高考数学备考30分钟课堂集训系列专题7 立体几何（教师版）

高考数学备考高考数学备考 3030 分钟课堂集训专题系列分钟课堂集训专题系列 专题专题 7 7 立体几何立体几何 一 选择题 1 1 安徽省合肥市安徽省合肥市 20112011 年高三第一次教学质量检测年高三第一次教学质量检测 右图是一个几何体的三视图 其中 正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4 腰长为 4 的等腰梯形 则该几何体的 侧面积是 A B C D 6 12 18 24 答案 B 解析 该几何体为圆台 设展开图的 虚扇形 的半径为 则l 2 4 44 l l l 所以侧面积为 11 2242112 22 Sll 2 辽宁省沈阳二中辽宁省沈阳二中 20102010 届高三第四次阶段测试届高三第四次阶段测试 设是两条不同的直线 是一个 l m 平面 则下列命题正确的是 A 若 则 B 若 则 lm m l llm m C 若 则D 若 则 lm lm lm lm 答案 B 解析 当两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另外一条也垂直这个平面 故选项 B 中的结论正确 3 安安徽徽省省2 20 01 11 1 年年 江江南南十十校校 高高三三联联考考 已知一个棱长为 2 的正方体 被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 A 8 B C D 20 3 17 3 14 3 答案 C 解析 几何体是正方体截去一个三棱台 3 11117 2 22 2 3223 V 4 4 北京市西城区北京市西城区 20112011 年年 1 1 月高三试题月高三试题 如图 四边形中 ABCD 1ABADCD 将四边形沿2BD BDCD ABCD 对角线折成四面体 使平面BDABCD 平面 则下列结论正确的是 A BD BCD A B C DB C D A 正视图侧视图 俯视图 第4 题 A A CBD B 90BA C C 与平面所成的角为 CA A BD 30 D 四面体的体积为ABCD 1 3 答案 B 解析 AB AD 1 BD ABAD 2 AB AD 平面平面 平面 A BD BCD ABDBCDBD 又又 CDBD 又 CDABD 又又 平面 AB ABD CDAB ABACD 又又 ACACD 又又 0 90 ABACBAC 5 辽宁省沈阳二中辽宁省沈阳二中 20102010 届高三第四次阶段测试届高三第四次阶段测试 已知长方体 对ABCDA B C D 角线与平面相交于点 则是的 AC A BD GGA BD A 垂心B 外心C 内心D 重心 答案 D 解析 如图 平面与平面的交线为 显然点是的中点 ACC A A BD A EEBD 且点在上 故点在的中线上 同理可得点在的中线上 即G A EGBDG A D A B 点是三边中线的交点 即为的重心 G A BD A BD 6 山东省济南市山东省济南市 20112011 年年 2 2 月高三教学质量调研月高三教学质量调研 一个几何体的三视图如图所示 单位 长度 cm 则此几何体的表面积是 A 2 80 16 2 cm B 2 84cm 第 6 题图 C 2 96 16 2 cm D 2 96cm 答案 A 解析 该几何体是正四棱锥与正方体的组合 222 1 45 442 2 80 16 2 2 S 表面积 7 山东省济宁市山东省济宁市 20112011 年年 3 3 月高三第一次模拟月高三第一次模拟 已知a b为直线 为平面 在 下列四个命题中 若a b 则a b 若 a b 则a b 若a a 则 若 b b 则 正确命题的个数是 A 1 B 3 C 2 D 0 答案 C 解析 由 垂直于同一平面的两直线平行 知 真 由 平行于同一平面的两直线平 行或异面或相交 知 假 由 垂直于同一直线的两平面平行 知 真 易知 假 选 C 8 8 吉林省长春市吉林省长春市 20112011 届高三第二次模拟届高三第二次模拟 将边长为 1 的正方形ABCD沿对角线AC折叠 其正视图和俯视图如图所示 此时连结顶点B D形成三棱锥B ACD 则其侧视图的面 积为 A 1B 1 2 C D 1 4 1 8 答案 C 解析 由正视图和俯视图可知 平面平面 三棱锥B ACD侧视图为等ABC ACD 腰直角三角形 直角边长为 侧视图面积为 2 2 1 4 9 9 吉林省长春市吉林省长春市 20112011 届高三第二次模拟届高三第二次模拟 四棱锥的底面为正方形 PABCD ABCD 