高考数学复习点拨 二分法的应用

用心 爱心 专心 二分法的应用二分法的应用 你了解多少你了解多少 函数与方程的思想贯穿了高中数学的始终 而且函数与方程紧密联系 函数的零点就 是相应方程的实数根 研究二分法求方程的近似解问题 首先是通过估算 数形结合借助 计算器 计算机等手段来确定一个零点所在的大致区间 本文通过几个具体例子来看看二 分法有何应用 一 求方程的近似解一 求方程的近似解 例 1 证明方程 6 3x 2x在区间 1 2 内有唯一一个实数解 并求出这个实数解 精确到 0 1 证明 设函数使 f x 2x 3x 6 f l 10 又 f x 是增函数 所以函数 f x 2x 3x 6 在区间 1 2 有唯一的零点 则方程 6 3x 2x在区间 1 2 有唯一一个实数 解 设该解为 x0 则 x0 1 2 取 x1 1 5 f 1 5 0 33 0 F 1 f 1 5 0 x0 1 1 5 取 x2 1 25 f 1 15 0 128 0 f 1 f 1 25 0 x0 1 1 25 取 x3 1 125 f 1 125 0 44 0 f 1 125 f 1 25 0 x0 1 125 1 25 取 x4 1 187 5 f 1 187 5 0 16 0 f 1 187 5 f 1 25 0 x0 1 187 5 1 25 1 25 1 87 5 0 062 5 0 1 可取 x0 1 2 则方程的实数解为 x0 1 2 点评 用二分法求方程实数解的思想是非常简明的 但是为了提高解的精确度 用二 分法求方程实数解的过程又是较长的 有些计算不用计算工具甚至无法实施 所以需要借 助科学计算器 二 判断方程解的个数二 判断方程解的个数 例 2 已知函数 f x 在其定义域上是单调函数 证明 f x 至多有一个零点 分析 不妨设 f x 在 R 上是增函数 为证明 f x 0 至多有一个实根 考虑用反证法证 明 证明 假设 f x 0 至少有两个不同的实根 x1 x2 且不妨设 x1 x2 由题意得 f x1 O f x2 0 f x1 f x2 f x 在定义域上是单调菌数 不妨设为增函数 由 x1 x2 则 f x1 f x2 因此 矛盾 假设不成立 故 f x 0 至多有一个零点 三 求一定条件下的函数的零点三 求一定条件下的函数的零点 例 3 求函数 f x x3 x2 2x 2 的一个为正数的零点 精确到 0 1 分析 用二分法 要注意到初始区间的选取 解 由于 f 1 20 可取区间 1 2 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算 列表如下 端点 中点 坐标计算中点的函数值取区间 用心 爱心 专心 由上表的计算可知 区间 1 375 1 438 的长度小于 0 1 所以这个区间的中点 x5 1 4 可作为所求函数的一个正实数零点的近似值 函数 f x x3 x2 2x 2 的图象如图 实 际上还可用二分法继续算下去 进而得到这个零点精确度更高的近似值 点评 给定精确度 用二分法求函数 f x 零点的近似值应该按课本 P105的四个步骤 进行 四 确定函数零点的个数四 确定函数零点的个数 例 4 二次函数 y ax2 bx c 中 ac 0 则函数零点个数为 分析 c f 0 ac a f 0 0 a 与 f 0 异号 即 0 0 0 f a 或 0 0 0 f a 函 数必有两零点 或 ac 0 b2 4ac 0 函数有两个零点 答案 2 点评 用二分法求方程近似解 关键是判断近似解所在的区间 a b 用二分法选定 初始区间时 往往通过分析函数图象的变化趋势 并通过试验确定端点 五 求一些无理数的值五 求一些无理数的值 二分法不仅仅用于求函数零点或方程的根 它还有很多应用 例如求一些无理数的值 解决实际问题等 例 5 求 3 2的近似值 精确到 0 01 分析 若设 x 3 2 则 x3 2 0 因此 3 2的近似值就是方程 x3 2 0 的根的近似值 也 就是函数 y x3 2 的近似零点 解 设 x 3 2 则 x3 2 0 令 f x x3 2 则函数 f x 的零点的近似值就是 3 2的近似 值 以下用二分法求其零点的近似值 由于 f 1 10 故可以取区间 1 2 为计算的初始区间 用二分法逐步计算 列表如下 f 1 20 1 2 x1 1 2 2 1 5f x1 0 625 0 1 1 5 X2 1 1 5 2 1 25f x2 0 984 0 1 25 1 5 X3 1 25 1 5 2 1 375f x3 0 2600 1 375 1 438 X5 1 375 1 438 2 1 406 5 f x5 0 052 0 例 3 题图 x 1 2 1 0 y 用心 爱心 专心 区间 1 257 812 5 1 265 625 的长度 1 265 625 1 257 812 5 0 007 81 0 01 所以这个区间的两个端点的近似值都可以作为函数 f x 零点的近似值是 1 26 即 3 2的近似值是 1 26 六 解决实际应用问题六 解决实际应用问题 二分法不仅仅用于求函数零点或方程的根 它在现实生活中也有许多重要的应用 例5 在一个风雨交加的夜里 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故 障 这是一条10 km长的线路 如何迅速查出故障所在 如果沿着线路一闸门 待查 指挥部一小段一小段查找 困难很多 每查一个点要 爬一次电线杆子 10 km长 大约有200多根电线杆子呢 想一想 维修线路的工人师傅怎样工作最合理 如图 他首先从中点C查 用随身带的话机向两端测试时 发现AC 段正常 断定故障在BC段 再到BC段中点D 这次发现BD段正常 可见 故障在CD段 再到CD中点E来查 每查一次 可以把待查的线路长度缩减一半 算一算 要把故障可能发生的范围缩小到50 100 m左右 即一两根电线杆附近 要查多少次 解 用简便易行的方法最多测试7次就能找到故障 方法是 10km线路共有200根电杆 第一次测试第100根 第二次测试有故障的一侧中的第50根 第三次再测有故障的一侧中的第25根 去掉一根 有可能故障在这里 再侧有故障的一段中的第12根 第五次测有故障一段中的第6