（江西版）2013年高考数学总复习 第二章2.7 指数与指数函数教案 理 北师大版

20132013 年高考第一轮复习数学北师年高考第一轮复习数学北师 江西版江西版 理第二章理第二章 2 72 7 指数与指数指数与指数 函数函数 考纲要求考纲要求 1 了解指数函数模型的实际背景 2 理解有理指数幂的含义 了解实数指数幂的意义 掌握幂的运算 3 理解指数函数的概念 理解指数函数的单调性 掌握指数函数图像通过的特殊点 4 知道指数函数是一类重要的函数模型 知识梳理知识梳理 1 根式 1 根式的概念 根式的概念符号表示备注 如果存在实数x 使得 那么 x叫作a的n次方根 a R R n 1 且n N N 当n为奇数时 正数的n次方根是一 个 负数的n次方根是一个 n a 零的n次方根是零 当n为偶数时 正数的n次方根有 它们互为 n a 负数没有偶次方根 2 两个重要公式 Error n an n n 1 且n N N 注意a必须使有意义 n a n a 2 实数指数幂 1 分数指数幂的表示 正数的正分数指数幂的意义是 a 0 m n N N n 1 m n a 正数的负分数指数幂的意义是 a 0 m n N N n 1 m n a 1 n am 0 的正分数指数幂是 0 的负分数指数幂无意义 2 有理指数幂的运算性质 aras a 0 r s Q Q ar s a 0 r s Q Q ab r a 0 b 0 r Q Q 3 无理指数幂 一般地 无理指数幂a a 0 是无理数 是一个 的实数 有理指数幂的运算法 则 于无理指数幂 3 指数函数的图像和性质 函数y ax a 0 且a 1 0 a 1a 1 图像 在x轴 过定点 图像特征 当x逐渐增大时 图像逐渐当x逐渐增大时 图像逐渐 下降上升 定义域 值域 单调性在 R R 上 在 R R 上 当x 0 时 性 质 函数值变 化规律 当x 0 时 当x 0 时 当x 0 时 当x 0 时 基础自测基础自测 1 化简 x 0 y 0 得 4 16x8y4 A 2x2y B 2xy C 4x2y D 2x2y 2 函数y a2 3a 3 ax是指数函数 则有 A a 1 或a 2 B a 1 C a 2 D a 0 且a 1 3 把函数y f x 的图像向左 向下分别平移 2 个单位长度得到函数y 2x的图像 则 A f x 2x 2 2 B f x 2x 2 2 C f x 2x 2 2 D f x 2x 2 2 4 设指数函数f x ax a 0 且a 1 则下列等式不正确的是 A f x y f x f y B f xy n fn x fn y C f x y D f nx fn x f x f y 5 函数 a 1 恒过点 1 10 则m 2 23xx f xam 思维拓展思维拓展 1 分数指数幂与根式有何关系 提示 提示 a 0 m n N N 且n 1 a 0 m n N N m nm n aa 11 m n m nm n a a a 且n 1 2 如图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图像 底数 a b c d与 1 之间的大小关系如何 你能得到什么规律 提示 提示 图中直线x 1 与它们图像交点的纵坐标即为它们各自底数的值 即 c1 d1 1 a1 b1 c d 1 a b 即无论在y轴的左侧还是右侧 底数按逆时针方向变 大 3 函数y ax y a x y ax a 0 a 1 三者之间有何关系 提示 提示 y ax与y ax 是同一个函数的不同表现形式 函数y a x 与y ax不同 前者 是一个偶函数 其图像关于y轴对称 当x 0 时两函数图像相同 一 指数幂的化简与求值 例 1 计算 2 0 5 211 3 0 25 322 34 35 0 008 0 02 0 32 0 062 5 89 方法提炼方法提炼指数幂的化简与求值 1 化简原则 化根式为分数指数幂 化负指数幂为正指数幂 化小数为分数 注意运算的先后顺序 提醒 提醒 有理数指数幂的运算性质中 其底数都大于零 否则不能用性质来运算 2 结果要求 若题目以根式形式给出 则结果用根式表示 若题目以分数指数幂 的形式给出 则结果用分数指数幂的形式表示 结果不能同时含有根式和分数指数幂 也 不能既有分母又有负分数指数幂 请做请做 针对训练针对训练 3 3 二 指数函数的图像与性质的应用 例 2 1 在同一坐标系中 函数y 2x与y x的图像之间的关系是 1 2 A 关于y轴对称 B 关于x轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线y x对称 例 2 2 已知函数 2 43 1 3 axx f x 1 若a 1 求f x 的单调区间 2 若f x 有最大值 3 求a的值 例 2 3 k为何值时 方程 3x 1 k无解 有一解 有两解 方法提炼方法提炼 1 与指数函数有关的函数的图像的研究 往往利用相应指数函数的图像 通 过平移 对称变换得到其图像 2 与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 1 求复合函数的定义域 2 弄清函数是由哪些基本函数复合而成的 3 分层逐一求解函数的单调性 4 求出复合函数的单调区间 注意 同增异减 3 函数y af x 的值域的求解 先确定f x 的值域 再根据指数函数的单调性 确定 y af x 的值域 请做请做 针对训练针对训练 2 2 三 指数函数的综合应用 例 3 已知f x ax a x a 0 且a 1 a a2 1 1 判断f x 的奇偶性 2 讨论f x 的单调性 3 