高考数学复习点拨 集合运算典例解析

用心 爱心 专心 集合运算典例解析集合运算典例解析 例例 1 1 设集合 A x Z 10 x 1 B x Z x 5 则 A B 中的元素个 数是 A 11 B 10 C 16 D 15 分析分析符号 是 并集 即指由 A 和 B 中元素合并在一起组成的集合 相同元素只 计一次 用列举法知 A 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 B 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 因此 A B 10 9 5 共含 16 个元素 选 C 例例 2 2 已知集合 A 和集合 B 各含 12 个元素 A B 含有 4 个元素 试求 A B 的元素个数 解 解 设 A B U 因为 card A 12 card B 12 且 card A B 4 所以 card A B card A card B card A B 12 12 4 20 点评点评 符号 card A 表示集合 A 中元素的个数 类似 card A B 等含义相同 它们之 间有公式 card A B card A card B card A B 例例 3 3 试证 A A B A 证明 证明 A A B A A A B A A B A 点评 点评 AA B A A B A 例例 4 4 在全国高中数学联赛第二试中只有三道题 已知 1 某校 25 个学生参加竞赛 每个学生至少解出一道题 2 在所有没有解出第一题的学生中 解出第二题的人数是解出 第三题的人数的 2 倍 3 只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1 4 只 解出一道题的学生中 有一半没有解出第一题 问共有多少学生只解出第二题 分析分析 本题的条件较多 利用文氏图 设解出第一 二 三道题的学生的集合为 A B C 并用三个圆分别表示 如右图 则重叠部分表示同时解出两道题或三道题的集合 这样得到七个部分 其人数分别用 a b c d e f g 表示 然后 根据已知条件列出方程组 求出 b 解 解 根据已知条件 1 2 3 4 可得 a b c d e f g 25 b f 2 c f a d e g 1 a b c 代入 得 a 2b c d e g 25 代入 得 2b c 2d 2e 2g 24 代入 得 3b d e g 25 2 得 4b c 26 用心 爱心 专心 由于 c 0 所以 b 6 利用 消去 c 得 f b 2 26 4b 9b 52 因为 f 0 所以 b 5 则有 b 6 即只解出第二题的学生有 6 人 例例 5 5 已知 A x x2 x 6 0 B x mx 1 0 且 B A A 求实数 m 的取值 范围 错解错解 A x x2 x 6 0 3 2 且 B A A B 3 或 B 2 即 3m 1 0 或 2m 1 0 故 m 分析分析 问题错在对集合 B 考虑的不全面 B x mx 1 0 代表方程 mx 1 0 的解集 可以有一解 也可无解 而无解的情况是 B 这种情况又恰恰满足 B A A 的题设条件 错 的原因有两个 其一是忽略了 mx 1 0 会无解 其二是忽略了 A B ABA 及是任 何集合的子集 正确解 正确解 A x x2 x 6 0 3 2 且 B x mx 1 0 B A A B 3 B 2 或 B 即 3m 1 0 2m 1 0 或 m 0 故实数 m 0 例例 6 6 填空题 1 已集集合 A y y x2 6x 6 x R B y y x2 6x 6 x R 则 A B 2 已知集合 A x y y x2 6x 6 x R B x y y x2 6x 6 x R 则 A B 3 已知集合 A 的元素满足方程 4a2 4a 1 a b R 集合 B x x x2 1 4x2 1 0 则 A B 分析分析 要特别注意分清楚每小题里的集合中元素是什么 它们分别有什么特征 1 中集合 A B 的元素都是函数 y 它们分别表示两个函数的值域 2 中集合 A B 的元素都是直角坐标系中点的坐标 它们分别表示两条抛物线上的点 的集合 3 中集合 A 的元素要满足一个二元方程 它应该表示点 a b 的集合 集合 B 中元素 要满足一个一元方程 它表示这个方程的根的集合 解 解 1 由 A 知 y x 3 2 3 3 由 B 知 y x 3 2 3 3 利用数轴不难看出 用心 爱心 专心 A B y 3 y 3 2 A B 应该是这两条抛物线的交点 即解方程组解得方程组有两 组解 3 0 和 3 0 A B 3 0 3 0 3 将方程 4a2 4a 1 配方 得 2a 1 2 0 a b R a 2 1 且 b 1 A a b 2 1 1 解方程 x x2 1 4x2 1 0 得 x 0 或 x 1 或 x 2 1 B 1 2 1 0 2 1 1 A B 点评点评 解答第 3 小题 很容易出现下面错误解法 即误认为 A 1 2 1 从而得 出 A B 1 2 1 应引起我们的重视 例例 7 7 已知集合 A 1 3 x3 B 1 x 2 是否存在实数 x 使得 B CSB A 实数 x 若存在 求出集合 A 和 B 若不存在 请说明理由 分析分析 解答本例的关键是两点 1 理解 B CSB A 的含义 2 学会分情况讨论或验证数学问题 解 解 B CSB A BA 1 若 x 2 3 则 x 1 符合题意 2 若 x 2 x3 则 x 1 但不合题意 当 x 1 时 A 1 3 1 B 1 3 点评 点评 有些数学问题 很难从整体着手解决 需从分割入手 把整体科学合理地划分 为若干个局部独立的问题 通过逐一解决这些问题 达到整体问题的解决 这种重要的数学 思想方法就是分类讨论的方法 要学会这种思维方法 练习 1 设关于 x 的方程 x2 px 12 0 x2 qx r 0 的解集分别为 A B 且 A B A B 3 4 A B 3 求 p q r 的值 2 已知集合 A x 2a x a2 1 B x x2 3 a 1 x 2 3a 1 0 求使 A B 的 a 的取值范围 3 设 A x x2 3x 2 0 B x x2 ax 2 0 若 A B A 求由实数 a 的值组 成的集合 4 4 某班共有学生 50 名 其中参加数学课外小组的学生有 22 名 参加物理课外小组的 学生有 18 名 同时参加数学 物理两个课外小组的有 13 名 问 1 数学和物理两个小 组至少参加一个的学生有多少名 2 数学和物理两个课外小组都不参加的学生有多少名 用心 爱心 专心 参考答案 1 由 A B 3 可知方程 x2 px 12 0 有根 3 故有 3 2 3p 12 0 即 3p 3 p 1 此时 A x x2 x 12 0 即 A 3 4 又 A B A B 3 4 A B 3 可知方程 x2 qx r 0 只能有重根 3 即这个方程为 x 3 0 即 x2 6x 9 0 故 q 6 r 9 p 1 q 6 r 9 2 B x x 2 x 3a 1 0 故当 3a 1 2 即 a 3 1 时 B x 2 x 3a 1 当 3a 1 2 即 a 3 1 时 B x 3a 1 x 2 又 A B 故 3 1 131 22 2 a aa a 或 3 1 21 213 2 a a aa 解得 1 a 3 或 a 1 3 由 A B A 可知 B A 化简集合 A 得 A 1 2 B 可为 1 2 1 2 四种情形 当 B 1 2 A 时 显然 a 3 当 B 1 或 2 时 方程 x2 ax 2 0 有等根 而由韦达定理知 x1 x2 2 故等根为 2或2 故 B 1 B 2 当 B 时 方程 x2 ax 2 0 无实根 故 a2 8 0 得 2 2 a 22 故所求 a 值 的集合为 3 a 2 2 a 22 4 解 设全集 为