高三数学回归课本复习材料 导数基本概念素材

用心 爱心 专心 导数基本概念回归课本复习材料导数基本概念回归课本复习材料 一 基础知识 1 xf在 0 x处的导数 或变化率或微商 0 00 0 00 limlim x x xx f xxf xy fxy xx 2 瞬时速度 00 limlim tt ss tts t s t tt 3 瞬时加速度 00 limlim tt vv ttv t av t tt 4 xf在 ba的导数 dydf fxy dxdx 00 limlim xx yf xxf x xx 5 函数 xfy 在点 0 x处的导数的几何意义 函数 xfy 在点 0 x处的导数是曲线 xfy 在 00 xfxP处的切线的斜率 0 x f 相应的切线方程是 000 xxxfyy 6 几种常见函数的导数 1 0 C C 为常数 2 1 n n xnxnQ 7 判别 0 xf是极大 小 值的方法当函数 xf在点 0 x处连续时 1 如果在 0 x附近的左侧0 x f 右侧0 x f 则 0 xf是极大值 2 如果在 0 x附近的左侧0 x f 右侧0 x f 则 0 xf是极小值 二 基本方法 1 导数的定义 f x 在点 x0处的导数记作 x xfxxf xfy x xx lim 00 0 0 0 2 根据导数的定义 求函数的导数步骤为 1 求函数的增量 2 xfxxfy 2 求平均变化率 x xfxxf x y 3 取极限 得导数 x y xf x 0 lim 3 导数的几何意义 曲线 y f x 在点 P x0 f x0 处的切线的斜率是 0 x f 相应地 切线方程是 000 xxxfyy 4 导数的应用 1 利用导数判断函数的单调性 设函数 y f x 在某个区间内可导 如果 0 x f那么 f x 为增函数 如果 0 x f那么 f x 为减函数 如果在某个区间内恒有 0 x ff x 为 常数 2 求可导函数极值的步骤 求导数 x f 求方程0 x f的根 检验 x f 在方程0 x f根的左右的符号 如果左正右负 那么函数 y f x 在这个根处取得最大值 如果左负 右正 那么函数 y f x 在这个根处取得最小值 5 5 导数与函数的单调性的关系导数与函数的单调性的关系 0 x f与 xf为增函数的关系 0 x f能推出 xf为增函数 但反之不一定 0 x f0 x f与 xf为增函数的关系 若将0 x f的根作为分界点 因为规定0 x f 即抠去了分界点 此时 xf为增函数 就一定有0 x f 用心 爱心 专心 当0 x f时 0 x f是 xf为增函数的充分必要条件 0 x f与 xf为增函数的关系 xf为增函数 一定可以推出0 x f 但反之不一定 因为0 x f 即为0 x f或0 x f 当函数在 某个区间内恒有0 x f 则 xf为常数 函数不具有单调性 0 x f是 xf为增函数的必要不充分条件 7 函数的单调性函数的单调性 如果函数y xf在某个区间内可导 那么若 xf 0 则 xf为增函数 若 xf 0 则 xf为减函数 若 xf 0 则 xf为常数 说明 利用导数可以证明或判断函数的单调性 注意当 f x 0 或 f x 0 带上等号 f x0 0 是函数 f x 在 x0处取得极值的非充分非必要条件 8 8 函数的极值函数的极值 极值定义 如果函数 xf在点 0 x附近有定义 那么对 0 x附近的点 都有 xf 0 xf我们就说 0 xf函数的一个极小值 记作 极小值 y 0 xf 极大值与极小 值统称为极值 极值判别法 当函数 xf在点 0 x处连续时 极值判断法是 如果在 0 x附近的左侧 xf 0 右侧 xf 0 那么 0 xf是极大值 如果在 0 x附近的左侧 xf0 那么 0 xf是极小值 求可导函数极值的步骤 首先 求导数 xf 再求导数 xf 0 的根 最后 检查 xf在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么 xf在这个根处取极大值 如果左负右正 那么 xf在这个根处取极小值 说明 曲线说明 曲线 yf x 在在 0 xx 处有极值处有极值 0 y 可以说明以下四个内容 可以说明以下四个内容 点 00 xy在曲线上 满足 00 yf x 该处导数 0 0 x x yfx 0 0 x是方程 0 0fx 的根 00 xxxx 或 fx 符号各异 9 9 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 在闭区间 ba 上连续 在 ba 内可导 xf在 ba 上求最大值与最小值的步骤 先求 xf在 ba 内的极值 再将 xf的各极值与 af bf比较 其中最大的一个是最大值 最小的一