（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第十篇 圆锥曲线与方程《第58讲椭圆》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第十篇高考总复习江苏专用 理科 第十篇 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第第 5858 讲讲 椭圆椭圆 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备选 含解析 综合创新备选 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 1 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍 则椭圆的离心率e 2 解析 由题意得 2a 2b a b 又a2 b2 c2 b c a c e 222 2 2 答案 2 2 2 中心在原点 焦点在x轴上 若长轴长为 18 且两个焦点恰好将长轴三等分 则此椭 圆的方程是 解析 依题意知 2a 18 a 9 2c 2a c 3 1 3 b2 a2 c2 81 9 72 椭圆方程为 1 x2 81 y2 72 答案 1 x2 81 y2 72 3 椭圆x2 4y2 1 的离心率为 解析 先将x2 4y2 1 化为标准方程 1 则a 1 b c 离心率 x2 1 y2 1 4 1 2a2 b2 3 2 e c a 3 2 答案 3 2 4 椭圆 y2 1 的左 右焦点分别为F1 F2 点P为椭圆上一动点 若 F1PF2为钝角 x2 4 则点P的横坐标的取值范围是 解析 设椭圆上一点P的坐标为 x y 则 x y x y F1P 3 F2P 3 F1PF2为钝角 0 F1P F2P 即x2 3 y2 0 则有x2 解得 x 8 3 2 6 3 2 6 3 x 2 6 3 2 6 3 2 答案 2 6 3 2 6 3 5 2011 惠州调研 二 已知椭圆G的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 且 3 2 椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为 12 则椭圆G的方程为 解析 依题意设椭圆G的方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 12 2a 12 a 6 椭圆的离心率为 3 2 a2 b2 a 3 2 解得b2 9 椭圆G的方程为 1 36 b2 6 3 2 x2 36 y2 9 答案 1 x2 36 y2 9 6 2011 西安模拟 以F1 0 1 F2 0 1 为焦点的椭圆C过点P 则椭圆C的 2 2 1 方程为 解析 由题意得 c 1 2a PF1 PF2 2 故a b 1 1 2 4 1 2 022 则椭圆的标准方程为x2 1 y2 2 答案 x2 1 y2 2 7 2011 南京模拟 已知椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 离心率为 x2 a2 y2 b2 e 若椭圆上存在点P 使得 e 则该离心率e的取值范围是 PF1 PF2 解析 因为PF1 ePF2 PF1 PF2 2a 所以PF1 PF2 因为e 0 1 所以 2ae 1 e 2a 1 e PF1 PF2 由椭圆性质知a c PF1 a c 所以a c a c 即 2ae 1 e a c a c 即a2 c2 2ac a c 2 即e2 2e 1 0 又 0 e 1 所以 2ac a c 1 e 1 2 答案 1 1 2 二 解答题 每小题 15 分 共 45 分 8 已知椭圆的中心在原点 以坐标轴为对称轴 且经过两点P1 1 P2 632 求椭圆的方程 3 解 设椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 且m n 椭圆经过P1 P2点 P1 P2点坐标适合椭圆方程 则Error 两式联立 解得Error 所求椭圆方程为 1 x2 9 y2 3 9 已知椭圆C y2 1 常数m 1 P是曲线C上的动点 M是曲线C的右顶点 定点 x2 m2 A的坐标为 2 0 1 若M与A重合 求曲线C的焦点坐标 2 若m 3 求PA的最大值与最小值 3 若PA的最小值为MA 求实数m的取值范围 解 1 由题意知m 2 椭圆方程为 y2 1 c x2 44 13 左 右焦点坐标分别为 0 0 33 2 m 3 椭圆方程为 y2 1 设P x y 则 x2 9 PA2 x 2 2 y2 x 2 2 1 2 3 x 3 x2 9 8 9 x 9 4 1 2 当x 时 PAmin 当x 3 时 PAmax 5 9 4 2 2 3 设动点P x y 则 PA2 x 2 2 y2 x 2 2 1 x2 m2 2 5 m x m m2 1 m2 x 2m2 m2 1 4m2 m2 1 当x m时 PA取最小值 且 0 m2 1 m2 m且m 1 解得 1 m 1 2m2 m2 12 10 2011 南通调研 在平面直角坐标系xOy中 如图 已知椭圆E 1 a b 0 的 x2 a2 y2 b2 左 右顶点分别为A1 A2 上 下顶点分别为B1 B2 设直线A1B1的倾斜角的正弦值为 1 3 圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称 4 1 求椭圆E的离心率 2 判断直线A1B1与圆C的位置关系 并说明理由 3 若圆C的面积为 求圆C的方程 解 1 设椭圆E的焦距为 2c c 0 因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为 1 3 所以 b a2 b2 1 3 于是a2 8b2 即a2 8 a2 c2 即 c2 a2 7 8 所以椭圆E的离心率e c2 a2 7 8 14 4 2 由e 可设a 4k k 0 c k 则b k 14 4142 于是A1B1的方程为 x 2y 4k 0 2 故OA2的中点 2k 0 到A1B1的距离d 2k 2k 4k 3 又以OA2为直径的圆的半径r 2k 即有d r 所以直线A1B1与圆C相切 3 由圆C的面积为 知圆半径为 1 从而k 1 