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2020届福建省永安市第一中学、漳平市第一中学高三上学期第一次联考数学(理)试题一、单选题1已知集合,则( )ABCD【答案】C【解析】解一元一次不等式化简集合的表示,解分式不等式化简集合的表示,最后根据补集的定义、交集的定义,结合数轴进行求解即可.【详解】因为,所以,因此.故选:C【点睛】本题考查了集合的补集、交集的定义,考查了解分式不等式,考查了数学运算能力.2“”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析:因为,所以“”是“”的充分不必要条件;故选A【考点】1二倍角公式;2充分条件和必要条件的判定3下列说法错误的是( )A“”是“”的充分不必要条件B命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”C若为假命题,则,均为假命题D命题,使得,则,使得【答案】C【解析】A:根据充分性和必要性的定义进行判断即可;B:根据逆否命题的定义进行判断即可;C:根据且命题真假的规定进行判断即可;D:根据全称命题的否定性质进行判断即可.【详解】A:由能推出,但由不一定能推出,故“”是“”的充分不必要条件,因此本命题是真命题;B:因为若则的逆否命题是若则,所以命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”,因此本命题是真命题;C:根据的真假规定可知:中有一个是假命题则是假命题,只有全都是真命题时,才是真命题,因此本命题是假命题;D:根据全称命题的否定的性质可知:命题,使得,则,使得,因此本命题是真命题.故选:C【点睛】本题考查了充分不必要条件的判定,考查了且命题的真假判断,考查了全称命题的否定,考查了逆否命题的定义.4已知,则( )ABCD【答案】B【解析】试题分析:因为,所以,选B.【考点】二倍角公式,诱导公式5函数的图像大致是( )ABCD【答案】B【解析】试题分析:由,得,则为奇函数,故其图象关于原点对称,排除C;当时,故,故排除A、D,故选B.【考点】函数的图象.6已知,则( )ABCD【答案】D【解析】由题意可知=,所以=。选D.7已知,则实数a,b,c的大小关系是( )ABCD【答案】B【解析】先用微积分基本定理求出的值,利用不等式的基本不性质进行判断即可.【详解】, 因为,所以,因为,所以有.故选:B【点睛】本题考查了指数幂的大小比较,考查了微积分基本定理的应用,考查了数学运算能力.8将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中,后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线,假设过后甲桶和乙桶的水量相等,若再过甲桶中的水只有升,则的值为( )A10B9C8D5【答案】D【解析】由题设可得方程组,由,代入,联立两个等式可得,由此解得,应选答案D。9已知,则的值是ABCD【答案】D【解析】,,又,故选D.10已知定义在R上的偶函数满足:当时,则( )ABCD【答案】A【解析】根据题中所给的不等式和选项中不等式的形式,构造新函数,求导,根据新函数的单调性和奇偶性进行求解即可.【详解】构造新函数为:,因为是偶函数,故,于是有,所以函数是偶函数.,当时,所以当时,是增函数,因为,所以有成立,因此选项A成立,显然成立,因此选项B不成立,显然成立,因此选项C不成立;显然成立,因此选项D不成立;故选:A【点睛】本题考查了构造新函数进行比较大小问题,考查了偶函数的判断和性质,属于基础题.11已知函数是定义在R上奇函数,且满足,当时,则当时的最大值为( )ABC1D0【答案】C【解析】根据可以确定函数的周期,根据周期性和配方法进行求解即可.【详解】由,因此可以得到:,所以函数的周期为4,当时,当时,显然当时,函数的最大值为1.故选:C【点睛】本题考查了函数周期性的应用,考查了配方法,属于基础题.12已知函数,若当 时,有解,则的取值范围为( )ABCD【答案】C【解析】求得函数的导数,得到函数的单调性,以及的取值,再由导数的几何意义,即可求解。【详解】由题意,函数,则导数,所以函数在上递减,在上递增,当时,又由,当 时,有解,即函数和的图象有交点,如图所示,又因为在点的切线的斜率为,所以【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及方程的有解问题,着重考查了转化与化归思想、数形结合思想和推理、运算能力,对于方程的有解问题,通常转化为两个函数图象的交点个数,结合图象求解二、填空题13计算定积分=_.【答案】【解析】函数表示单位圆位于轴上方的部分,则:,函数y=x为奇函数,则,据此可得:.14函数(且)的图象恒过点A,且点A在角的终边上,则_.【答案】【解析】根据对数的运算性质可以求出点A的坐标,再根据三角函数的定义可以求出,最后利用二倍角的正弦公式进行求解即可.【详解】当时,因此点A的坐标为,因此有,所以.故答案为:【点睛】本题考查了三角函数的定义,考查了二倍角的正弦公式,考查了数学运算能力.15如果,已知正方形的边长为2,平行轴,顶点,和分别在函数,和的图像上,则实数的值为_【答案】【解析】设B(x,2logax),利用BC平行于x轴得出C(x2,2logax),利用AB垂直于x轴 得出 A(x,3logax),则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示为logaxx2x2,求出x,再求a 即可【详解】设B(x,2logax),BC平行于x轴,C(x,2logax)即logax2logax,xx2,正方形ABCD边长|BC|x2x2,解得x2由已知,AB垂直于x轴,A(x,3logax),正方形ABCD边长|AB|3logax2logaxlogax2,即loga22,a,故答案为:【点睛】本题考查对数函数的性质、对数的运算,是平面几何与函数知识的结合,体现出了数形结合的思想16已知函数,若在区间上没有零点,则的取值范围是_.