（江西版）2013年高考数学总复习 第八章8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教案 理 北师大版

1 20132013 年高考第一轮复习数学北师年高考第一轮复习数学北师 江西版江西版 理第八章理第八章 8 48 4 直线与圆 直线与圆 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 考纲要求考纲要求 1 能根据给定直线 圆的方程判断直线与圆的位置关系 2 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 3 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 4 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 5 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标表示点的位置 会推导空间两点间的距离 公式 知识梳理知识梳理 1 直线与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系有三种 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 代数法 把直线方程与圆的方程联立方程组 消去x或y整理成一元二次方程后 计 算判别式 b2 4acError 几何法 利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系 d r d r d r 2 圆的切线方程 若圆的方程为x2 y2 r2 点P x0 y0 在圆上 则过P点且与圆x2 y2 r2相切的切线 方程为 注 点P必须在圆x2 y2 r2上 经过圆 x a 2 y b 2 r2上点P x0 y0 的切线方程为 经过圆x2 y2 Dx Ey F 0 上点P x0 y0 的切线方程为 3 直线与圆相交 直线与圆相交时 若l为弦长 d为弦心距 r为半径 则有r2 即l 2 求弦长或已知弦长求其他量的值 一般用此公式 r2 d2 2 圆与圆的位置关系 1 圆与圆的位置关系可分为五种 2 判断圆与圆的位置关系常用方法 几何法 设两圆圆心分别为O1 O2 半径为r1 r2 r1 r2 则 O1O2 r1 r2 O1O2 r1 r2 r1 r2 O1O2 r1 r2 O1O2 r 1 r2 O1O2 r1 r2 代数法 方程组Error 有两组不同的实数解 两圆 有两组相同的实数解 两圆 无实数解 两圆相离或内含 3 在空间直角坐标系中 O叫做坐标原点 x y z轴统称为坐标轴 由坐标轴确定的 平面叫做坐标平面 这儿所说的空间直角坐标系是空间右手直角坐标系 即伸开右手 使拇 指指向 轴的正方向 食指指向 轴的正方向 中指指向 轴的正方向 也可 这样建立坐标系 令z轴的正方向竖直向上 先确定x轴的正方向 再将其按逆时针方向旋 转 90 就是y轴的正方向 4 空间点的坐标 设点P x y z 为空间坐标系中的一点 则 1 关于原点的对称点是 2 关于x 2 轴的对称点是 3 关于y轴的对称点是 4 关于z轴的对称点是 5 关 于xOy坐标平面的对称点是 6 关于yOz坐标平面的对称点是 7 关于xOz 坐标平面的对称点是 5 空间两点间的距离 设A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 则 AB 基础自测基础自测 1 在下列直线中 与圆x2 y2 2x 2y 3 0 相切的直线是 3 A x 0 B y 0 C x y 0 D x y 0 2 两圆x2 y2 2y 0 与x2 y2 4 0 的位置关系是 A 相交 B 内切 C 外切 D 内含 3 直线l y k x 2 2 与圆C x2 y2 2x 2y 0 有两个不同的公共点 则k的取 值范围是 A 1 B 1 1 C 1 D 1 1 4 圆心在原点且与直线x y 2 0 相切的圆的方程为 5 直线l y k x 3 与圆O x2 y2 4 交于A B两点 AB 2 则实数 2 k 6 已知A x 2 3 B 5 4 7 且 AB 6 则x的值为 思维拓展思维拓展 1 在判断直线与圆相交时 当直线方程和圆的方程都含有字母时 如何判断 提示 提示 若给出的方程都含有字母 利用代数法和几何法有时比较麻烦 这时只要说明直 线过圆内的定点即可 2 在求过一定点的圆的切线方程时 应注意什么 提示 提示 首先判断点与圆的位置关系 若点在圆上 该点即为切点 则切线只有一条 若点在圆外 切线应有两条 若点在圆内 无切线 若求出的切线条数与判断不一致 则 可能漏掉了切线斜率不存在的情况了 一 直线与圆的位置关系 例 1 点M a b 是圆x2 y2 r2内异于圆心的一点 则直线ax by r2与圆的交点 个数为 A 0 B 1 C 2 D 需要讨论确定 