初中数学 数学名师 海伦

1 海伦海伦 海伦 hero 或 heron of alexandria 约公元 62 年前后活跃于亚历山大 数学 物理 气体力学 机械学 生存的年代 海伦生活的年代可能是历代数学家中争议最大的 各家的意见有好几百年的出入 下 面列举几种较有影响的说法 1 将海伦和蒂西比奥斯 ctesibius 联系起来有一种 武器制造法 belopoeica on the construction ofengines of war 的手抄本 将蒂西比奥斯的名字和海伦连在一起作 为篇名 还有一本不知名的拜占廷作者写于 10 世纪的书中有这样的词句 阿斯克拉 ascra 古希腊地名 的蒂西比奥斯 亚历山大的海伦的教师 由此推断海伦是蒂西比奥 斯的学生 或者就是他的儿子 蒂西比奥斯是机械发明家 曾发明一种水钟 可能是漏壶 clepsydra 一类的器械 还有利用水力或气压驱动的各种机械 生活于公元前 3 世纪末或 公元前 2 世纪 这样海伦的活跃期应是公元前 2 世纪 但另一本同样内容的手稿 标题是 亚历山大的海伦的武器制造法 没有标上蒂西比 奥斯 大概海伦改进了先辈的发明 后人认为他在思想或方法上师承蒂西比奥斯 并不意 味着就是他直接教导的学生 2 度量论 metrica 是海伦的代表作 过去一直以为它早 坦布尔 发现它的手抄本 1903 年校订出版 从中可以较准确地定出年代的上界 书中多 处援引阿基米德 卒于公元前 212 年 的工作 至少三处引用阿波罗尼奥斯 apollonius 约 卒于公元前 190 又引用过关于 圆内直线 即弦 的书 在希帕霍斯 hip parchus 约 公元前 180 约前 125 年 之前 无人实际作出弦表 故估计引用的是他的书 据此推断海 伦活动年代不早于公元前 150 年 另一方面 帕波斯 pappus 大量摘引海伦的著作 而帕 波斯的书大致完成于戴克里先 diocletian 统治时期 284 305 由此界定海伦的年代在 公元前 150 到公元 250 年之间 这上 下限距离仍然很大 3 维特鲁维厄斯 m vitruvius pollio 公元前 1 世纪上半期 约公元前 25 年 是罗 马有名的建筑学家 以 10 卷的 建筑学 著称于世 在这书的第 7 卷中列举了 12 位机械 师 如阿尔希塔斯 archytas 公元前 375 阿基米德 archimedes 公元前 287 前 212 年 蒂西比奥斯 菲隆 phiton of byzantium 等 还有一些不甚知名的 但没有列海 伦 较合理的解释是他在维特鲁维厄斯之后 又两人使用的器械相异之处甚多 如维特鲁 维厄斯的路程计 hodometer 是走 罗马里就有一块小石子落在盒子里 而海伦的仪器是用 指针指示全程 可见前者没有看到海伦的设计 据此可以将海伦的年代定在公元后 4 l j m 科卢梅拉 columella 约公元 23 79 年 是农业 天文学家 他所用的 计算公式甚至实际数值很多和海伦是一致的 包括弓形面积的近似公式 b 是底 h 是高 自然可以推想他们是同时代的人 5 和托勒密 ptolemy 约公元 100 约 170 年 比较 应将海伦放在托勒密之前 普 罗克洛斯 proclus 公元 410 485 年 曾指出 托勒密认为用古人的水钟来测量太阳的视 直径是不可靠的 所谓水钟应当就是海伦描述的那一种 因此海伦应早于托勒密 但 t l 希思 heath 比较了两人的著作后得出相反的结论 说海伦在后 而且比帕波斯早不 了多少 也就是应为 3 世纪的人 而 w 施密特 schmidt 却将活动年代定在公元 50 年前 2 后 6 最有说服力的是根据一次月食来确定年代 海伦的重要著作 测量仪器 on the dioptra 描述一种 照准仪 dioptra 或 diopter 的工具 其功能类似现代的经纬仪 用 作测量及天文观测 他特别指出可以测量可望不可即的物体的高和距离 在这本书里 海 伦利用可在两地同时看到同一次月食的道理 推出两地的地方时差 从而算出两地的距 离 他选定亚历山大和罗马这两个地方作为试点 某一年在春分前 10 天发生一次月食 在 亚历山大开始于夜里 五更 fifth watch 数学史家 o 诺伊格鲍尔 neugebauer 1899 断定这次月食发生在公元 62 年 而且在 