高考数学复习点拨 巧用正弦定理解题

用心 爱心 专心 巧用正弦定理解题巧用正弦定理解题 正弦定理是三角形中的一个重要定理 它揭示了三角形中边和角的关系 进而把三角 函数的运算与代数式的运算联系起来 使解题极为方便 下面从五个方面举例说明 一 已知两角和任一边解三角形 例 1 在 ABC 中 已知中 求 及 ABC 的面积 S 00 120 30 14 BAbac 解 依正弦定理 代入已知条件 A a sinB b sinB Ab a sin sin 3 314 120sin 30sin14 0 0 a 又 00000 30 12030 180 180 BAC B b sinC c sin 或因为 C A ABC 为等腰三角形 所以 3 314 120sin 30sin14 sin sin 0 0 B Cb c ca CabS ABC sin 2 1 3 34 30sin14 3 314 2 1 0 点评 已知两角实际上第三个角也是已知的 故用正弦定理很方便可以求出其它边的 值 二 已知两边和其中一边对角解三角形 例 2 已知在 ABC 中 解这个三角形 0 45 2 3 Bba 解 解 由正弦定理及已知条件有 得 0 45sin 2 sin 3 A2 3 sin Aba 或 BA 0 45 0 60 A 0 120 当时 0 60 A 0000 756045180 C 2 26 45sin 75sin2 sin sin 0 0 B Cb c 当时 0 120 A 0000 1512045180 C 2 26 45sin 15sin2 sin sin 0 0 B Cb c 点评 两边和其中一边对角已知 容易求出另一边所对的角 从而三个角都可以求出 由于正弦函数在不是单调的 故要注意多解情况 0 用心 爱心 专心 三 判定三角形形状 例例 3 在 ABC 中 若 成立 试判断这个三角形形状 bAcosaBcos 解 解 用正弦定理 得 BRsin2AcosARsin2Bcos 即 根据三角形内角BsinAcosAsinBcos B B A A cos sin cos sin BAtantan 和定理 知 必都为锐角 所以 A B 即 ABC 是等腰三角形 AB 点评点评 由已知条件确定三角形的形状 主要通过两个途径 化角为边 通过代数式 变形求出边与边之间关系 化边为角 利用三角恒等变形找出角与角之间关系 一般情 况下 利用三角恒等变形计算量会小一些 四 证明三角形中的三角恒等式证明三角形中的三角恒等式 例例 4 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 证明 22 2 sin sin abAB cC 证明 由正弦定理得 2 sinsinsin abc R ABC 2 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC 2222 22 sinsin sin abAB cC 22 1 cos21 cos2 cos2cos2 22 sin2sin AB BA CC 2 cos cos 2sin BABABABA C 22 2sin sin sinsin 2sinsin BABACBA CC sin sin BA C 所以 22 2 sin sin abAB cC 点评 由于不等式两边一边是代数式 一边是三角式 故通过正弦定理来把边全化为 角 把证明转化为三角恒等变形的问题 五 处理实际问题 例 5 在某点 B 测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 沿 BE 方向前进 30 米 到点 C 处 测得顶端 A 的仰角为 再继续前进米到点 D 点 顶端 A 的仰角为 求的大 2310 4 小和建筑物 AE 的高 解 如图所示 在中 ACD 30 BCAC 310 DCAD 41800 ADC 因为 得 4180sin 30 2sin 310 0 2cos2sin24sin 2 3 2cos 用心 爱心 专心 0 302 在中 0 15 ADERt 1560sin 0 ADAE 所以