2 设OA2的中点 1 0 关于直线A1B1 x 2y 2 0 的对称点为 m n 2 则Error 解得m n 1 3 4 2 3 所以圆C的方程为 2 2 1 x 1 3 y 4 2 3 B 级 综合创新备选 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 若P是以F1 F2为焦点的椭圆 1 a b 0 上的一点 x2 a2 y2 b2 且 0 tan PF1F2 则此椭圆的离心率为 PF1 PF2 1 2 解析 在 Rt PF1F2中 设PF2 1 则PF1 2 F1F2 e 5 2c 2a 5 3 答案 5 3 5 2 2011 汕头一模 已知椭圆 1 上有一点P F1 F2是椭圆的左 右焦点 若 x2 4 y2 2 F1PF2为直角三角形 则这样的点P有 个 解析 当 PF1F2为直角时 根据椭圆的对称性知 这样的点P有 2 个 同理当 PF2F1为 直角时 这样的点P有 2 个 当P点为椭圆的短轴端点时 F1PF2最大 且为直角 此时 这样的点P有 2 个 故符合要求的点P有 6 个 答案 6 3 在 Rt ABC中 C 90 A 30 则以A B为焦点 过点C的椭圆的离心率是 解析 设BC x x 0 则AC x AB 2x 由椭圆定义 可知 2a AC BC 1 33 x 2c AB 2x 故e 1 c a3 答案 1 3 4 2011 镇江调研 一 已知F1 c 0 F2 c 0 为椭圆 1 a b 0 的两个焦点 x2 a2 y2 b2 P为椭圆上一点且 c2 则此椭圆离心率的取值范围是 PF1 PF2 解析 设P x y 则 c x y PF1 PF2 c x y x2 c2 y2 c2 将y2 b2 x2代入 式解得x2 又x2 0 a2 b2 a2 3c2 a2 a2 c2 2c2 a2 3c2 e c a 3 3 2 2 答案 3 3 2 2 5 2011 盐城模拟 已知椭圆 y2 1 的左 右焦点分别为F1 F2 点M在该椭圆上 x2 4 且 0 则点M到y轴的距离为 MF1 MF2 解析 由题意 得F1 0 F2 0 33 设M x y 则 x y x y 0 整理得x2 y2 3 MF1 MF2 33 又因为点M在椭圆上 故 y2 1 x2 4 即y2 1 x2 4 6 将 代入 得x2 2 解得x 3 4 2 6 3 故点M到y轴的距离为 2 6 3 答案 2 6 3 6 2011 苏北四市调研 如图 已知椭圆 1 A B是其左右顶点 动点M满足 x2 4 y2 2 MB AB 连接AM交椭圆于点P 在x轴上有异于点A B的定点Q 以MP为直径的圆经过 直线BP MQ的交点 则点Q的坐标为 解析 法一 设M 2 t P x0 y0 则由A P M三点共线 得 代入 y0 x0 2 t 4 1 解得x0 y0 kPB x2 0 4 y2 0 2 2 t2 8 t2 8 8t t2 8 y0 x0 2 8t t2 8 2 t2 8 t2 8 2 2 t 设Q q 0 则kMQ 解得q 0 即得Q 0 0 m 2 q 1 kBP m 2 法二 设M 2 2 A 2 0 B 2 0 MA的方程为 x 2y 2 0 由Error 解得P 2 3 4 3 从而可知直线PB的斜率kPB 1 由直径上的圆周角是直角可知PB MQ kMQ 1 于是可求得直线MQ的方程为x y 0 又Q点是直线MQ与x轴的交点 故Q点的坐标为 0 0 答案 0 0 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 2011 辽宁卷 如图 已知椭圆C1的中心在原点O 长轴左 右端点M N在x轴 上 椭圆C2的短轴为MN 且C1 C2的离心率都是e 直线l MN l与C1交于两点 与C2 交于两点 这四点按纵坐标从大到小依次为A B C D 7 1 设e 求BC与AD的比值 1 2 2 当e变化时 是否存在直线l 使得BO AN 并说明理由 解 1 因为C1 C2的离心率相同 故依题意可设 C1 1 C2 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 b2y2 a4 x2 a2 设直线l x t t a 分别与C1 C2的方程联立 求得A B t a b a2 t2 t b a a2 t2 当e 时 b a 分别用yA yB表示A B的纵坐标 可知BC AD 1 2 3 2 2 yB 2 yA b2 a2 3 4 2 当t 0 时的l不符合题意 当t 0 时 BO AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率 kAN相等 即 解得t a b a a2 t2 t a b a2 t2 t a ab2 a2 b2 1 e2 e2 因为 t a 又 0 e 1 所以 1 解得 e 1 1 e2 e2 2 2 所以当 0 e 时 不存在直线l 使得BO AN 当 e 1 时 存在直线l 使得 2 2 2 2 BO AN 点评 解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为 第一步 假设结论成立 第二步 以存在为条件 进行推理求解 第三步 明确规范结论 若能推出合理结果 经验证成立即可肯定正确 若推出矛盾 即否 定假设 8 2011 宿迁联考 已知椭圆的中点为坐标原点O 椭圆短轴长为 2 动点M 2 t t 0 在 椭圆的准线上 1 求椭圆的标准方程 2 求以OM为直径且被直线 3x 4y 5 0 截得的弦长为 2 的圆的方程 3 设点F是椭圆的右焦点 过点F作OM的垂线FH 且与以OM为直径的圆交于点N 求证 线段ON的长为定值 并求出这个定值 8 解 1 由 2b 2 得b 1 又由点M在准线上 得 2 a2 c 故 2 所以c 1 从而a 1 c2 c2 所以椭圆的方程为 y2 1 x2 2 2 以OM为直径的圆的方程为x x 2 y y t 0 即 x 1 2 2 1 y t 2 t2 4 其圆心为 半径r 1 t 2 t2 4 1 因为以OM为直径的圆被直线 3x 4y 5 0 截得的弦长为 2 所以圆心到直线 3x 4y 5 0 的距离d r2 1 t 2 所以 解得t 4 3 2t 5 5 t 2 故所求圆的方程为 x 1 2 y 2 2 5 3 法一 由平面几何知ON2 OH OM 直线OM y x 直