新定义函数-中考新题型

1 函数图形变换函数图形变换 方法总结 方法总结 1 掌握函数平移的规律 包括一次函数 反比例函数和二次函数 2 确定函数的特征点为基准移动函数 并确定移动后的解析式 3 根据题目要求结合函数性质解决问题 例 1 我们规定 形如的函数叫做 奇特函数 当 axk yabkkab xb 为常数 且 时 奇特函数 就是反比例函数 0ab axk y xb 0 k yk x 1 若矩形的两边长分别是 2 和 3 当这两边长分别增加 x 和 y 后 得到的新矩形的面 积为 8 求 y 与 x 之间的函数关系式 并判断这个函数是否为 奇特函数 2 如图 在平面直角坐标系中 点 O 为原点 矩形 OABC 的顶点 A C 的坐标分别为 9 0 0 3 点 D 是 OA 的中点 连结 OB CD 交于点 E 奇特函数 的图象经过 B E 两点 6 axk y x 求这个 奇特函数 的解析式 把反比例函数的图象向右平移 6 个单位 再向上平移 个单位就可得到 中所得 3 y x 奇特函数 的图象 过线段 BE 中点 M 的一条直线 l 与这个 奇特函数 的图象交于 P Q 两 点 若以 B E P Q 为顶点组成的四边形面积为 请直接写出点 P 的坐标 16 10 3 2 例 2 定义 a b c 为函数 y ax2 bx c 的 特征数 如 函数 y x2 2x 3 的 特征数 是 1 2 3 函数 y 2x 3 的 特征数 是 0 2 3 函数 y x 的 特征数 是 0 1 0 1 将 特征数 是的函数图象向下平移 2 个单位 得到一个新函数 这个新函 3 0 1 3 数的解析式是 3 1 3 yx 2 在 1 中 平移前后的两个函数分别与 y 轴交于 A B 两点 与直线分别交3x 于 D C 两点 判断以 A B C D 四点为顶点的四边形形状 请说明理由并计算其周长 3 若 2 中的四边形与 特征数 是的函数图象的有交点 求满足条件的 2 1 1 2b b 2 实数 b 的取值范围 变式变式 如果二次函数的二次项系数为 l 则此二次函数可表示为 y x2 px q 我们称 p q 为此函 数的特征数 如函数 y x2 2x 3 的特征数是 2 3 1 若一个函数的特征数为 2 1 求此函数图象的顶点坐标 2 探究下列问题 若一个函数的特征数为 4 1 将此函数的图象先向右平移 1 个单位 再向上平移 1 个 单位 求得到的图象对应的函数的特征数 若一个函数的特征数为 2 3 问此函数的图象经过怎样的平移 才能使得到的图象对 应的函数的特征数为 3 4 3 例 3 如图 1 抛物线 y ax2 bx c a 0 的顶点为 M 直线 y m 与 x 轴平行 且与抛物 线交于点 A B 若 AMB 为等腰直角三角形 我们把抛物线上 A B 两点之间的部分与线 段 AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形 线段 AB 称为碟宽 顶点 M 称为碟顶 点 M 到线段 AB 的距离称为碟高 1 抛物线对应的碟宽为 抛物线 y 4x2对应的碟宽为 抛物线 2 1 2 yx y ax2 a 0 对应的碟宽为 抛物线 y a x 2 2 3 a 0 对应的碟宽为 2 抛物线 a 0 对应的碟宽为 6 且在 x 轴上 求 a 的值 2 5 4 3 yaxax 3 将抛物线 y anx2 bnx cn an 0 的对应准蝶形记为 Fn n 1 2 3 定义 F1 F2 Fn为相似准蝶形 相应的碟宽之比即为相似比 若 Fn与 Fn 1 的相似比为 1 2 且 Fn的碟顶是 Fn 1 的碟宽的中点 现将 2 中求得的抛物线记为 y1 其对应的准蝶形记 为 F1 求抛物线 y2的表达式 若 F1的碟高为 h1 F2的碟高为 h2 Fn的碟高为 hn 则 hn Fn的碟宽有端点横 坐标为 2 若 F1 F2 Fn的碟宽右端点在一条直线上 请直接写出该直线的表达式 若不是 请说明理由 4 例 4 如图 直线 l y mx n m 0 n 0 与 x y 轴分别相交于 A B 两点 将 AOB 绕点 O 逆时针旋转 90 得到 COD 过点 A B D 的抛物线 P 叫做 l 的关联抛物线 而 l 叫做 P 的关联直线 1 若 l y 2x 2 则 P 表示的函数解析式为 若 P y x2 3x 4 则 l 表示的函数解析式为 2 求 P 的对称轴 用含 m n 的代数式表示 3 如图 若 l y 2x 