湖北省公安县博雅高三数学二轮复习 第32课时《应用题的解法（3）》

用心 爱心 专心1 B A1 A2 C O A3 湖北省公安县博雅高三数学二轮复习湖北省公安县博雅高三数学二轮复习 第第 3232 课时课时 应用题的解法应用题的解法 3 3 高考趋势高考趋势 应用题历来为高考的常考题型之一 多以函数 导数 数列 不等式 三角等为载体 旨 在考查学生所学数学知识在实际问题中的应用能力 同时也考查了学生分析 探究 转化 运算等诸多方面的能力 一一 基础再现基础再现 1 如图 将矩形纸片的右下角折起 使得该角的顶点落在矩形的左边上 那么l的长度取决于角 的大小 探求 l 之间的关系式 并导 出用 表 示l的函数关系式 1 答案 6 0 sinsincos22 l 想一想怎样求出它的最值 2 如图 一条直角走廊宽 1 5m 现有一平板车 平板车面为一长 2 2m 宽为 1m 的矩形 试问平板车能否通过直角走廊 并说明理由 答案 提示 3 sincos 2 0 sincos 1 2 2sincos2 CDt 令 2 222 32343 12 0 1 1 ttt f ttf t tt 则 min 2 3 222 2f tf 故平板车可通过直角走廊 二二 感悟解答感悟解答 三三 范例剖析范例剖析 例例 1 1 如图所示 一吊灯的下圆环直径为 4m 圆心为 O 通过细绳悬挂在天花板上 圆环 呈水平状态 并且与天花板的距离 OB即为 2m 在圆环上设置三个等分点 A1 A2 A3 点 C 为OB上一点 不包含端点 O B 同时点 C 与点 A1 A2 A3 B 均用 细绳相连接 且细绳 CA1 CA2 CA3的长度相等 设细绳的总长为y m 1 设 CA1O rad 将y表示成 的函数关系式 2 请你设计 当角 正弦值的大小是多少时 细绳总长y最小 并指明此时 BC 应 为多长 解 1 在Rt COA1中 6cm l 用心 爱心 专心2 cos 2 1 CA tan2 CO 2 分 tan22 cos 2 33 1 CBCAy 2 cos sin3 2 4 0 7 分 2 22 2 cos 1sin3 2 cos sin sin3 cos 2 y 令0 y 则 3 1 sin 12 分 当 3 1 sin 时 0 y 3 1 sin 时 0 y sin y在 4 0 上是增函数 当角 满足 3 1 sin 时 y最小 最小为224 此时 BC 2 2 2 m 15 分 变式 变式 某地有三家工厂 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A B 及 CD 的中点 P 处 已知20AB km 10CDkm 为了处理三家工厂的污水 现要在矩形 ABCD 的区域上 含边界 且 A B 与等 距离的一点 O 处建造一个污水处理厂 并铺设排污管道 AO BO OP 设排污管道的总长为 ykm 1 按下列要求写出函数关系式 设 BAOrad 将y表示成 的函数关系式 设 OPx km 将y表示成x的函数关系式 2 请你选用 1 中的一个函数关系式 确定污水处理厂的位置 使三条排水管道总长度最短 解 本题为 2008 年江苏高考题 答案略 例 2 一位救生员站在边长为 100 米的正方形游泳池 ABCD 的 A 处 如图 发现 C 处有一位溺水者 他跑到 E 处后 马上跳水沿 直线 EC 游到 C 处 已知救生员跑步的速度为米v 分 游泳的速 度为 2 v 米 分 试问 救生员选择在何处入水才能最快到达 C 处 所用的最短时间 是多少 解 理解本题并不难 应该建立时间 t 分 关于某个变量的函数 关系式 然后 通过求最值的方法来解决问题 难点在于变量的选择 当然 我们可以选择以 AE 的长度 x 米 作为变量 但此时 2 2 2 100100 x x t vv 求最值较为困难 注意到 AE 和 EC 的长度 可以方便的用角表示 不必用到根号 所以我们可以尝试 以CEB 作为变量 E D C A B 用心 爱心 专心3 设CEB 则 100 100 100cot sin AECE 所以 100 100cot2001002cos 1 sinsin t vvv 2 22 2 1tan 2 2 1tan1 3tan 100100100501 22 113tan 2 2tan2tantan 222 1tan 2 10050100 100 3 2 3 vvvv vvv 等号当且仅当 1 3tan 2 tan 2 即 3 tan 23 即 3 时成立 此时 100 3 100 3 AE 100 100 3 t v 也即 救生员应该在 AB 边上距 B 100 3 3 米处入水 才能最快到达 C 处 所用的最短时间为 100 100 3 t v 点评点评 1 恰当选择变量 有助于简化数学过程 2 本题中 若以AEx 为 自变量 也可通过三角代换 或移项 平方 判别式等 来求得最值 例 3 如图 某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地 ABC外的地方种草 ABC的内接正方形PQRS为一水池 其余的地方种花 若BC a ABC 设 ABC的 面积为S1 正方形的面积为S2 1 用a 表示S1和S2 2 当a固定 变化时 求 2 1 S S 取最小值时的角 解解 1 cos sin aABaAC 2sin 4 1 cossin 2 1 22 1 aaS 设正方形边长为x 则BQ xtgRCxctg axtgxxctg 2sin2 2sin cossin1 cossin 1 aa tgctg a x 2sin42sin4 2sin 2sin2 2sin 2 22 2 2 aa S 用心 爱心 专心4 2 当a固定 变化时 42sin 2sin 4 4 1 2sin 2sin 2 1 1 2sin 2 1 1 2sin 4 1 2sin 4 1 2 2 2 2 2 1 a a S S 令 4 4 4 1 2sin 2 1 t t S S t 则 1 0 2 0 t 令 t ttf 4 任取 1 0 21 tt 且 21 tt 4 4 44 21 21 21 21 21 21 21 2121 tt tt tt tt tt tt tt tttftf 0 04 10 0 21212121 tftftttttt 1 0 4 在 t ttf 是减函数 2 1 1 S S t时 取最小值 此时 4 四四 巩固训练巩固训练 1 已知某海滨浴场的海浪高度y 米 是时间t 0 t 24 单位小时 的函数 记作 y f t 下表是某日各时的浪高数据 t03691215182124 y1 5 1 0 0 5 1 0 1 4 9 10 5 1 0 9 9 1 5 经长期观测y f t 的曲线可近似地看成函数y Acos t b 1 根据以上数据 求出函数y Acos t b的最小正周期T 振幅A及函数表达式 2 依据规定 当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放 请依据 1 的结论 判断 一天内的上午 8 00 至晚上 20 00 之间 有多少时间可供冲浪者进行运动 解 1 由表中数据 知T 12 6 2 T 由t 0 y 1 5 得A b 1 5 由t 3 y 1 0 得b 1 0 所以 A 0 5 b 1 振幅A 2 1 y 1 6 cos 2 1 t 2 由题意知 当y 1 时 才可对冲浪者开放 1 6 cos 2 1 t 1 t 6 cos 0 2k 2 2 62 kt 即有 12k 3 t 13k 3 由 0 t 24 故可令k 0 1 2 得 0 t 3 或 9 t 15 或 21 t 24 在规定时间内有 6 个小时可供冲浪者运动即上午 9 00 至下午 15 00 2 2 为了保护环境 实现城市绿化 某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD上规划出一块 长方形地面建造公园 公园一边落在 CD 上 但不得越过文物 保护区AEF 的 EF 问如何设计才能使公园占地面积最大 并 求这最大面积 其中 用心 爱心 专心5 AB 200m BC 160m AE 60m A