方法提炼方法提炼直线与圆的位置关系有两种判定方法 代数法与几何法 由于几何法一般比代 数法计算量小 简便快捷 所以更容易被人接受 同时 由于它们的几何性质非常明显 所 以利用数形结合 并充分考虑有关性质会使问题处理起来更加方便 请做请做 针对训练针对训练 4 4 二 直线与圆相交问题 例 2 1 过原点且倾斜角为 60 的直线被圆x2 y2 4y 0 所截得的弦长为 A B 2 C D 2 363 例 2 2 已知点P 0 5 及圆C x2 y2 4x 12y 24 0 若直线l过点P且被圆C截 得的弦长为 4 求l的方程 3 方法提炼方法提炼直线与圆相交求弦长有两种方法 1 代数方法 将直线和圆的方程联立方程组 消元后得到一个一元二次方程 在判别 式 0 的前提下 利用根与系数的关系求弦长 弦长公式l x1 x2 1 k2 其中a为一元二次方程中的二次项系数 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 a 2 几何方法 若弦心距为d 圆的半径长为r 则弦长l 2 r2 d2 代数法计算量较大 我们一般选用几何法 请做请做 针对训练针对训练 1 1 三 圆的切线问题 3 例 3 从圆 x 1 2 y 1 2 1 外一点P 2 3 向该圆引切线 求切线方程 方法提炼方法提炼求圆的切线方程 一般设为点斜式方程 首先判断点是否在圆上 如果过圆上 一点 则有且只有一条切线 如果过圆外一点 则有且只有两条切线 若利用点斜式方程求 得过圆外一点的切线只有一条 则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上 请做请做 针对训练针对训练 5 5 四 圆与圆的位置关系 例 4 1 已知圆C1 x2 y2 2mx 4y m2 5 0 圆 C2 x2 y2 2x 2my m2 3 0 m为何值时 1 圆C1与圆C2外切 2 圆C1与圆C2内含 例 4 2 已知圆C的圆心在直线x y 4 0 上 并且通过两圆 C1 x2 y2 4x 3 0 和C2 x2 y2 4y 3 0 的交点 1 求圆C的方程 2 求两圆C1和C2相交弦所在直线的方程 方法提炼方法提炼 1 判断两圆的位置关系 通常是用几何法 从圆心距d与两圆半径长的和 差的关系入手 如果用代数法 从交点个数也就是方程组解的个数来判断 但有时不能得到 准确结论 2 若所求圆过两圆的交点 则可将圆的方程设为过两圆交点的圆系方程 C1 C2 0 1 3 利用两圆方程相减即可得到相交弦所在直线的方程 请做请做 针对训练针对训练 2 2 五 空间直角坐标系 例 5 1 在空间直角坐标系中 已知点A 1 0 2 B 1 3 1 点M在y轴上 且 M到A与B的距离相等 则M的坐标是 例 5 2 求点A 1 2 1 关于x轴及坐标平面xOy的对称点B C的坐标 以及 B C两点间的距离 方法提炼方法提炼求某点关于某轴的对称点时 关于谁对称谁不变 如点 x y z 关于x轴 的对称点是 x y z 求某点关于某平面的对称点时 缺哪个变哪个 如点 x y z 关于平面xOy的对称点是 x y z 点 x y z 关于原点的对称点是 x y z 请做请做 针对训练针对训练 3 3 考情分析考情分析 通过分析近几年的高考试题 可以看到对于本节内容 主要是考查直线与圆的位置关系 以选择题 填空题为主 题目难度适中 着重于基础知识 基本方法的考查 整个命题过程 主要侧重以下几点 1 直线与圆 圆与圆的位置关系是考查的重点 特别是直线与圆的位 置关系 2 圆中几个重要的度量关系 在直线与圆的位置关系中 弦心距 半弦长 半径 构成的直角三角形是解决问题的核心 在切线问题中 切线长 半径 圆外的点与圆心的连 线构成的直角三角形是解决切线问题的载体 针对训练针对训练 1 过原点的直线与圆x2 y2 2x 4y 4 0 相交所得弦的长为 2 则该直线的方程为 2 若圆x2 y2 4 与圆x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦长为 2 则a 3 3 已知在空间中有 ABC 其中A 1 2 3 B 1 1 1 C 0 0 5 则 ABC的面积等于 4 已知圆x2 y2 2 和直线y x b 当b为何值时 圆与直线 1 有两个公共点 2 只有一个公共点 3 没有公共点 5 自点A 3 3 发出的光线l射到x轴上 被x轴反射 其反射光线所在直线与圆 4 x2 y2 4x 4y 7 0 相切 如图所示 求光线l所在直线的方程 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 1 相切 相交 相离 相交 相切 相离 相交 相切 相离 2 x0 x y0y r2 x0 a x a y0 b y b r2 x0 x y0y D E F 0 3 d2 2 x0 x 2 y y0 2 l 2 2 1 相离 外切 相交 内切 内含 相离 外切 相交 内切 内含 相交 相切 3 x y z 