高中数学基础知识总结 第十三章 极 限

用心 爱心 专心 1 高中数学第十三章高中数学第十三章 极极极极 限限限限 考试内容 考试内容 教学归纳法 数学归纳法应用 数列的极限 函数的极限 根限的四则运算 函数的连续性 考试要求 考试要求 1 理解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 2 了解数列极限和函数极限的概念 3 掌握极限的四则运算法则 会求某些数列与函数的极限 4 了解函数连续的意义 了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 13 13 极极极极 限限限限 知识要点知识要点知识要点知识要点 1 第一数学归纳法 证明当n取第一个 0 n时结论正确 假设当kn 0 nkNk 时 结论正确 证明当1 kn时 结论成立 第二数学归纳法 设 nP是一个与正整数n有关的命题 如果 当 0 nn Nn0 时 nP成立 假设当kn 0 nkNk 时 nP成立 推得1 kn时 nP也成立 那么 根据 对一切自然数 0 nn 时 nP都成立 2 数列极限的表示方法 aan n lim 当 n时 aan 几个常用极限 CC n lim C为常数 0 1 lim是常数kNk nk n 对于任意实常数 当1 a时 0lim n n a 用心 爱心 专心 2 当1 a时 若 a 1 则1lim n n a 若1 a 则 n n n n a 1 limlim 不存在 当1 a时 n n a lim不存在 数列极限的四则运算法则 如果bbaa b n n n lim lim 那么 baba nn n lim baba nn n lim 0 lim b b a b a n n n 特别地 如果 C 是常数 那么 CaaCaC n nn n n limlim lim 数列极限的应用 求无穷数列的各项和 特别地 当1 q时 无穷等比数列的各项和为 1 1 1 q q a S 化循环小数为分数方法同上式 注 并不是每一个无穷数列都有极限 3 函数极限 当自变量x无限趋近于常数 0 x 但不等于 0 x 时 如果函数 xf无限趋进于一个常数a 就是说当x趋近于 0 x时 函数 xf的极限为a 记作axf xx lim 0 或当 0 xx 时 axf 注 当 0 xx 时 xf是否存在极限与 xf在 0 x处是否定义无关 因为 0 xx 并不要求 0 xx 当然 xf在 0 x是否有定义也与 xf在 0 x处是否存在极限无关 函数 xf在 0 x有定义是 lim 0 xf xx 存在的既不充分又不必要条件 如 11 11 xx xx xP在1 x处无定义 但 lim 1 xP x 存在 因为在1 x处左右极限均等于零 函数极限的四则运算法则 如果bxgaxf xxxx lim lim 00 那么 baxgxf xx lim 0 baxgxf xx lim 0 用心 爱心 专心 3 0 lim 0 b b a xg xf xx 特别地 如果 C 是常数 那么 lim lim 00 xfCxfC xxxx n xx n xx xfxf lim lim 00 Nn 注 各个函数的极限都应存在 四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况 但不能推广到无限个情况 几个常用极限 0 1 lim xn 0lim x x a 0 a 1 0lim x x a a 1 1 sin lim 0 x x x 1 sin lim 0 x x x e x x x 1 1 lim ex x x 1 0 1 lim 71828183 2 e 4 函数的连续性 如果函数 f x g x 在某一点 0 xx 连续 那么函数 0 xg xg xf xgxfxgxf在点 0 xx 处都连续 函数 f x 在点 0 xx 处连续必须满足三个条件 函数 f x 在点 0 xx 处有定义 lim 0 xf xx 存在 函数 f x 在点 0 xx 处的极限值等 于该点的函数值 即 lim 0 0 xfxf xx 函数 f x 在点 0 xx 处不连续 间断 的判定 如果函数 f x 在点 0 xx 处有下列三种情况之一时 则称 0 x为函数 f x 的不连续点 f x 在点 0 xx 处没有定义 即 0 xf不存在 lim 0 xf xx 不存在 lim 0 xf xx 存在 但 lim 0 0 xfxf xx 5 零点定理 介值定理 夹逼定理 零点定理 设函数 xf在闭区间 ba上连续 且0 bfaf 那么在开区间 ba内至 用心 爱心 专心 4 少有函数 xf的一个零点 即至少有一点 a b 使0 f 介值定理 设函数 xf在闭区间 ba上连续 且在这区间的端点取不同函数值 BbfAaf 那么对于BA 之间任意的一个数C 在开区间 ba内至少有一点 使 得Cf a b 夹逼定理 设当 0 0 xx 时 有 xg xf xh 且Axhxg xxxx lim lim 00 则必 有 lim 0 Axf xx 注 0 xx 表示以 0 x为的极限 则 0 xx 就无限趋近于零