500 年间没有类似的月 食 日月食的推算是可靠的 因此将海伦的活跃年代定在公元 62 年前后也是可信的 诺伊 格鲍尔的论断发表于 1938 年 以后的学者大多数以此为准 7 还有一种说法值得一提 曾有人认为海伦有两个 老海伦生存于公元前 2 3 世纪 是工程师和发明家 而另一个小海伦是 7 8 世纪的人 那本载有三角形面积公式的 测量 仪器 乃是小海伦所作 理由是公式的推导是那么复杂而有独创性 但却从未为老海伦以 后的古代学者所引用 此说出自 m 玛力 marie 1883 也为 m 沙勒 chasles 1793 1880 所提倡 但因为没有足够的证据证实另一个数学家海伦的存在 此说已渐被人们放 弃 不过在公元 900 年左右确实还有一个海伦 hero ofconstantinople 主要贡献是测量 学和机械而不是三角形面积公式 综上所述 以公元 62 年前后为海伦活动的年代是合适的 主要著作 海伦留下的著作列举如下 2 测量仪器 on the dioptra 1814 年文图里 venturi 校订出版意大利文 版 1858 年才由 a j h 樊尚 vincent 出版希腊文本 3 气体力学 pneumatica 最先由 f 科曼迪诺 comm andino 1509 1575 译成 拉丁文出版 1575 希腊文本则由泰夫诺 th venot 校订出版 1693 4 自动机建造技术 on the art of constructing automata 或 自动舞台 the automaton theatre 最初由 b 巴尔迪 ba ldi 译成意大利文出版 1589 希腊文本收 入 海伦全集 her onis opera vol 1899 中 吕斯托夫 ri stow 1853 韦歇 wescher 1867 等人校订出版 6 几何学方面的著作有 定义 definitiones 几何 ge ometria 测量 geodaesia 测体积学 stereometrica 等 此外还有若干关于机械发明的著作 海伦的特点是多才多艺 善于博采众长 在著作 中大量援引前人的成果 如经常提到阿基米德 狄俄尼索多罗 dionysodorus 约公元前 2 3 世纪 欧多克索斯 eudoxus 柏拉图 plato 约公元前 427 约前 347 年 埃拉托 塞尼 eratosthenes 约公元前 274 前 194 年 等 在论证中并不十分讲究传统的严格性 而是大胆地使某些经验性的近似公式 特别注重数学的实际应用 他发明的各种精巧器械 比理论上的成就更为人们所推崇 度量论 内容简介 全书共 3 卷 卷 讨论平面图形的面积 卷 是立体图形的体积 卷 讨论将图形分 成比例部分 卷 在序言中简要描述了几何学发展的过程 它起源于面积的度量 以后扩 3 充到立体 欧多克索斯最先证明圆柱的体积等于同底等高的锥体的 3 倍 而阿基米德最先 证明球面积是此球的大圆的 4 倍 是外切圆柱面积的 2 3 他们都是度量理论的先驱者 接着给出一般三角形面积的计算法 设已知 abc 的三边 a b c 求面积有两法 第 一法是先算出高 底乘高之半即面积 第二法是用 海伦公式 第 1 法的根据就是欧几里得 几何原本 卷 命题 12 13 相当于余弦定律 c 是锐角时 c2 a2 b2 公式右端取 号 c 是钝角时 c2 a2 b2 公式右端取 号 于是 度量论 卷 第 5 第 6 题给出的例是 a b c 等于 14 15 13 11 13 20 两 例的高 h 都是 12 面积是整数 但有的例高不是整数 如在另一本书 几何 中 三边等 于 8 4 6 从而 cd fraction 即分子是 1 的分数 使人大惑不解 其实在希腊早已有一般 分别表示 100 60 4 连起来就是 164 分子 4 写在下面 和现在的习惯恰好相 反 当时是没有分数线的 下面接着将 单分数 开方 求出 已知三边求三角形面积的第 2 种算法是用公式 其中 a b c 是三边 s 是半周长 是面积 这是有名的 海伦公式 在卷 的第 8 命题中给出几何证明如下 作内切圆 def o 是圆心 半径 r od oe of 联 o 至 a b c 及各切点 d e f 则 三式相加得 sr 其中 s a b c 2 延长 cb 至 h 使 hb af 易知 hc s 作 bl