等差数列及其前n项和 经典习题.docx

中 国 品 牌 家 教第28讲等差数列及其前n项和一、基本概念1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.3等差中项如果A，那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)例1：等差数列项的和等于？(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列（4）如果a1，a2，a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则( ) Aa1a8a4a5Ba1a8a4a5Ca1a8a4a5Da1a8a4a5B解析：由a1a8a4a5，排除C又a1a8a1(a17d)a127a1d，a4a5(a13d)(a14d)a127a1d 12d2a1a8（5）已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列，则mn等于( )A1BCD 4C解析：解法1：设a1，a2d，a32d，a43d，而方程x22xm0中两根之和为2，x22xn0中两根之和也为2，a1a2a3a416d4，d，a1，a4是一个方程的两个根，a1，a3是另一个方程的两个根，分别为m或n，mn，故选C解法2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x42，x1x2m，x3x4n由等差数列的性质：若gspq，则agasapaq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2，于是可得等差数列为，m，n，mn5等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn；若已知首项a1和公差d，则其前n项和公式为Snna1d.例2：(2011福建)在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值性质(1)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列例3：在等差数列中，若，则的值为？性质(2)S2n1(2n1)an.例4：两个等差数列则=_ _。例5：（辽宁）设是等差数列的前n项和，若 。性质(3)若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)例6：在等差数列中，公差，前项的和，则= 。6Sn的最值问题6.1求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值例7：设等差数列an满足a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值(2)利用等差数列的前n项和SnAn2Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值例8.（2012浙江7）设是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是( )A若d0，则数列Sn 有最大项B若数列Sn 有最大项，则d0C若数列Sn 是递增数列，则对任意的nN+，均有Sn 0D若对任意的nN+，均有Sn0，则数列Sn 是递增数列练习（2013辽宁文理）下面是关于公差的等差数列的四个命题： 其中的真命题为（A） （B） （C） （D）7.等差数列的判断方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列例9：已知数列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1) 求证：是等差数列；(2)求an的表达式课时作业(二十八)A第28讲等差数列 时间：35分钟12011江门调研 在等差数列an中，已知a11，a2a410，an39，则n()A19 B20 C21 D2222011武汉模拟 已知数列an是等差数列，若a1a5a92，则cos(a2a8)()A B C. D.32011太原一模 已知等差数列an的前n项和为Sn，a1a516，且a912，则S11()A260 B220 C130 D11042011湖南卷 设Sn是等差数列an(nN*)的前n项和，且a11，a47，则S5_.52011三明二中二模 数列an满足3anan1(nN*)，且a2a4a69，则log(a5a7a9)的值是()A2 B C2 D.62011邯郸二模 在等差数列an中，a4a6a8a10a12120，则a9a11()A14 B15 C16 D177等比数列an的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列若a11，则S4()A7 B8 C15 D1682011郑州质检 已知等差数列an的前n项和为Sn，且，则()A. B. C. D.92011广州一模 已知数列an是等差数列，若a42a6a812，则该数列前11项的和为_102011惠州二模 已知等差数列an中，a26，a515，若bna3n，则数列bn的前9项和等于_112011南通、扬州、泰州调研 设等差数列an的公差为正数，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13_.12(13分)2012吉林摸底 已知数列an的前n项和Sn10nn2，(nN*)(1)求a1和an；(2)记bn|an|，求数列bn的前n项和课时作业(二十八)B第28讲等差数列时间：35分钟分值：80分12011昌平二模数列an对任意nN*，满足an1an3，且a38，则S10等于()A155 B160 C172 D24022011福州质检等差数列an的前n项和为Sn，若a1a9a1130，那么S13的值是A65 B70 C130 D26032011佛山一模在等差数列an中，a10，公差d0，若aka1a2a3a7，则k()A21 B22 C23 D2442011辽宁卷 Sn为等差数列an的前n项和，S2S6，a41，则a5_.52011汕头一模 已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足1，则数列an的公差d是()A. B1 C2 D362011漳州质检 an是首项为1，公差为2的等差数列，令bna3n，则数列bn的一个通项公式是()Abn3n2 Bbn4n1 Cbn6n1 Dbn8n372011江西卷 设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和若S10S11，则a1()A18 B20 C22 D248设等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A5 B6 C7 D892011东城一模 在等差数列an中，若a12，a2a313，则a4a5a6_.102011东城综合 若数列an满足d(nN*，d为常数)，则称数列an为调和数列记数列为调和数列，且x1x2x20200，则x5x16_.112011海淀二模 已知数列an满足a1t，an1an20(tN*，nN*)，记数列an的前n项和的最大值为f(t)，则f(t)_.12(13分)2012豫南九校联考 已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令b