【答案】【解析】运用辅助角公式化简函数的解析式,求出零点,根据题意进行求解即可.【详解】,或即或,即且,因为,所以有.因此或,解不等式组(1)得:;解不等式组(2)得:;故答案为:【点睛】本题考查了正弦型函数在区间上没有零点求参数取值范围,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.三、解答题17在中,角,的对边分别是a,b,c,且满足.(1)求角的大小;(2)若,求的面积.【答案】(1);(2).【解析】(1)利用正弦定理,结合两角和的正弦公式,特殊角的三角函数值进行求解即可;(2)运用余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.【详解】(1),即, 将利用正弦定理化简得:. , 在中,又,则. (2),由余弦定理得:. 又,即的面积为.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用,考查了两角和的正弦公式,考查了数学运算能力.18已知二次函数满足,且在R上的最小值为.(1)求函数在处的切线方程;(2)当时,求函数的极值.【答案】(1);(2),.【解析】(1)由可以判断函数的对称性,再给合二次函数的性质可以求出二欠函数的解析式,再对函数进行求导,进行导数的几何意义进行求解即可.(2)对函数进行求导,判断出函数的单调性,进而求出函数的极值.【详解】(1)依题意得:二次函数且, 解得,. 故切点,.所求切线方程为:. (2),. 令得,(舍去) 在为增函数,为减函数,为减函数 ,.【点睛】本题考查了二次函数的对称性和最值,考查了闭区间的极值问题,考查了数学运算能力.19已知函数,.(1)若,求函数的单调递减区间;(2)若把向右平移个单位得到函数,求在区间上的最值.【答案】(1);(2)最小值为,最大值为1.【解析】(1)利用二倍角公式、辅助角公式进行化简函数的解析式,然后根据正弦型函数的单调性进行求解即可;(2)根据函数平移的性质求出函数的解析式,然后根据正弦型函数的单调性求出在区间上的最值.【详解】(1), 令,得, 又,可得函数的单调减区间为. (2)若把函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象, , . 故在区间上的最小值为,最大值为1.【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性,考查了辅助角公式、二倍角的余弦公式,考查了数学运算能力.20已知函数其中.(1)若在定义域内恒成立,求实数的取值范围;(2)设且在上为单调函数,求实数的取值范围.【答案】(1);(2) .【解析】(1)根据题意构造函数,求导,求出函数的最值,最后求出实数的取值范围;(2)由在上为单调函数,求导数,判断导函数的单调性以及余弦函数的有界性进行求解即可.【详解】(1)依题意在定义域上恒成立,构造在定义域上恒成立, 只需. 而令得 所以在为增函数,在为减函数, 得. (2)由在上为单调函数,而其中 在为减函数,. 在恒成立 得. 故 .【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题,考查了已知函数的单调性利用函数导数求参数取值范围问题,考查了数学运算能力.21已知函数,.(1)求证:函数的图象恒在函数图象的上方;(2)当时,令的两个零点,.求证:.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)构造新函数,求导,求出新函数的最小值,并判断出最小值的正负性即可;(2)对函数进行求导,判断出函数的单调性,结合零点存在原理进行求解即可.【详解】(1)证明:构造函数. 则,令得 时,时在为减函数,在为增函数, 所以,即故函数的图象恒在函数图象的上方. (2)证明:由有两个零点,当时 则在为增函数,且,则当时,为减函数,当时,为增函数, 又, . 在和上各有一个零点, 故.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题,考查了已知函数的零点利用导数求参数取值范围问题,考查了数学运算能力.22在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,为参数以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为与交于两点()求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程;()设点,求的值【答案】:,:;【解析】()利用三种方程互化方法,曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程;()点P(0,2)在l上,l的参数方程为为(t为参数),代入x2+y2=1整理得,3t210t+15=0,即可求|PA|+|PB|的值【详解】曲线的普通方程为:直线的直角坐标方程:点在上,的参数方程为(为参数)代入:整理得:,.【点睛】本题考查三种方程互化,考查参数的几何意义,考查学生的计算能力,属于中档题23已知

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