§46探索多边形的内角和与外角和(一)

北师大版初二数学 2004 10 25 星期一 1 4 6 探索多边形的内角和与外角和探索多边形的内角和与外角和 一一 教学目标教学目标 一 知识目标 多边形的定义及内角和公式的推导 二 能力训练目标 1 经历探索多边形内角和公式的过程 进一步发展学生的合情推理意识 主动探究 的习惯 进一步体会数学与现实生活的紧密联系 2 探索并了解多边形的内角和公式 进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能 力 三 情感与价值观目标 1 通过师生共同活动 训练学生的发散性思维 培养学生的创新精神 2 使学生懂得数学内容普遍存在相互联系 相互转化的特点 教学重点教学重点 多边形的内角和 教学难点教学难点 多边形的内角和的公式推导 教学方法教学方法 启发 讨论式 教学过程教学过程 一 巧设情景问题 引入课题 师 前面我们学习了三角形 平行四边形 今天我们要学习什么内容呢 请看大 屏幕 出示投影片 石英钟 六角螺母 五角星 地板砖等 师 刚才大家看到许多实物图片 你知道它们各是什么图形 生 四边形 五边形 六边形 八边形 师 对 这些在日常生活中经常看到的图形 就是我们这节课要研究的内容 多边形 polygon 二 讲授新课二 讲授新课 师 什么叫多边形呢 在七年级上册的第一章中曾有这样的定义 多边形是由一些不在同一直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形 我们在初中阶段主要探讨的平面几何 所以现在定义的多边形应在同一平面内 即 在平面内 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边 形 在定义中应注意 若干条 首尾顺次相连 二者缺一不可 多边形有凸多边形和凹多边形之分 如图 北师大版初二数学 2004 10 25 星期一 2 把多边形的任何一边向两方延长 如果其他各边都在延长所得直线的同一旁 这样 的多边形叫做凸多边形 如图 2 图 1 的多边形是凹多边形 我们探讨的一般都是凸多边形 多边形的边 内角 顶点 对角线 内角和的含义与三角形相同 即 边 组成多边形的各条线段叫做多边形的边 顶点 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点 对角线 在多边形中 连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线 内角 多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角 如图 多边形通常以边数命名 多边形有 n 条边就叫做 n 边形 三角形 四边形都属于多边 形 其中三角形是边数最少的多边形 多边形的表示方法与三角形 四边形类似 可以用表示它的顶点的字母来表示 如可 顺时针方向表示 也可逆时针方向表示 如图 3 可表示为五边形 ABCDE 也可表示 为五边形 EDCBA 还可以用下标表示为五边形 A1A2A3A4A5 n 边形可表示为 n 边形 A1A2A3 An n 3 的自然数 三角形可用三条边来表示 四边形可用四条边来表示 n 边形呢 要画多少条边来表 示呢 我们可用虚线表示省略的边 其余的边用实线表示 如上图 就是 n 边形 A1A2A3 An n 边形有 n 条边 n 个顶点 n 个内角 好 我们了解了多边形的有关概念后 看一幅图及问题 出示投影片 4 7 1A 课本 P108的图 北师大版初二数学 2004 10 25 星期一 3 1 上图中广场中心的边缘是一个五边形 你能设法求出它的五个内角的和吗 与同 伴交流 2 小明 小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和 你知道他们是怎 么做的吗 3 还有其他的方法吗 学生讨论 画图 归纳 生甲 1 求五边形的内角和可以利用量角器测每个内角的度数 然后求出这五个 内角的和 即是五边形的内角和为 540 也可以把五边形分割成三角形 因为三角形的内角和是 180 生乙 小明是直接把五边形的五个内角分割在 3 个三角形中 如图 1 每个三角 形的内角和是 180 所以五边形的内角和为 3 180 540 小亮是在五边形内任意取一个点 然后把五边形分割成五个三角形 如图 2 但从 图中可以知道 这时多了一个周角 即 360 因此 五边形的内角和为 180 5 360 540 生丙 也可以在五边形的任一条边上取一个点 