4 P 的对称轴与 CD 相交于点 E 点 F 在 l 上 点 Q 在 P 的对 称轴上 当以点 C E Q F 为顶点的四边形是以 CE 为一边的平行四边形时 求点 Q 的 坐标 4 如图 若 l y mx 4m G 为 AB 中点 H 为 CD 中点 连接 GH M 为 GH 中点 连接 OM 若 OM 直接写出 l P 表示的函数解析式 10 5 参考答案 参考答案 例例 1 解析解析 1 是 奇特函数 2 或或或 32 2 x y x 29 6 x y x 7 5 5 3 3 7 15 3 5 1 试题分析 1 根据题意列式并化为 根据定义作出判断 32 2 x y x 2 求出点 B D 的坐标 应用待定系数法求出直线 OB 解析式和直线 CD 解析式 二 者联立即可得点 E 的坐标 将 B 9 3 E 3 1 代入函数即可求得这个 6 axk y x 奇特函数 的解析式 根据题意可知 以 B E P Q 为顶点组成的四边形是平行四边形 BPEQ 或 BQEP 据 此求出点 P 的坐标 试题解析 1 根据题意 得 根据定义 是 奇特函数 2 由题意得 易得直线 OB 解析式为 直线 CD 解析式为 由解得 点 E 3 1 将 B 9 3 E 3 1 代入函数 得 整理得 解得 这个 奇特函数 的解析式为 可化为 根据平移的性质 把反比例函数的图象向右平移 6 个单位 再向上平移 2 个单位 就可得到 关于点 6 2 对称 B 9 3 E 3 1 BE 中点 M 6 2 即点 M 是的对称中心 以 B E P Q 为顶点组成的四边形是平行四边形 BPEQ 或 BQEP 6 由勾股定理得 设点 P 到 EB 的距离为 m 以 B E P Q 为顶点组成的四边形面积为 点 P 在平行于 EB 的直线上 点 P 在上 或 解得 点 P 的坐标为或或或 考点 1 新定义和阅读理解型问题 2 平移问题 3 反比例函数的性质 4 曲线上点的坐标 与方程的关系 5 勾股定理 6 中心对称的性质 7 平行四边形的判定和性质 8 分类思想 的应用 例例 2 解析解析 1 根据函数 特征数 写出函数的解析式 再根据平移后一次函数的变化情况写出函数图 象向下平移 2 个单位的新函数的解析式 2 判断以 A B C D 四点为顶点的四边形形状 可根据一次函数图象向下平移 2 个 单位与原函数图象的关系 得出 AB 2 并确定为平行四边形 由直线相交计算交点坐标后 求出线段 BC 2 再根据菱形的判定 邻边相等的平行四边形是菱形 得出 其周长 2 4 8 3 根据函数 特征数 写出二次函数的解析式 化为顶点式为 y x b 2 确定二次 函数的图象不会经过点 B 和点 C 再将菱形顶点 A 0 1 D 代入二次函数解 析式得出实数 b 的取值范围 解析 7 1 y 1 分 特征数 是的函数 即 y 1 该函数图象向下平移 2 个单位 得 y 2 由题意可知 y 向下平移两个单位得 y AD BC AB 2 AB CD 四边形 ABCD 为平行四边形 得 C 点坐标为 0 D 由勾股定理可得 BC 2 四边形 ABCD 为平行四边形 AB 2 BC 2 四边形 ABCD 为菱形 周长为 8 3 二次函数为 y x2 2bx b2 化为顶点式为 y x b 2 二次函数的图象不会经过点 B 和点 C 设二次函数的图象与四边形有公共部分 当二次函数的图象经过点 A 时 将 A 0 1 代入二次函数 解得 b b 不合题意 舍去 当二次函数的图象经过点 D 时 将 D 代入二次函数 解得 b b 不合题意 舍去 所以实数 b 的取值范围 例例 3 解析解析 8 试题分析 1 根据定义可算出 y ax2 a 0 的碟宽为 碟高为 由于抛物线 可通过平移 y ax2 a 0 得到 得到碟宽为 碟高为 由 此可得碟宽 碟高只与 a 有关 与别的无关 从而可得 2 由 1 的结论 根据碟宽易得 a 的值 3 根据 y1 容易得到 y2 结合画图 易知 h1 h2 h3 hn 1 hn都在直线 x 2 上 可以考虑 hn hn 1 且都过 Fn 1的碟宽中点 进而可得 画图时易知碟宽有规律递减 由此可得右端点的特点 对于 F1 F2 Fn的碟宽右端点是否在一条直线上 我们可以推测任意相邻的三点是否 在一条直线上 如果相邻的三个点不共线则结论不成立 反之则成立 所以可以考虑基础 的几个图形关系 利用特殊点求直线方程即可 试题解析 1 4 1 a 0 y ax2的图象大致如下 其必过原点 O 记 