且垂直于PD 底面 为中点 则三棱锥与四棱锥ABCDNPBPANC 的体积比为PABCD A 1 2B 1 3 C 1 4D 1 8 答案 C 解析 为中点 NPB P ANCB ANC VV P ANCNABC VV 正视图 俯视图 A B C D A B CD P N 1 4 NABC V P ABCD V 10 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的 最大值为 A B C D 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 答案 B 解析 过 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 与 P 设点 P 到CD 的距离为 则有h 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 故 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 22 max 2 212 3h max 4 3 3 V 11 11 2010 2010 年全国高考宁夏卷 年全国高考宁夏卷 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱长都为 顶点都a 在一个球面上 则该球的表面积为 A B C D 2 a 2 7 3 a 2 11 3 a 2 5 a 答案 B 解析 如图 P 为三棱柱底面中心 O 为球心 易知 所以球的半径满足 2331 3232 APaa OPa R 故 2222 317 3212 Raaa 22 7 4 3 SRa 球 12 2010 2010 年高考重庆市理科年高考重庆市理科 10 10 到两互相垂直的异面的距离相等的点 在过其中一条 直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 答案 D 解析 排除法 轨迹是轴对称图形 排除 A C 轨迹与已知直线不能有交点 排除 B 二 填空题二 填空题 13 江苏省泰州市江苏省泰州市 20112011 届高三年级第一次模拟届高三年级第一次模拟 设是两条直线 是两个平面 ba 则下列 4 组条件中所有能推得的条件是 填序号 ba ab ba a b ab 答案 解析 由 可能得到两直线垂直 平行或异面 均能 ab 得到两直线垂直 14 江苏省苏州市江苏省苏州市 20112011 年年 1 1 月高三调研月高三调研 某种卷筒卫生纸绕在盘上 空盘时盘芯直径 满盘时直径 已知卫生纸的厚度为 则满盘时卫生纸的总长度40mm120mm0 1mm 大约是 取 精确到 m 3 141m 答案 100 解析 12040 12040 2 32000 20 1 mm 所以3200032100 mmmm 15 安徽省淮南市安徽省淮南市 20112011 届高三第一次模拟考试届高三第一次模拟考试 给出命题 1 在空间里 垂直于同一平面的两个平面平行 2 设是不同的直线 是一个平面 若 则 ml llm m 3 已知表示两个不同平面 为平面内的一条直线 则 是 m 的充要条件 m 4 若点到三角形三个顶点的距离相等 则点在该三角形所在平面内的射影是该PP 三角形的外心 5 是两条异面直线 为空间一点 过总可以作一个平面与之一垂直 ba PPba 与另一个平行 其中正确的命题是 只填序号 答案 2 4 解析 1 错误 垂直于同一平面的两个平面也可能相交 3 错误 是 的必要条件不充分条件 5 错误 只有当异面直线垂直时可以作出 mba 满足要求的平面 16 江苏省苏州市江苏省苏州市 20112011 年年 1 1 月高三调研月高三调研 设为两个不重合的平面 为两条不 m n 重合的直线 给出下列四个命题 若则 mn mn n 若则 m nnm n 若 则 mn m n 若与相交且不垂直 则与不垂直 nm nm 其中 所有真命题的序号是 答案 解析 错误 相交或平行 错误 与可以垂直 不妨令 则 nmn 在内存在 mn 17 江苏省盐城市江苏省盐城市 20112011 届高三年级第一次调研届高三年级第一次调研 已知平面 直线满足 l m 那么 ml lm m l 可由上述条件可推出的结论有 请将你认为正确的结论的序号都填上 答案 解析 画图可知 不一定成立 m 18 20102010 年高考福建卷 年高考福建卷 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 则其表面 积等于 答案 6 2 3 解析 