然后这个点与各顶点连结 这时 五边形被分割成四个三角形 如图 3 但多了一个平角 即 180 因此 五边形的内角 和为 180 4 180 540 生丁 在五边形外任取一点 将这点与五边形的各顶点连结起来 这时五边形被 分割成四个三角形 此时 从图中可以看出多出一个三角形 因此五边形的内角和为 180 4 180 540 师 很不错 同学们回答得很好 在求五边形的内角和时 先把五边形转化成三 角形 进而求出内角和 这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法 下面大家来 想一想 出示投影片 4 7 1 B 1 按如下图 5 所示的方法 六边形能分成多少个三角形 n 边形 n 是大于或等于 3 的自然数 呢 2 你能确定 n 边形的内角和吗 师 同学们可以多画几个边数不一样的多边形 来总结归纳分割多边形的方法 生甲 如图 5 从五边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引了两条对角线 这时 五边形分成三个三角形 从六边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引了三条对角线 这 时六边形分成了四个三角形 从七边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引四条对角线 这时七边形分成了五个三角形 从 n 边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引 n 3 条对角线 把 n 边形分成了 n 2 个三角形 生乙 从 n 边形的一个顶点出发 向自身和相邻的两个顶点无法引对角线 向其 北师大版初二数学 2004 10 25 星期一 4 他顶点共引 n 3 条对角线 这时 n 边形被分割成 n 2 个三角形 因为每个三角形的内 角和是 180 所以 n 边形的内角和为 n 2 180 师 要求 n 边形的内角和 关键是将 n 边形分割转化为有公共顶点的三角形 由 三角形的内角和得到 n 边形的内角和 即 n 边形的内角和为 n 2 180 大家想一想 n 边形的内角和公式中 字母 n 取值有没有范围 生 有 必须是大于 3 的自然数 师 对 同学们口答一下 12 边形的内角和是多少呢 生齐声 1800 师 很好 要求 n 边形的内角和 只需把 n 代入内角和公式 n 2 180 即 可算出 下面大家看大屏幕 想一想 出示投影片 4 7 1 C 观察下图中的多边形 它们的边 角有什么特点 生 这五个多边形 每个多边形的边都相等 内角也都相等 师 很好 在平面内 内角都相等 边也都相等的多边形叫做正多边形 如上图 中的多边形分别为 正三角形 正四边形即正方形 正五边形 正六边形 正八边形 正多边形都是轴对称图形 边数为偶数的正多边形是中心对称图形 下面大家想一想 议一议 出示投影片 4 7 1 D 1 一个多边形的边都相等 它的内角一定都相等吗 2 一个多边形的内角都相等 它的边一定都相等吗 3 正三角形 正四边形 正方形 正五边形 正六边形 正八边形的内角分别是多少度 生甲 一个多边形的边都相等 它的内角也一定都相等 如正三角形 正方形 生乙 错的 如菱形的四条边相等 但它的内角不一定都相等 所以应该说 一个 多边形的边都相等 它的内角不一定都相等 生丙 一个多边形的内角都相等 它的边不一定都相等 如 矩形的内角都是直 角 但它的边未必都相等 师 同学们从不同角度进行分析 得到了准确的答案 非常好 接下来看第 3 小题 生丁 因为正多边形的每个内角都相等 且它的内角和为 n 2 180 所以 正 北师大版初二数学 2004 10 25 星期一 5 n 边形的每个内角为 180 n n 2 因此 正三角形的内角是 60 3 180 23 正方形的内角是 180 90 4 24 正五边形的内角是 180 108 5 25 正六边形的内角是 180 120 6 26 正八边形的内角是 180 135 8 28 师 很好 接下来我们做练习来巩固多边形的内角和公式 三 课堂练习三 课堂练习 一 课本 P110随堂练习 1 如下图 1 作多边形所有过顶点 A 的对角线 并分别用字母表示出来 2 求这个多边形的内角和 解 1 如下图 过顶点 A 的对角线是 AC AD AE 2 从 1 图中可知 这个六边形被过顶点 A 的对角线分割成四个三角形 所以 这个 多边形的内角和为 180 4 720 也可以利用多边形的内角和公式进