（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第十一篇《第73讲　离散型随机变量的均值与方差》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第十一篇高考总复习江苏专用 理科 第十一篇 第第 7373 讲讲 离散型离散型 随机变量的均值与方差随机变量的均值与方差 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备选 含解析 综合创新备选 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 4 已知某一随机变量X的概率分布如下 且E X 6 3 则a的值为 X4a9 P0 50 1b 解析 由分布列性质知 0 5 0 1 b 1 b 0 4 E X 4 0 5 a 0 1 9 0 4 6 3 a 7 答案 7 2 2011 合肥模拟 已知随机变量X服从二项分布 且E X 2 4 V X 1 44 则二项 分布的参数n p的值分别为 解析 由题意得Error 解得Error 答案 6 0 4 3 已知随机变量X Y 8 若X B 10 0 6 则E Y V Y 分别是 解析 若两个随机变量Y X满足一次关系式Y aX b a b为常数 当已知E X V X 时 则有E Y aE X b V Y a2V X 由已知随机变量X Y 8 所以有Y 8 X 因 此 求得E Y 8 E X 8 10 0 6 2 V Y 1 2V X 10 0 6 0 4 2 4 答案 2 2 4 4 已知X的概率分布为 X 1 01 P 1 2 1 3 1 6 则在下列式子中 E X V X 1 3 23 27 P X 0 正确的序号是 1 3 解析 E X 1 1 故 正确 1 2 1 6 1 3 V X 2 2 2 故 不正确 1 1 3 1 2 0 1 3 1 3 1 1 3 1 6 5 9 2 由分布列知 正确 答案 5 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为a 得 2 分的概率为b 不得分的概率为 c a b c 0 1 已知他投篮一次得分的均值为 2 则 的最小值为 2 a 1 3b 解析 由已知得 3a 2b 0 c 2 即 3a 2b 2 其中 0 a 0 b 1 2 3 又 2 a 1 3b 3a 2b 2 2 a 1 3b 3 2 1 3 2b a a 2b 10 3 2b a a 2b 16 3 当且仅当 即a 2b时取 等号 又 3a 2b 2 即当a b 时 的最小 2b a a 2b 1 2 1 4 2 a 1 3b 值为 16 3 答案 16 3 6 有一批产品 其中有 12 件正品和 4 件次品 从中有放回地任取 3 件 若X表示取到次 品的次数 则V X 解析 X B V X 3 3 1 4 1 4 3 4 9 16 答案 9 16 7 已知离散型随机变量X的概率分布如右表 若E X 0 V X 1 则a b 解析 由题意知Error 解得Error 答案 5 12 1 4 二 解答题 每小题 15 分 共 45 分 8 2011 盐城调研 有一种闯三关游戏的规则规定如下 用抛掷正四面体骰子 各面上分 别有 1 2 3 4 点数的质地均匀的正四面体 决定是否过关 在闯第n n 1 2 3 关时 需要 抛掷n次骰子 当n次骰子面朝下的点数之和大于n2时 则算闯此关成功 并且继续闯关 否则停止闯关 每次抛掷骰子相互独立 1 求仅闯过第一关的概率 2 记成功闯过的关数为X 求X的概率分布和均值 3 解 1 记 仅闯过第一关的概率 这一事件为A 则P A 3 4 6 16 9 32 2 由题意 得X的取值有 0 1 2 3 且P X 0 P X 1 P X 2 1 4 9 32 P X 3 3 4 10 16 54 64 405 1 024 3 4 10 16 10 64 75 1 024 即随机变量的概率分布为 X0123 P 1 4 9 32 405 1 024 75 1 024 所以E X 0 1 2 3 1 4 9 32 405 1 024 75 1 024 1 323 1 024 9 2011 苏州调研 一个口袋装有 5 个红球 3 个白球 这些球除颜色外完全相同 某人 一次从中摸出 3 个球 其中白球的个数为X 1 求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率 2 求X的分布列及X的数学期望 解 1 记 摸出的三球中既有红球又有白球 为事件A 依题意知P A C1 5C2 3 C2 5C1 3 C3 8 45 56 所以摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为 45 56 2 X可取 0 1 2 3 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 C3 5 C3 8 5 28 C2 5C1 3 C3 8 15 28 C1 5C2 3 C3 8 15 56 C3 3 C3 8 1 56 X的概率分布为 X0123 P 5 28 15 28 15 56 1 56 所以X的数学期望为 E X 0 1 2 3 5 28 15 28 15 56 1 56 9 8 10 2010 苏州第一次综合测试 某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动 现场准备的抽 奖箱里放置了分别标有数字 1 000 800 600 0 的四个球 球的大小相同 参与者随机从 抽奖箱里摸取一球 取后即放回 公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金 元 并规定 摸到标有数字 0 的球时可以再摸一次 但是所得奖金减半 