高中数学《平面向量应用举例》学案3 新人教A版必修4

1 2 5 1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 学习目标 会利用向量方法解决平面几何中的平行 垂直 距离 夹角等问题 培养和发展运算能力和解决实际问题的能力 体会几何论证的严谨 优雅 以及它给人的美感和享受 锻炼自己的抽象 思维能力 教学重点 平面几何中的向量方法 教学难点 平面几何中的向量方法 教学方法 讨论式 教具准备 多媒体投影 教学过程 新课引入 师 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何意义 所以平面几何图形的 许多性质 如平移 全等 相似 长度 夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示 出来 因此可以用向量方法解决平面几何中的一些问题 本节课 我们就通过几个具体实例 来说明向量方法在平面几何中的运用 讲授新课 例 1 证明 平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 已知 平行四边形 ABCD 求证 222222 ACBDABBCCDDA 分析 用向量方法解决涉及长度 夹角的问题时 我们常 常要考虑向量的数量积 注意到ACABAD DBABAD 我们计算 2 AC 和 2 BD 证明 不妨设AB a AD b 则 AC a b DB a b 2 AB a 2 2 AD b 2 2 ACACAC a b a b a a a b b a b b a 2 2a b b 2 同理 2 DB a 2 2a b b 2 得 2 AC 2 DB 2 a 2 b 2 2 2 AB 2 AD 所以 平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 师 你能用几何方法解决这个问题吗 2 生 探索 研究得出本例的几何证法如右图 略 师 由于向量能够运算 因此它在解决某些几何问题时具有优越性 他把一个思辨 过程变成了一个算法过程 可以按照一定的程序进行运算操作 从而降低了思考问题的 难度 用向量方法解决平面几何问题 主要是下面三个步骤 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问 题转化为向量问题 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 把运算结果 翻译 成几何关系 例 2 如图 平行四边形 ABCD 中 点 E F 分别是 AD DC 边的中点 BE BF 分别与 AC 交于 R T 两点 你 能发现 AR RT TC 之间的关系吗 分析 由于 R T 是对角线 AC 上两点 所以要判断 AR RT TC 之间的关系 只需要分别判断 AR RT TC 与 AC 之间的关系即可 解 设AB a AD b 则AC a b AR 与AC 共线 存在实数 m 使得 AR m a b 又 BR 与BE 共线 存在实数 n 使得 BR nBE n 1 2 b a 由ARABBR AB nBE 得 m a b a n 1 2 b a 整理得 1 mn a 1 2 mn b 0 由于向量 a b 不共线 所以有 10 1 0 2 mn mn 解得 1 3 2 3 m n 所以 1 3 ARAC 同理 1 3 TCAC 3 于是 1 3 RTAC 所以 AR RT TC 说明 本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法 待定系数发誓用向量方 法证明平面几何问题的常用方法 例 3 已知 ABC 三条高线 AD BE CF 求证 AD BE CF 交于一点 分析 三角形的三条高分别与对应边互相垂直 我们可以借此建立平面直角坐标系 然后运用向量的坐标运算解决问题 解 如图 以 BC 所在直线为 x 轴 过点 A 垂直于 BC 的 直线为 y 轴 建立平面直角坐标系 设 A B C 三点的坐标分别为 0 Aa 0 B b 0 C c 且 BE CF 交于点 H x y 则 BHxb y CHxc y ACca ABba BHAC CHAB 0 0 c xbay b xcay 解得 0 x 所以 点 H 在 y 轴上 即点 H 在 AD 上 AD BE CF 交于一点 课后练习 课本 125 P练习 习题 2 5 B 组 课时小结 几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致 不同的只是用 向量和向量运算 来替代 数和数的运算 这就是把点 线等几何要素直接归结为向量 对这些向量借助 于它们之间的运算进行讨论 然后把这些计算结果翻译成关于点 线的相应结果 如果 把代数方法简单地表述为 形到数 数的运算 数到形 则向量方法可以简单的表述为 形到向量 向量的运算 向量和数到形 课后作业 课本 125 P练习 习题 2 5 A 组 预习课本 124 P 125 P 思考下列问题 怎样把物理问题转化为数学问题 4 如何用数学模型来解释相应的物理现象 板书设计 2 5 1 平面几何中的向量方法 例 用向量法解平面几何 例 2 小结 问题的 三步曲 预习提纲 教学后记 2 5 2 向量在物理中的应用举例 学习目标 学会运用向量的有关知识解决物理中有关力的分解与合成 速度的分解与 合成 位移的分解与合成以及有关功的计算 培养探究意识 提高运用数学知识解决实际问题的能力 体会学科间的联系 以及数学工具应用的广泛性与重要性 教学重点 向量在物理中的应用 教学难点 向量在物理中的应用 教学方法 讨论式 教具准备 用 几何画板 演示例 3 例 4 教学过程 新课引入 师 向量在物理中的应用 实际上就是把物理问题转化为向量问题 然后通过向量 运算解决向量问题 最后再用所获得的结果解释物理现象 本节课 我们就通过几个具体实例 来说明向量在物理中的运用 讲授新课 例 3 在日常生活中 你是否有这样的经验 两个人共提一个旅行包 夹角越大越费 力 在单杠上作引体向上运动 两臂的夹角越小越省力 你能从数学的角度解释这种现 象吗 分析 上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型 只要分析 清楚 F G 三者之间的关系 其中 F 为 F1 F2的合力 就得到了 问题的数学解释 解 不妨设 F1 F2 由向量加法的平行四边形法则 理的平 5 衡原理以及直角三角形的指示 可以得到 F1 2cos 2 G 通过上面的式子我们发现 当 由0 180 逐渐变大时 2 由0 90 逐渐变大 cos 2 的值由大逐渐变小 因此 F1 有小逐渐变大 即 F1 F2之间的夹角越大越费力 夹角越小越省力 用 几何画板 演示 师 请同学们结合刚才课件的演示 思考下面的问题 为何值时 F1 最小 最小值是多少 F1 能等于 G 吗 为什么 生 当0 时 F1 最小 最小值是 1 2 G 当120 时 F1 G 例 4 如图 一条河的两岸平行 河的宽度 500d m 一艘船从 A 处出发到河对岸 已知船的速度 v1 10km h 水流的速度 v2 2km h 问行驶航程最短时 所用的时间是多少 精确到 0 1min 分析 如果水是静止的 则船只要取垂直于对岸的方 向行驶 就能使行驶航程最短 所用时间最短 考虑到水 的流速 要使船的行驶航程最短 那么船的速度与水流速度的合速度 v 必须垂直于对 岸 用 几何画板 演示水流速度对船的实际航行的影响 解 v 22 12 96vv km h 所以 0 5 603 1 96 d t v min 答 行驶航程最短时 所用的时间是 3 1 min 课后练习 课本 126 P练习 习题 2 5 B 组 课时小结 用向量知识解决物理问题的一般思路是