 ”，其中 k N *，已知 f (x) = e (其中 e = 2 71238 ) ( ) 若 f (x) 是“ 1 次比增函数 ”，求实数 a 的取值范围； ( ) 当 a = 12 时，求函数 g(x) = f (x)x 在 m,m + 1(m 0)上的最小值； ( ) 求证： 1e + 12( e) 2 + 13( e) 3 + + 1n( e) n 0 34 已知函数 f (x) = ln x m2 x 2 + x(m R) ( ) 当 m 0 时， 若 f (x) 12 恒成立 ， 求 m 的取值范围 ； ( ) 当 m = 1 时， 若 f (+ f (= 0，求证： 3 1 35 如图， A， B， C， D 四点在同一圆上， 延长线与 延长线交于 E 点，且 D （ I） 证明： （ 延长 F，延长 G，使得 明： A， B， G， F 四点共圆 36 如图， 圆 O 的直径，弦 于点 M ， E 是 长线上一点， 10，8， 34M ， 圆 O 于 F ， G （ ）求证： 为等腰三角形； （ ）求线段 长 37 如图所示，已知圆 O 外有一点 P ，作圆 O 的切线 M 为切点，过 中点 N ，作割线 交圆于 A 、 B 两点，连接 延长，交圆 O 于点 C ，连接 圆 O 于点D ，若 C （ ）求证： ； （ ）求证：四边形 平行四边形 38 已知曲线 C 的极坐标方程式 2 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 L 的参数方程是3212x t ，（ t 为参数） （ ）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程； （ ）设点 ( ,0)若直线 L 与曲线 C 交于两点 , | | | | 1P A P B，求实数 m 的值 39 在直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 2 ， 0, 2 （ ） 求 C 的参数方程 （ ） 设点 D 在 C 上， C 在 D 处的切线与直线 : 3 2l y x垂直，根据 （） 中你得到的参数方程，确定 D 的坐标 40 已知 a ， ， 12)( （ ）若 0)( 求实数 x 的取值范围； （ ）对 ，若 )( 恒成立，求 a 的取值范围 41 设 ( ) | 2 | | 2 1 |f x x x m （ ）当 5m 时，解不等式 ( ) 0； （ ）若 3()2任意 恒成立，求实数 m 的取值范围 2016年广州市高考 备考冲刺阶段 数学 学科 (理科 )训练材料 参考答案 1 解： （ ） 2132 12 a，1a（ ）由 23222 ，解得 12125，所以函 数的单调递增区间 ,12,125 （ ） 将单位，得到函数 1322 35,32322,2,0 当32322 332 x，23时，1322 x，取最小值 2解： （ ）根据表中已知数据，解得 5 , 2 ,6A . 数据补全如下表： x 0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 ) 0 5 0 5 0 且函数表达式为 ( ) 5 s i n ( 2 )6f x x. （ ）由（ ）知 ( ) 5 s i n ( 2 )6f x x，得 ( ) 5 s i n ( 2 2 )6g x x . 因为 的对称中心为 ( ,0)k ， kZ . 令 22 6 ，解得 2 12 ， kZ . 由于函数 ()y g x 的图象关于点 5( , 0)12成中心对称，令 52 1 2 1 2k ， 解得 23k ， kZ . 由 0 可知，当 1k 时， 取得最小值 6. 3 解：（ ） 由 co s4)co ss i co ss i 得 c o sc o o ss i o ss i o sc o ss i ns i )co s (3)s 3 ,则 3) 3A 3),0( ） 21t s 120s s 锐角三角形，且3A26 C ),33( C 221 解 ： （）依题意，有 23A ， 34T，又 2T ，6。 2 3 s 当 4x 时 ， 22 3 s i n 33y (4,3)M 又 )0,8(P 224 3 5 （）在 20， ，设 ，则 0 1， 即 0 0,此时 f (x) 单调递增， x (1,m + 1) 时， f (x) 0，此时 f (x) 单调递增 当 m + 1 0， 此时 f (x) 单调递增， x(m + 1,1) 时， f (x) 0， 此时 f (x) 单调递增 综上所述， 当 m = 0 时， f (x) 在 R 上单调递增 , 当 0 0， m (x) 单调递增； m （ ） = e 3 0 故存在 (1,32 使得 m (= e 21 = 0 m(x)在 (1,上单调递减，在 (2 ) 单调递增 m(x) m(= e 2 1 1 (1,32 时， m(= 1 0 即 e x (1 + x) x 也即 f (m + 1) m + 1 所以 函数 f (x) 的图象总在 直线 y = x 上方 30解： （ ） f (x) 的图象与 x 轴异于原点的交点为 M(a,0)， f (x) = 2x a g(x 1) 的图象与 x 轴的交点 N(2,0)， g(x 1) = 1x 1 由题意可得 2a a = 1，所以 a = 1 f (x) = x 2 x， f （ ） = 2 2 2 = 2 （ ） 当 x 1,e 时， u(x) = ln x + 1 0 u(x) 在 1,e 上单调递增， 所以 u(x) u(e) = e， u(x) u（） = 0， 即 u(x) 的取值范围是 0,e y = f xg(x) + t = x x + t) 2 (x ln x + t) = (x ln x) 2 + (2t 1) (x ln x) + t 2 t 令 u = x ln x，在 x 1,e 时， u = ln x + 1 0， u = x ln x 在 1,e 上单调递增， 0 u e， y = u 2 + (2t 1) u + t 2 t 图象的对称轴为 u = 1 2，抛物线开口向上， 当 1 2 0 即 t 12 时， y | u=0 = t 2 t， 当 1 2 e 即 t 1 2时， e 2 + (2t 1) e + t 2 t， 当 0 0 当 m (0,1) 时，有 = (1 m) (1 m) = (1 m) 0； x (4 ,2 ) 时， f(x) 2， 当 x 2 时， g(x) 0，即 g(x)在 2,+)上单调递增； 当 x 0， m + 1 1, 故当 m 2 时， g(x)在 m,m + 1上单调递增，此时 g(x) g(m) = ； 当 0 0 时， g(x)在 (0,2)上单调递减，在 (2,+)上单调递增， 故 g(x) g（ ） = 即 故当 x 0 时，总有 xe 2e 成立， 取 x = n 时有 n( e) n 2e ， 1n( e) n = ( e) n 1n 2 2e ， 故 1e + 12( e) 2 + 13( e) 3 + + 1n( e) n 2e (1 + 12 2 + 13 2 + + 1n 2 ) 0) 当 a 0 时 , f(x) 0, 函数 f (x)的单调递增区间为 (0,+ )； 当 a 0 时 ,由 f(x) 0,得 x 函数 f (x)的单调递减区间为 (0,单调递增区间为 (+ ) （） 由 （） 得 ,若函数有两个零点 ,则 a 0 且 f (x)的最小值 f ( 0, a 4 + 4ln 0 令 h(a) = a 4 + 4 ln 显然 h(a)在 (0,+ )为增函数 , 且 h（ ） = 2 0 函数 h(a)在 (2,3)上存在一个零点 即 0 h(a) 0, 满足条件的最小正整数 a = 3, 又当 a = 3 时 , f （ ） = 3(2 ) 0,f （ ） = 0, 综上所述 ,满足条件的最小正整数 a = 3 （） 证明：由 （） 知 若方程 f (x) = c 的两个不相等的实数根 ,则 a 0, 不妨设 0 0, 故只要证 可 ,即证明 22 ln ln 即证明 ( (ln ln 0, g(t) 0 g(t) 在 (0,+ )上是增函数 又 g（ ） = 0,当 0 立 , f( ) 0 34解： （ ） f (x) 12 m2 x 2 + (m 1)x ln x 12 ， 令 g(x) = m2 x 2 + (m 1)x ln x， 则 g(x) = (m 1) 1x = (x + 1)(1)x ( x 0) m 0， 令 g(x) 0，得 x1m g(x) 在 (0,1m ) 上单减，在 (1m ,+) 上单增，故 g(x) 的最小值为 g( 1m ) = 1 12m m ，由题知 1 12m m 12 ，即 12m + m 12 ， 令 h(x) = 12 x + ln x，显然 h(x) 在 (0,+) 上单增，又 h（ ） = 12 ，故 h(x) 12 x 1， 0 0, 0，故 3 1 35 解 ：（ I） 证明： 圆的割线，所以 E D E A E C E B ， 又 所以 B ，所以 E A B E B A ， 又 A， B， C， D 四点 共圆， 所以 180E A B D C B o， 所以 180E B A D C B o， 所以 （ 证明：连接 因为 以 E F G E G F ， 又 F D E A D C B C D G C E ，所以 F E D G E C ， 由 （） 知 B ，所以 E A F E B G ，所以 E A F E B G , 又 E A B E B A ，所以 F A B G B A ， 因为 以 180G F A F A B o， 所以 180G F A G B A o， 所以 A， B， G， F 四点共圆 36 解： （） 连接 因 圆 O 于 F ，故E F B F A B ， 因 圆 O 的直径，弦 于点 M ， 故 90A F B A M G ， 故 180F A B M G F ， 又 180F G E M G F ， 所以 F A B F G E ， 所以 E F G F G E ， 所以 为等腰三角形； （） 因 圆 O 的直径，弦 且 10， 8， 所以圆 O 的半径 5R ， 1 42M D C D， 2 2 2 25 4 3O M R M D ，又 34M ， 所以 4 43， 因 圆 O 于 F ，所以 2 4 1 2 4 8E F E D E C ， 由 （） 知 所以 4 8 4 3E F E G ， 所以 4 4 4 3 8 4 3M G E M E G ， 故 8 4 3 37 证明： （） 因为 圆 O 的切线， O 的割线， N 是 中点， 所以 22N M P N N A N B ， 所以 P， 又 P N A B N P ，所以 ， 所以 A P N P B N ，即 A P M P B A ， 又 C ，所以 M A C B A C ， 所以 M A P P A B ， 所以 （） 因 A B D A C D ， A B D A B P A P M ， 所以 A C D A P M ， 所 以 /C 因 圆 O 的切线， 所以 P M A M C A ， 又 ， 所以 P M A B P A ， 所以 B P A M C A ， 所以 /D ， 所以 四边形 平行四边形 38 解、 （） 由 2 ，得 2 2 co s ， 可得 C 的 直角坐标方程： 222x y x 直线 L 的参数方程是3212x t ，（ t 为参数）， 消去参数 t 可得 3x y m （） 把3212x t （ t 为参数），代入 222x y x， 得 22( 3 3 ) 2 0t m t m m ， 由 0 ，解得 13m 212 2t t m m