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 5 x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2 基础自测基础自测 1 B 解析 解析 将圆的方程化为标准方程为 x 2 y 1 2 1 分别结合图形及通过 3 求解圆心到直线距离与半径的关系易得 B 选项正确 A B 选项均通过作图可直观判断 2 B 解析 解析 两圆方程可化为x2 y 1 2 1 x2 y2 4 两圆圆心分别为O1 0 1 O2 0 0 半径分别为r1 1 r2 2 O1O2 1 r2 r1 两圆内切 3 D 解析 解析 由题意知 圆心C 1 1 到直线l的距离d 解得 k 1 2k 2 k2 12 k 1 故k的取值范围是 1 1 4 x2 y2 2 解析 解析 圆心 0 0 到直线x y 2 0 的距离d 2 12 122 圆的方程为x2 y2 2 5 解析 解析 由已知可求出圆心O到直线l的距离d 即 解得 14 72 3k 1 k22 k 14 7 6 1 或 9 解析 解析 由空间两点间的距离公式 得 6 x 5 2 2 4 2 3 7 2 即 x 5 2 16 解得x 1 或x 9 考点探究突破考点探究突破 例 1 A 解析 解析 由题意知a2 b2 r2 所以圆心 0 0 到直线ax by r2 0 的距离d r r2 a2 b2 即直线与圆相离 无交点 例 2 1 D 解析 解析 直线方程为y x 圆的方程可化为x2 y 2 2 4 3 圆心 0 2 半径长r 2 圆心到直线y x的距离d 1 3 则弦长为 2 2 r2 d23 例 2 2 解 解 圆的方程可化为 x 2 2 y 6 2 16 圆心 2 6 半径长r 4 又直线l被圆截得的弦长为 4 3 所以圆心C到直线l的距离d 2 42 2 r 3 2 当直线l的斜率不存在时 直线方程为x 0 此时符合题意 当直线l的斜率存在时 设直线方程为y 5 kx 即kx y 5 0 由 2 得k 2k 6 5 k2 1 3 4 此时l的方程为x y 5 0 即 3x 4y 20 0 故所求直线方程为x 0 或 3 4 6 3x 4y 20 0 例 3 解 解 当切线斜率存在时 设切线方程为y 3 k x 2 即kx y 3 2k 0 圆心为 1 1 半径长r 1 1 k k 1 3 2k k2 1 2 3 4 所求切线方程为y 3 x 2 3 4 即 3x 4y 6 0 当切线斜率不存在时 因为切线过点P 2 3 且与x轴垂直 此时切线的方程为x 2 例 4 1 解 解 对于圆C1与圆C2的方程 经配方后得 C1 x m 2 y 2 2 9 C2 x 1 2 y m 2 4 1 如果C1与C2外切 则有 3 2 m 1 2 m 2 2 m 1 2 m 2 2 25 即m2 3m 10 0 解得m 5 或m 2 2 如果C1与C2内含 则有 3 2 m 1 2 m 2 2 m 1 2 m 2 2 1 m2 3m 2 0 解得 2 m 1 当m 5 或m 2 时 圆C1与圆C2外切 当 2 m 1 时 圆C1与圆C2内含 例 4 2 解 解 1 因为所求的圆过两已知圆的交点 故设此圆的方程为x2 y2 4x 3 x2 y2 4y 3 0 1 R R 即 1 x2 y2 4x 4 y 3 3 0 即x2 y2 3 0 圆心为 4x 1 4 y 1 2 1 2 1 由于圆心在直线x y 4 0 上 4 0 解得 2 1 2 1 1 3 所求圆的方程为x2 y2 6x 2y 3 0 2 将圆C1和圆C2的方程相减 得x y 0 此即相交弦所在直线的方程 例 5 1 0 1 0 解析 解析 设M 0 y 0 由 1 0 2 0 y 2 2 0 2 1 0 2 3 y 2 1 0 2 解得y 1 故M 0 1 0 例 5 2 解 解 易知B 1 2 1 C 1 2 1 所以 BC 4 1 1 2 2 2 2 1 1 2 演练巩固提升演练巩固提升 针对训练针对训练 1 2x y 0 解析 解析 圆的方程可化为 x 1 2 y 2 2 1 可知圆心为 1 2 半径为 1 设直线方程为y kx 则圆心到直线的距离为d 故有 0 解得k 2 k 2 1 k2 k 2 1 k2 故直线方程为y 2x 即 2x y 0 2 1 解析 解析 依题 画出两圆位置如下图 公共弦为AB 交y轴于点C 连接OA 则 OA 2 两圆方程相减 得 2ay 2 解得y 1 a OC 1 a 又公共弦长为 2 AC 33 于是 由 Rt AOC可得OC2 AO2 AC2 即 22 2 1 a23 7 整理得a2 1 又a 0 a 1 3 解析 解析 根据空间中两点间的距离公式可得 9 2 AB 3 1 1 2 2 1 2 3 1 2 BC 3 1 0 2 1 0 2 1 5 22 AC 3 1 0 2 2 0 2 3 5 2 因为 AB AC 且 AB 2 AC 2 BC 2 所以 ABC是以A为直角的等腰直角三角形 故其面积S AB AC 3 3