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文档简介

用心 爱心 专心 巧用线性规划思想解题巧用线性规划思想解题 当约束条件或目标函数不是线性规划问题 但其几何意义明显时 仍可利用线性规划 的思想来解决问题 从而使解题思路拓宽 提高解题能力 一 函数问题转化为线性规划问题 例 1如图 1 xy 满足的可行域是图中阴影部分 包括边界 若函数 2taxy 在 点 0 5 取得最小值 求a的取值范围 解 由图 1 易得xy 满足的约束条件为 50 260 0 0 xy xy x y 将目标函数2taxy 改为斜截式 22 at yx 2 t 表示直 线在y轴上的截距 欲求t的最小值 可转化为求 2 t 的最大 值 当0a 时 显然直线在点 0 5 处 2 t 取得最大值 当0a 时 依题意 1 2 a 易得20a 综上所述 2a 时 函数2taxy 在点 0 5 取得最小值 二 方程问题转化为线性规划问题 例 2已知ab R 若方程 2 20 xaxb 与方程 2 20 xbxa 都有实数根 求ab 的最小值 解 由题意 得 2 2 80 440 ab ba 即 2 2 8 ab ba 画出其可行域为如图 2 所示阴影部分 令tab 故要求ab 的最小值 即求过可行域 内的点 使得bta 在b轴上截距最小的点的坐 标 由图知 A点即为所求 由 2 2 8 ab ba 解得42ab 用心 爱心 专心 ab 的最小值为 6 三 不等式问题转化为线性规划问题 例 3已知 3f xxy 且11xy 13xy 求 f x的取值范 围 解 如图 3 作出不等式组 11 13 xy xy 所表示的平面区域 即可行域 作直线 30lxy 把直线l向右下方平移过 01 B 即直线10 xy 与 10 xy 的交点时 min 3 0 11f x 再把直线l向右下方平移过 21 A 即直线30 xy 与10 xy 的交点时 max 2 3 17f x 1 7f x 说明 说明 本题还可运用整体代换法 先用xy 与xy 的一次组合表示 找出它们之间 的线性关系 然后利用不等式的性质加以解决 四 多元问题转化为线性规划问题 例 4已知ABC 的三边长abc 满足2bca 2acb 求 b a 的取值范 围 解 由题意 应用 2 2 000 abca bacb cab abc 令 bc xy aa 上述不等式可化为 12 12 1 00 xy xyx yx xy 求出x的范
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