高中数学：《函数、基本初等函数》复习导引（二）

用心 爱心 专心 函数 基本初等函数函数 基本初等函数 复习导引 二 复习导引 二 1 二次函数 1 二次函数的表达式主要有 一般式 2 0 yaxbxc a 顶点式 2 ya xhk 顶点为 hk且 两根式 12 ya xxxx 1 x 2 x为方程 0f x 的两根 2 二次函数 2 f xaxbxc 的图象形状 对称轴 顶点坐标 开口方向等是处 理二次函数问题的重要依据 3 二次函数在某个闭区间上的最值问题要熟练掌握 特别是含参数的两类 定轴动 区间 定区间动轴 的求最值的解法 4 对于一元二次方程实根分布问题 要抓住四点 开口方向 判别式 对称轴位 置 区间端点函数值的正负 5 在历年高考试题中 二次函数 2 0 yaxbxc a 占有重要的地位 不论是 在代数中还是在解析几何中 利用此函数的机会特别多 许多重要内容和方法 如配方法 换元法 分类讨论 函数的最值 解方程 解不等式 证明不等式等都与二次函数密切相 关 同时各种数学思想如函数思想 数形结合思想 分类讨论思想 等价转化思想均以二 次函数为载体 因此 围绕对二次函数及与其密切相关的一元二次方程 一元二次不等式 二次曲线的考查在高考中一直是长盛不衰的 复习中应引起足够的重视 2 指数函数 1 指数函数是重要的基本初等函数之一 是高考必考内容 主要考查定义域 值域 图象以及指数函数的主要性质 单调性 应用指数函数的性质比较两个函数值的大小 解 指数不等式 并能解决某些实际问题 2 对于指数函数 0 x ayaa 且且要特别注意底数a的取值范围对函数图象 的影响 当1a 图象过 01 且点 函数为增函数 a的值越大 指数函数的图象向上越 靠近y轴 递增速度越快 当01a 时 图象也通过 01 且点 函数为减函数 a的值越 小 指数函数的图象向上越靠近y轴 递减速度越快 牢固掌握yax 当01a 与 1a 时的图象变化趋势是解决指数函数问题的前提 也是掌握指数函数性质的关键 3 指数函数yax 的单调性 与底数a有关 当底数a与1的大小关系不确定时应 注意分类讨论 4 比较两个指数幂大小时 应尽量化为同底或同指数的函数再进行比较 当底数相 同 指数不同时 构造同一指数函数 然后比较大小 当指数相同 底数不同时 需构造 两个指数函数 利用图象比较大小 5 在指数函数中 若让底数取不同的允许值 则它的图象可呈现出动态的变化规 律 如果从x轴的正半轴上方观察指数函数图象 可有如下结论 函数 1 0 ayax a 且且的图象绕点 01 且逆时针方向旋转时 其底数逐渐增大 利用这一 用心 爱心 专心 结论可以解决异底数 同指数的两个指数式值大小的比较问题 6 解简单的指数不等式 当底数含参数 且底数与 1 的大小不确定时 应注意分类 讨论 3 对数函数 1 对数函数是重要的基本初等函数之一 是历年高考考查的重点 在高考中既重点 考查对数函数的定义 图象 主要性质 特别是单调性 及与其他知识点的交汇 又在数 学思想方法上考查分类讨论的思想及字母运算能力 试题既可以选择题 填空题的形式出 现 又可以解答题的形式出现 且综合能力要求较高 2 在研究有关对数问题时 要特别注意真数的取值范围 即要特别注意对数函数 logayx 的定义域为 0 且 3 对数函数1log 0 a ayx a 且且与指数函数1 0 x ayaa 且且互为反 函数 它们的定义域和值域互换 它们的图象关于直线yx 对称 4 在进行有关对数的运算问题时 要注意正确应用对数的积 商 幂的运算法则及 对数换底公式 5 对数函数 0 x 图象在y轴右侧 恒过定点 10 且 对数函数的符号 常受到底数和真数范围的制约 当底数的大小不确定时 要注意对底数进行分类讨论 当 01a 0 x 时 图象向上逼近y轴 当1a 0 x 时 图象向下逼近y轴 当 1a 时 a的值越大 图象越逼近x轴 递增速度越慢 当01a 时 a的值越小 图 象越逼近x轴 递减速度越慢 6 比较两个同底数的对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数 利用对数函数 的单调性来比较两个对数的大小 若底数不同时 可运用换底公式化为同底数的对数 要 注意与 0 比较或与 1 比较 也可以利用图象法比较两个对数的大小 7 在对数函数中 若让底数取不同的允许值 则它的图象也呈现出动态的变化规律 如从x轴的正半轴上方观察 可有结论 函数1log 0 a ayx a 且且的图象绕点 10 且逆时针旋转时 其底数逐渐减小 利用此结论可解决异底数 同真数的两个对数式值 大小的比较问题 8 对于对数函数 应做到数与形的结合 看见函数式 立刻联想到它的图象 反之 见到图象 能确定函数式中的底数a的范围 在求含有对数函数复合函数最值或单调区间 时 首先要考虑对数函数的定义域 再由复合函数的单调性来确定其单调区间 其次要结 合函数的图象 观察或确定其最值或单调区间 4 幂函数 1 复习幂函数的重点是掌握幂函数的图象特征 要熟记 1 12 31 2 且且且且时幂函数 的图象和性质 把握幂函数的关键点 1 1 并会利用直线 y x 来刻画其他幂函数在第一 象限的图象 应用幂函数的单调性比较大小时 应将幂指数变为相同的且底数为正数后再 分别进行比较 并注意分别与 0 1 1 比较 从而确定大小关系 2 幂函数与指数函数的主要区别是 幂函数是底数为自变量 而指数函数是指数为 自变量 因此 当遇到一个有关幂的形式的问题时 就要看自变量所在的位置 从而决定 用心 爱心 专心 是用幂函数知识解决 还是用指数函数知识解决 利用幂函数知识解题时 要注意运用数 形结合思想 幂函数yx 的图象在第一象限内的凸凹情况需和直线yx 比较 3 比较几个数的大小是幂 指数 对数函数性质应用的常见题型 在具体比较时 可以首先将它们与零比较 分出正 负 再将正数与 1 比较 分出大于 1 还是小于 1 然 后在各类中两两相比较 方法如下 指数相同 底数不同时 考虑运用幂函数的单调性 底数相同