若再摸到标有数字 0 的球 则没 有第三次摸球机会 求一个参与抽奖活动的人可得奖金的数学期望 解 设X表示摸球后所得的奖金数 由于参与者摸取的球上标有数字 1 000 800 600 0 当摸到球上标有数字 0 时 可以再摸一次 但奖金减半 即分别为 500 400 300 0 4 则X的所有可能取值为 1 000 800 600 500 400 300 0 依题意得P X 1 000 P X 800 P X 600 1 4 P X 500 P X 400 P X 300 P X 0 1 16 则X的概率分布为 X1 0008006005004003000 P 1 4 1 4 1 4 1 16 1 16 1 16 1 16 所以所求的数学期望为 E X 1 000 800 600 500 400 300 0 675 元 1 4 1 16 即一个参与抽奖活动的人可得奖金的数学期望是 675 元 B 级 创新综合备选 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 2010 新课标全国卷改编 某种种子每粒发芽的概率都为 0 9 现播种了 1 000 粒 对 于没有发芽的种子 每粒需要再补种 2 粒 补种的种子数记为X 则X的数学期望为 解析 种子发芽率为 0 9 不发芽率为 0 1 每粒种子发芽与否相互独立 故设没有发芽的 种子数为Y 则Y B 1 000 0 1 E Y 1 000 0 1 100 故需补种的期望为E X 2 E Y 200 答案 200 2 签盒中有编号为 1 2 3 4 5 6 的六支签 从中任意取 3 支 设X为这 3 支签的号 码之中最大的一个 则X的数学期望为 解析 由题意可知 X可以取 3 4 5 6 P X 3 P X 4 1 C3 6 1 20 C2 3 C3 6 3 20 P X 5 P X 6 C2 4 C3 6 3 10 C2 5 C3 6 1 2 由数学期望的定义可求得E X 5 25 答案 5 25 3 有一批产品 其中有 12 件正品和 4 件次品 从中任取 3 件 若X表示取到次品的个数 则E X 5 解析 X的取值为 0 1 2 3 则 P X 0 P X 1 C 3 12 C 3 16 11 28 C 2 12C1 4 C 3 16 33 70 P X 2 P X 3 C 1 12C2 4 C 3 16 9 70 C3 4 C 3 16 1 140 E X 0 1 2 3 11 28 33 70 9 70 1 140 3 4 答案 3 4 4 罐中有 6 个红球 4 个白球 从中任取 1 球 记住颜色后再放回 连续摸取 4 次 设X 为取得红球的次数 则X的均值E X 解析 因为是有放回地摸球 所以每次摸球 试验 摸得红球 成功 的概率均为 连续摸 4 3 5 次 做 4 次试验 X为取得红球 成功 的次数 则X B 4 3 5 从而有E X np 4 3 5 12 5 答案 12 5 5 2011 上海 马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布列如下表 x123 P X x 请小牛同学计算X的数学期望 尽管 处完全无法看清 且两个 处字迹模糊 但能断定这两个 处的数值相同 据此 小牛给出了正确答案E X 解析 令 为a 为b 则 2a b 1 又E X a 2b 3a 2 2a b 2 答案 2 6 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简历 假定该毕业生 得到甲公司面试的概率为 得到乙 丙两公司面试的概率为p 且三个公司是否让其面试 2 3 是相互独立的 记X为该毕业生得到面试的公司个数 若P X 0 则随机变量X的 1 12 数学期望E X 解析 P X 0 1 p 2 1 12 1 2 3 1 12 p 1 2 P X 1 P X 2 P X 3 1 3 5 12 1 6 6 E X 1 2 3 1 3 5 12 1 6 5 3 答案 5 3 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 2011 南通调研 某车站每天上午发出两班客车 第一班客车在 8 00 8 20 8 40 这 三个时刻随机发出 且在 8 00 发出的概率为 8 20 发出的概率为 8 40 发出的概率 1 4 1 2 为 第二班客车在 9 00 9 20 9 40 这三个时刻随机发出 且在 9 00 发出的概率为 1 4 1 4 9 20 发出的概率为 9 40 发出的概率为 两班客车发出时刻是相互独立的 一位旅客 1 2 1 4 预计 8 10 到站 1 请预测旅客乘到第一班客车的概率 2 求旅客候车时间的概率分布 3 求旅客候车时间的数学期望 解 1 第一班若在 8 20 或 8 40 发出 则旅客能乘到 其概率为P 1 2 1 4 3 4 2 旅客候车时间的概率分布为 候车时间 分 1030507090 概率 1 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 4 1 4 3 候车时间的数学期望为 10 30 50 70 90 1 2 1 4 1 16 1 8 1 16 5 30 15 2 25 8 35 4 45 8 故这名旅客候车时间的数学期望是 30 分钟 8 2011 南通调研 一种抛硬币游戏的规则是 抛掷一枚硬币 每次正面向上得 1 分 反 面向上得 2 分 1 设抛掷 5 次的得分为X 求X的概率分布和数学期望E X 2 求恰好得到n n N N 分的概率 解 1 所抛 5 次得分X的概率为P X i C 5 i 5 6 7 8 9 10 i 55 1 2 其概率分布如下 X5678910 7 P 1 32 5 32 5 16 5 16 5 32 1 32 E X C 5 10 i 5 i i 5i 1 2 15 2 2 令 pn表示恰好得到 n 分的概率 不出现 n