由正视图知 三棱柱是以底面边长为 2 高为 1 的正三棱柱 所以底面积为 侧面积为 所以其表面积为 3 242 3 4 3 2 16 6 2 3 三 解答题三 解答题 19 理科 北京市海淀区北京市海淀区 20112011 年年 4 4 月高三年级第二学期期中练习理科月高三年级第二学期期中练习理科 本小题共 14 分 在如图的多面体中 平面 EFAEBAEEB ADEF EFBC 24BCAD 3EF 2AEBE 是的中点 GBC 求证 平面 ABDEG 求证 BDEG 求二面角的余弦值 CDFE 解析 解 证明 ADEF EFBC ADBC 又 是的中点 2BCAD GBC ADBG 四边形是平行四边形 ADGB 2 分 ABDG 平面 平面 AB DEGDG DEG 平面 4 分 ABDEG 解法 1 证明 平面 平面 EF AEBAE AEB EFAE 又 平面 AEEB EBEFE EB EF BCFE 平面 5 分AE BCFE 过作交于 则平面 D DHAEEFHDH BCFE 平面 6 分EG BCFEDHEG 四边形平行四边形 ADEF DHAEAEHD 2EHAD 又 2EHBG EHBG EHBE 四边形为正方形 BGHE AD F E BGC H AD F E BGC 7 分BHEG 又平面 平面 BHDHH BH BHDDH BHD 平面 8 分EGBHD 平面 BD BHD 9 分BDEG 解法 2 平面 平面 平面EF AEBAE AEBBE AEBEFAE EFBE 又 AEEB 两两垂直 5 分 EB EF EA 以点E为坐标原点 分别为轴建立如 EB EF EA x y z 图的空间直角坐标系 由已知得 0 0 2 2 0 0 AB 2 4 0 0 3 0 0 2 2 CFD 2 2 0 6 分G 7 分 2 2 0 EG 2 2 2 BD 8 分2 22 20BD EG 9 分BDEG 由已知得是平面的法向量 10 分 2 0 0 EB EFDA 设平面的法向量为 DCF x y z n 0 1 2 2 1 0 FDFC 即 令 得 12 分 0 0 FD n FC n 20 20 yz xy 1z 1 2 1 n 设二面角的大小为 CDFE 则 13 分 26 coscos 62 6 EB n 二面角的余弦值为 14 分CDFE 6 6 19 文科 北京市海淀区北京市海淀区 20112011 年年 4 4 月高三年级第二学期期中练习文科月高三年级第二学期期中练习文科 本小题 x z y AD F E BGC 共 13 分 如图 梯形和正所在平面互相垂直 其中 ABCD PAB ABDC 且为中点 1 2 ADCDAB OAB I 求证 平面 BCPOD II 求证 AC PD 解析 证明 I 因为为中点 OAB 所以 1 分 1 2 BOAB 又 ABCD 1 2 CDAB 所以有 2 分 CDBO CDBO 所以为平行四边形 所以 ODCB BCOD 3 分 又平面平面 DO PODBC POD 所以平面 BCPOD 5 分 II 连接 OC 因为所以为 CDBOAO CDAO ADCO 平行四边形 6 分 又 所以为菱形 ADCD ADCO 所以 7 分 ACDO 因为正三角形 为中点 PABOAB 所以 8 分 POAB BA CD O P BA CD O P BA CD O P 又因为平面平面 平面平面 ABCD PABABCD PABAB 所以平面 10 分 PO ABCD 而平面 所以 AC ABCDPOAC 又 所以平面 12 分 PODOO AC POD 又平面 所以 PD PODAC PD 13 分 20 理科 山东省济南市山东省济南市 20112011 年年 2 2 月高三教学质量调研理科第月高三教学质量调研理科第 1818 题题 本小题满分 12 分 三棱锥ABCP 中 90 BAC 22 ABBCPCPBPA 1 求证 面 PBC面ABC 2 求二面角CAPB 的余弦值 解析 证明 取BC中点O 连接 AO PO 由已知ABC 为直角三角形 所以可得OAOBOC 又知PAPBPC 则POAPOBPOC 所以POAPOBPOC 所以 POOB POOA OBOAO 所以PO 平面 BCD PO面ABC 平面PBC 平面ABC 2 解 过O作OD与BC垂直 交AC于D点 如图建立坐标系Oxyz 则 0 2 1 2 3 A 0 1 0 B 0 1 0 C 3 0 0 P 3 1 0 0 2 1 2 3 BPBA 设面PAB的法向量为 1 nx y z 由 11 0 0 n BAn BP 可知 1 1 3 1n 同理可求得面PAC