当x 1 1 时 f x b恒成立 求b的取值范围 方法提炼方法提炼 1 利用指数函数的性质解决相关的综合问题时 要特别注意底数a的取值范 围 并在必要时进行分类讨论 2 解决恒成立问题 一般需通过分离变量 通过转化为求函数的最值来实现 请做请做 针对训练针对训练 5 5 考情分析考情分析 对指数函数基础知识的考查 以考查指数幂的运算法则为目的 如指数运算 求函数值 等 以考查指数函数的单调性为目的 如比较函数值的大小 解简单的指数不等式等 题型 主要是选择题 填空题 属中低难度 预测 2013 年高考仍将以指数函数的图像与性质为主要考点 重点考查应用知识解决问 题的能力 针对训练针对训练 1 2011 山东高考 文 3 若点 a 9 在函数y 3x的图像上 则 tan的值为 a 6 A 0 B C 1 D 3 33 2 函数y 0 a 1 图像的大致形状是 xax x 3 2011 四川高考 理 13 计算 1 2 1 lglg25100 4 4 2012 江西临川一中月考 若函数y 1 x m的图像与x轴有公共点 则实数m 的取值范围是 A m 1 B 1 m 0 C m 1 D 0 m 1 5 若函数y 为奇函数 a 2x 1 a 2x 1 1 求a的值 2 求函数的定义域 3 讨论函数的单调性 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 1 xn a 正数 负数 两个 相反数 2 a a a a 2 1 0 2 ar s n am 1 m n a ars arbr 3 确定 同样适用 3 上方 0 1 R R 0 递减 递增 y 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 基础自测基础自测 1 D 解析 解析 4 16x8y4 1 84 4 16x y 1 484 4 2 xy 111 484 444 2 xy 2 x 2 y 2x2y 2 C 解析解析 由已知 得Error 即Error a 2 3 C 解解析 析 因为将函数y 2x的图像向上平移 2 个单位长度得到函数y 2x 2 的图像 再向右平移 2 个单位长度得到函数y 2x 2 2 的图像 所以 函数f x 的解析式为f x 2x 2 2 4 B 解析 解析 由f x ax 验证 B 知 f xy n fn x fn y ax n ay nxy a n axn ayn axn yn f xy n fn x fn y 而验证 A C D 都正确 5 9 解析 解析 在x2 2x 3 0 时过定点 1 1 m 或 3 1 m 2 23xx f xam 1 m 10 解得m 9 考点探究突破考点探究突破 例 1 解析 解析 原式 2 9 2211 3324 84910004 2625 50 27981010000 4714 21172 25 2 2 93102995 2 例 2 1 A 解析 解析 y x 2 x 它与函数y 2x的图像关于y轴对称 1 2 例 2 2 解 解 1 当a 1 时 2 4 3 1 3 xx f x 令g x x2 4x 3 由于g x 在 2 上是增加的 在 2 上是减少的 而y g x 在 R R 上是减少的 1 3 所以f x 在 2 上是减少的 在 2 上是增加的 即函数f x 的增区间是 2 减区间是 2 2 令h x ax2 4x 3 y h x 1 3 由于f x 有最大值 3 所以h x 应有最小值 1 因此必有Error 解得a 1 即当f x 有最大值 3 时 a的值等于 1 例 2 3 解 解 函数y 3x 1 的图像是由函数y 3x的图像向下平移一个单位后 再 把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的 函数图像如图所示 当k 0 时 直线y k与函数y 3x 1 的图像无交点 即方程无解 当k 0 或k 1 时 直线y k与函数y 3x 1 的图像有唯一的交点 所以方程有一 解 当 0 k 1 时 直线y k与函数y 3x 1 的图像有两个不同交点 所以方程有两 解 例 3 解 解 1 函数定义域为 R R 关于原点对称 又 f x a x ax f x f x 为奇函数 a a2 1 2 当a 1 时 a2 1 0 y ax为增函数 y a x为减函数 从而y ax a x为增函数 f x 为增函数 当 0 a 1 时 a2 1 0 y ax为减函数 y a x为增函数 从而y ax a x为减函数 f x 为增函数 故当a 0 且a 1 时 f x 在定义域内单调递增 3 由 2 知f x 在 R R 上是增函数 在区间 1 1 上为增加的 f 1 f x f 1 f x min f 1 a 1 a a a2 1 1 a a2 1 1 a2 a 要使f x b在 1 1 上恒成立 则只需b 1 故b的取值范围是 1 演练巩固提升演练巩固提升 针对训练针对训练 1 D 解析 解析 由题意知 9 3a a 2 tan tan a 6 33 2 D 解析 解析 当x 0 时 y ax 当x 0 时 y ax 3 20 解析 解析 lg lg lg10 2 lg 1 4 lg25 1 2 100 1 4 1 25 1 2 1 100 1 100 1 100 2 10 20 100 4 B 解析 解析 y 1 x Error 画图像可知 1 m 0 故选 B 1 2 5 解 解 函数y a 2x 1 a 2x 1 y a 1 2x 1 1 由奇函数的定义 可得f x f x 0 即a a 0 1 2 x 1 1 2x 1 2a 0