bc lo oc 二者交于 l 则 b o c l 4 点共圆 于是 blc 与 boc 互补 但 foa 也与 boc 互补 故 blc foa blc foa 4 由此得 于是 hc od 2 hc hb bd dc 左端是 sr 2 2 右端 4 条线段分别等于 s s a s b s c 即相当于公式 1 原 文全用文字叙述 没有写成这样整齐的公式 只指出各线段的作法 如 hb 等于半周长减去 bc 等 在证明这公式之前 先给一个例子 说明具体的算法 设三边为 7 8 9 相加取其半 得 12 12 减去 7 余 5 同样 12 减 8 余 4 12 减 9 余 3 12 乘以 5 得 60 再乘 4 得 240 再乘以 3 得 720 求 720 的平方根 即为所求面 积 720 没有有理平方根 这时要用近似算法 步骤如下 最接近 720 原文没有继续演算下去 现推算如下 海伦明确地使用这一公式 但没有给出证明 我们可以猜想他是这样推导的 不妨设第 1 近似值 a1 是过剩的 难证明 a2 比 a1 更接近真值 事实上 a2 也是过剩的 立 若 a1 是不足的 由公式 2 定义的 a2 同样是过剩的 而且也一样 过第 n 位数字的半个单位 则 a2 的误差不超过第 2n 1 位数字的 1 8 换句话说 使用 2 式一次 近似值的准确位数大约加倍 因此这一公式常称为 平方根倍位法 2 写成 还有一种形式是 被开方数 n 改写成它的近似值 即 a1 加上误差 b 而右端就是 a2 这一类公式源远流长 中国古代叫做 不加借算 印度 阿拉伯国家也在使用 甚至 可上溯到公元前一千多年的巴比伦 的证明 海伦在 测量仪器 中的第 30 题再一次给 出 但根据阿拉伯数学比鲁尼 ab l raih n al b r ni 973 1050 以后 的记载 这 公式是阿基米德发现的 这一点已得到公认 不过海伦公式的名称已为世界各国所习用 5 很难再改过来 印度婆罗摩笈多 brahmagupta 约 598 665 以后 在 628 年给出四边形面积 a b c d 是四边长 s 是半周长 实际只适用于圆内接四边形 若其中一边 d 0 则成三角形 公式相应变成 1 见 9 我国秦九韶 约 1202 1261 在 数书九章 1247 中也独立给出与 1 等价的公式 本卷从第 17 题开始 给出正多边形面积的计算法 边数从 3 到 12 后面的面积也都是近似值 除了正 5 6 8 边形较好之外 其余的近似值相当粗糙 如将系数展开成连分数 可得渐近分数 10 11 12 边形的面积 近似分数的选择都不佳 正 n 边形面积记作 sn 列举如下 差 0 03275 都大 10 11 12 边形的选择同样也是不好的 由此可知海伦在多边形计算方面顶多是因袭 了前人 猜想是希帕霍斯 相当粗略的弦表 而没有在理论上加以改进 度量论 卷 讨论立体图形体积 如描述一种 小祭坛 li ttle altar 在现在 立体几何中属于 拟柱体 prismatoid 上下底是长方形 不必相似 但对应边平 行 在日常生活中很常见 如煤场的煤堆 盐滩上的盐坨 铁路旁的碎石堆等 可名为 长方台 设上底的长 宽为 a b 下底的长 宽为 a b 高为 h 书中给出体积 这是正确的 更简单的形式是 其余的公式多为前人所知 卷 讨论将图形分割成已知比 基本上采自阿基米德的工作 其他工作 测量仪器 是海伦另一本代表作 其中描述一种仪器 功能类似现代的经纬仪 接 着介绍如何使用这种仪器去解决各种测量问题 如 1 挖一个隧道 从山的两侧开始 找准 方向 使隧道准确会合 2 确定两点之间高度的差 3 测量可望而不可即的两点间的距 离 4 测沟渠的深 还有各种高度和距离的测量问题 包括利用同时看到同一次月食 算 6 出罗马和亚历山大之间的距离 本书最后叙述如何用齿轮的结构 用一个给定的力去移动 给定的重物 海伦还有各式各样的发明 最有名的是 汽转球 aeolipile 这 原意是 门 合成 可直译为 风神之球 或 风神之门 主要的结构是一个封闭的容 器 如球或圆柱 安装在中空的旋转轴上 球的两侧 在与轴垂直的平面上 各装一个或几 个喷射弯管 蒸汽由轴的孔道进入球内 经弯管喷出 因反作用力使球旋转 常被称为世 界上第一个蒸汽机 不过当时的生产力低下 没有用作实际机械动力 只被看作一种高级