AB 为其碟宽 AB 与 y 轴的交点为 C 连接 OA OB DAB 为等腰直角三角形 AB x 轴 OC AB OCA OCB AOB 90 45 ACO 与 BCO 亦为等腰直角三角形 AC OC BC xA yA xB yB 代入 y ax2 A B C 0 AB OC 即 y ax2的碟宽为 抛物线 y x2对应的 a 得碟宽为 4 抛物线 y 4x2对应的 a 4 得碟宽为为 抛物线 y ax2 a 0 碟宽为 抛物线 y a x 2 2 3 a 0 可看成 y ax2向右平移 2 个单位长度 再向上平移 3 个单位 长度后得到的图形 9 平移不改变形状 大小 方向 抛物线 y a x 2 2 3 a 0 的准碟形与抛物线 y ax2的准碟形全等 抛物线 y ax2 a 0 碟宽为 抛物线 y a x 2 2 3 a 0 碟宽为 2 y ax2 4ax 由 1 其碟宽为 y ax2 4ax 的碟宽为 6 6 解得 A y x2 x x 2 2 3 3 F1的碟宽 F2的碟宽 2 1 a1 a2 y x 2 2 3 的碟宽 AB 在 x 轴上 A 在 B 左边 A 1 0 B 5 0 F2的碟顶坐标为 2 0 y2 x 2 2 Fn的准碟形为等腰直角三角形 Fn的碟宽为 2hn 2hn 2hn 1 1 2 hn hn 1 2hn 2 3hn 3 n 1h1 h1 3 hn hn hn 1 且都过 Fn 1的碟宽中点 h1 h2 h3 hn 1 hn都在一条直线上 h1在直线 x 2 上 h1 h2 h3 hn 1 hn都在直线 x 2 上 Fn的碟宽右端点横坐标为 2 另 F1 F2 Fn的碟宽右端点在一条直线上 直线为 y x 5 分析如下 考虑 Fn 2 Fn 1 Fn情形 关系如图 2 Fn 2 Fn 1 Fn的碟宽分别为 AB DE GH C F I 分别为其碟宽的中点 都在直线 x 2 上 连接右端点 BE EH 10 AB x 轴 DE x 轴 GH x 轴 AB DE GH GH 平行且等于 FE DE 平行且等于 CB 四边形 GFEH 四边形 DCBE 都为平行四边形 HE GF EB DC GFI GFH DCE DCF GF DC HE EB HE EB 都过 E 点 HE EB 在一条直线上 Fn 2 Fn 1 Fn的碟宽的右端点是在一条直线 F1 F2 Fn的碟宽的右端点是在一条直线 F1 y1 x 2 2 3 准碟形右端点坐标为 5 0 F2 y2 x 2 2准碟形右端点坐标为 2 待定系数可得过两点的直线为 y x 5 F1 F2 Fn的碟宽的右端点是在直线 y x 5 上 考点 1 等腰直角三角形 2 二次函数的性质 3 多点共线 例 4 解析 11 12 参考题目 参考题目 1 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 A B 为 x 轴上两点 C D 为 y 轴上的两 点 经过点 A C B 的抛物线的一部分 C1与经过点 A D B 的抛物线的一部 分 C2组成一条封闭曲线 我们把这条封闭曲线称为 蛋线 已知点 C 的坐标为 0 点 M 是抛物线 C2 y mx2 2mx 3m m 0 的顶点 3 2 1 求 A B 两点的坐标 2 蛋线 在第四象限内是否存在一点 P 使得 PBC 的面积最大 若存在 求出 PBC 面积的最大值 若不存在 请说明理由 3 当 BDM 为直角三角形时 请直接写出 m 的值 参考公式 在平面直角坐 标系中 若 M x1 y1 N x2 y2 则 M N 两点间的距离为 MN 1 A 1 0 B 3 0 2 存在 3 1 或 解析 试题分析 1 将 y mx2 2mx 3m 化为交点式 即可得到 A B 两点的坐标 2 先用待定系数法得到抛物线 C1的解析式 过点 P 作 PQ y 轴 交 BC 于 Q 用待定系数法得到直线 BC 的解析式 再根据三角形的面积公式和配方法得 到 PBC 面积的最大值 13 3 先表示出 DM2 BD2 MB2 再分两种情况 DM2 BD2 MB2时 DM2 MB2 BD2时 讨论即可求得 m 的值 试题解析 1 y mx2 2mx 3m m x 3 x 1 m 0 当 y 0 时 x1 1 x2 3 A 1 0 B 3 0 2 设 C1 y ax2 bx c 将 A B C 三点的坐标代入得 解得 故 C1 y x2 x 依题意 设点 P 的坐标为 n n2 n 0 n 3 则 S PBC