（新课程）高中数学《2.2.2反证法》导学案 新人教A版选修2-2

1 2 2 2 2 2 2 反证法反证法 学习目标 1 结合已经学过的数学实例 了解间接证明的一种基本方法 反证法 2 了解反证法的思考过程 特点 3 会用反证法证明问题 学习过程 一 课前准备 预习教材 找出疑惑之处 复习 1 直接证明的两种方法 和 复习 2 是间接证明的一种基本方法 二 新课导学 学习探究 探究任务 反证法反证法 问题 1 将 9 个球分别染成红色或白色 那么无论怎样染 至少有 5 个球是同色的 你能证 明这个结论吗 问题 2 三十六口缸 九条船来装 只准装单 不准装双 你说怎么装 新知 一般地 假设原命题 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设 从而证明了原命题 这种证明方法叫 试试 证明 不可能成等差数列 5 3 2 反思 证明基本步骤 假设原命题的结论不成立 从假设出发 经推理论证得到矛盾 矛盾的原因是假设不成立 从而原命题的结论成立 方法实质 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的 即由一个命题与其 逆否命题同真假 通过证明一个命题的逆否命题的正确 从而肯定原命题真实 典型例题典型例题 例 1 已知 证明的方程有且只有一个根 0a xaxb 2 变式 证明在中 若是直角 那么一定是锐角 ABC C B 小结 应用关键 在正确的推理下得出矛盾 与已知条件矛盾 或与假设矛盾 或与定 义 公理 定理 事实矛盾等 例 2 求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 变式 求证 一个三角形中 至少有一个内角不少于 60 小结 反证法适用于证明 存在性 唯一性 至少有一个 至多有一个 等字样的一些数 学问题 动手试试 3 练 1 如果 那么 1 2 x 2 210 xx 练 2 的三边的倒数成等差数列 求证 ABC a b c90B 三 总结提升 学习小结 1 反证法的步骤 否定结论 推理论证 导出矛盾 肯定结论 2 反证法适用于证明 存在性 唯一性 至少有一个 至多有一个 等字样的一些数学问 题 知识拓展 空城计与反证法 空城计相传三国时代 蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国 只 留下少数老弱军士守城 不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来 靠几个老弱士兵出城应战 犹如鸡蛋碰石头 怎么办 诸葛亮冷静思考之后 传令大开城门 让老弱士兵在城门口洒扫道 路 自己则登上城楼 摆好香案 端坐弹琴 态度从容 琴声优雅 司马懿来到城前见此情况 心中疑惑 他想诸葛亮一生精明过人 谨慎有余 今天如此这般与其一生表现矛盾 恐怕城内 必有伏兵 故意诱我入城 决不能中计 于是急令退兵 诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾 才以 不守城 来达到暂时 守住城 的目 的 诸葛亮从问题 守住城 的反面 不守城 考虑 来解决用直接或正面方法 用少数 老弱兵士去拼杀 很难或无法解决的问题 在历史上留下美谈 这就是家喻户晓的 空城 计 学习评价 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 用反证法证明命题 三角形的内角至少有一个不大于 时 反设正确的是 60 A 假设三内角都不大于60 4 B 假设三内角都大于60 C 假设三内角至多有一个大于60 D 假设三内角至多有两个大于60 2 实数不全为 0 等价于为 a b c A 均不为 0 a b c B 中至多有一个为 0 a b c C 中至少有一个为 0 a b c D 中至少有一个不为 0 a b c 3 设都是正数 则三个数 a b c 111 abc bca A 都大于 2 B 至少有一个大于 2 C 至少有一个不小于 2 D 至少有一个不大于 2 4 用反证法证明命题 自然数中恰有一个偶数 的反设为 a b